甘肃省武威第一中学2020届高三上学期阶段性考试 数学（文）试题（PDF版） 9页

- 1 - 武威一中 2019 年秋季学期阶段性考试 高三年级数学（文科）试卷 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．设集合 U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，则∁U(A∪B)＝( ) A．{2,6} B．{3,6} C．{1,3,4,5} D．{1,2,4,6} 2. 已知 x∈R，则“x<1”是“x2<1”的 ( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3. 已知 2cos 4  ，则  cos π 2 （ ） A． 32 8 B． 3 4 C． 32 8 D． 3 4 4. 已知向量 a ＝(－1,2)，b ＝(1,3)，则|2 － |＝ ( ) A. 2 B．2 C. 10 D．10 5. 已知幂函数 f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1 为偶函数，则 m＝ ( ) A．1 B．2 C．1 或 2 D．3 6. 已知命题 α ：如果 x<3，那么 x<5；命题 β ：如果 x≥3，那么 x≥5；命题 γ ：如果 x≥5， 那么 x≥3.关于这三个命题之间的关系中，下列说法正确的( ) ①命题 α 是命题 β 的否命题，且命题 γ 是命题 β 的逆命题； ②命题 α 是命题 β 的逆命题，且命题 γ 是命题 β 的否命题； ③命题 β 是命题 α 的否命题，且命题 γ 是命题 α 的逆否命题． A．①③ B．② C．②③ D．①②③ 7. 已知命题“∀x∈R，ax2＋4x＋1>0”是假命题，则实数 a 的取值范围是( ) A．(4，＋∞) B．(0,4] C．(－∞，4] D．[0,4) 8. 已知函数 y＝f(x)的定义域为 R，且满足下列三个条件：①对任意的 x1，x2∈[4,8]，都有 f(x1)－f(x2) x1－x2 >0 恒成立；②f(x＋4)＝－f(x)；③y＝f(x＋4)是偶函数．若 a＝f(6)，b＝f(11)， c＝f(17)，则 a，b，c 的大小关系正确的是 ( ) A．a0， ax＋b，x≤0 (00，|φ |<π 2 在它的某一个周期内的单调递减区 间是 5π 12 ，11π 12 .将 y＝f(x)的图象先向左平移π 4 个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变 为原来的1 2(纵坐标不变)，所得到的图象对应的函数记为 g(x)． (1)求 g(x)的解析式； (2)求 g(x)在区间 0，π 4 上的最大值和最小值． 20. （12 分）设函数 f(x)＝－x2＋ax＋ln x(a∈R)． (1)当 a＝－1 时，求函数 f(x)的单调区间； (2)若函数 f(x)在 1 3，3 上有两个零点，求实数 a 的取值范围． - 4 - 21. （12 分）已知函数    lnf x x a x ，   2 2 ag x x x（ 0a  且 a 为常数）． （1）当 0a  时，求函数  fx的最小值； （2）若对任意 1x  都有    f x g x 成立，求实数 a 的取值范围． 22. （10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 1 cos sin xt yt      ( t 为参数， 0 π)，在以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 2 2 2 1 sin     ． （1）求曲线 C 的直角坐标方程； （2）设点 M 的坐标为 1,0 ，直线 l 与曲线C 相交于 A ， B 两点，求 11 MA MB 的值 - 5 - 武威一中 2019 年秋季学期阶段性考试 高三年级文科数学答案 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） ABDCA ACBDA DA 二、填空题（每小题 5 分共 20 分） 13. 2 ；14. 20 ；15. e2 ； 16. 4 3 。 三、解答题（共 6 小题 70 分，写出必要的解答或证明过程。） 17.解：(1)设数列{an}的公差为 d， ∵a2＝3，S4＝16， ∴a1＋d＝3,4a1＋6d＝16， 解得 a1＝1，d＝2. --------------------------------------------------------- 4 分 ∴an＝2n－1 . ---------------------------------------------------------6 分 (2)由题意知，bn＝ 1 2n－12n＋1＝1 2   1 2n－1－ 1 2n＋1 ， ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝1 2     1－1 3 ＋ 1 3－1 5 ＋…＋   1 2n－1－ 1 2n＋1 ＝1 2   1－ 1 2n＋1 ＝ n 2n＋1. -----------------------------------------------------------------12 分 18.【解】（1）由 ABC△ 的面积为 2 3sin AD B 且 D 为 BC 的中点可知： ABD△ 的面积为 2 6sin AD B ， 由三角形的面积公式可知 21 sin2 6sin ADAB BD B B   ， 由正弦定理可得3sin sin 1BAD BDA    ，所以 1sin sin 3BAD BDA    ．----------5 分 （2） 6BC AB ，又因为 D 为 BC 的中点，所以 26BC BD AB，即 3BD AB ， - 6 - 在 ABD△ 中，由正弦定理可得 sin sin BD AB BAD BDA ， 所以sin 3sinBAD BDA   ， -------------------------------------------------------------7 分 由（1）可知 1sin sin 3BAD BDA    ， 所以 1sin 3BDA，sin 1BAD，  0, πBAD ， 2 πBAD  ， --------------------------------------------------------------- 8 分 在直角 中 22AD  ， 1sin 3BDA，所以 1AB  ， 3BD  ． 2BC BD ， 6BC， ------------------------------------------------------------------10 分 在 ABC△ 中用余弦定理，可得 2 2 2 12 cos 1 36 2 1 6 333b a c ac B          ， 33b ． -------------------------------------------------12 分 19.解：(1)∵T 2＝11π 12 －5π 12＝π 2，∴T＝π，ω＝2π T ＝2， ------------------------------1 分 又∵sin 2×5π 12＋φ ＝1，|φ|<π 2，∴φ＝－π 3，f(x)＝sin 2x－π 3 ，----------------------3 分 将函数 f(x)的图象向左平移π 4个单位长度得 y＝sin   2 x＋π 4 －π 3 ＝sin 2x＋π 6 ， -------------------------------4 分 再将 y＝sin 2x＋π 6 的图象上所有点的横坐标变为原来的1 2(纵坐标不变)得 g(x)＝sin 4x＋π 6 . ∴g(x)＝sin 4x＋π 6 . ---------------------------------------------- 6 分 (2)∵x∈ 0，π 4 ，∴4x＋π 6∈ π 6，7π 6 ， 当 4x＋π 6＝π 2时，x＝ π 12， ∴g(x)在 0， π 12 上为增函数，在 π 12，π 4 上为减函数，---------------------------------9 分 所以 g(x)max＝g π 12 ＝1， - 7 - 又因为 g(0)＝1 2，g π 4 ＝－1 2，所以 g(x)min＝－1 2， 故函数 g(x)在区间 0，π 4 上的最大值和最小值分别为 1 和－1 2.----------------------12 分 20. [解] (1)函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)， 当 a＝－1 时， f′(x)＝－2x－1＋1 x＝－2x2－x＋1 x ， 令 f′(x)＝0，得 x＝1 2(负值舍去)， ---------------------------------------2 分 当 00；当 x>1 2时，f′(x)<0. -----------------------------------------4 分 ∴f(x)的单调递增区间为 0，1 2 ，单调递减区间为 1 2，＋∞ .------------------------6 分 (2)令 f(x)＝－x2＋ax＋ln x＝0，得 a＝x－ln x x . 令 g(x)＝x－ln x x ，其中 x∈ 1 3，3 ， ----------------------------------------------8 分 则 g′(x)＝1－1－ln x x2 ＝x2＋ln x－1 x2 ，令 g′(x)＝0，得 x＝1，当1 3≤x<1 时，g′(x)<0；当 10， ∴g(x)的单调递减区间为 1 3，1 ，单调递增区间为(1,3]，------------------------10 分 ∴g(x)min＝g(1)＝1，∵函数 f(x)在 1 3，3 上有两个零点，g 1 3 ＝3ln 3＋1 3，g(3)＝3－ln 3 3 ，3ln 3＋1 3>3－ ln 3 3 ， ∴实数 a 的取值范围是 1，3－ln 3 3 . ------------------------------------------------12 分 21．【解析】（1）  fx的定义域为 0, ， - 8 - 当 0a  时，  fx的导数   1 lnf x x  ． -----------------------------------------------------2 分 令   0fx  ，解得 1 ex  ；令   0fx  ，解得 10 ex． 从而 在 10, e   单调递减，在 1 e , 单调递增．----------------------------------------4 分 所以，当 1 ex  时， 取得最小值 e 1 ． -----------------------------------------------------6 分 （2）令          2ln 12 aF x f x g x x a x x x x       ， 那么，对于任意 1x  都有    f x g x ，只须   0Fx 即可，   ln aF x x axx     ，且  10F  ， 记      ln 1aG x F x x ax xx     ，   2 1 aG x ax x    ， -------------------------8 分 由已知 0a  ，所以对于任意 ，都有   2 1 0aG x ax x     恒成立， 又因为    1 1 0GF   ，所以  Fx在 1,  上单调递增， 所以    min 112 aF x F    ， -----------------------------------------------10 分 由 102 a   ，解得 2a  ， 所以，当 2a  时，对任意 1x  都有    f x g x 成立． -------------------------------12 分 22．【解析】（1）曲线 2 2 2 1 sin     ，即 2 2 2sin 2  ， ∵ 2 2 2xy ， sin y ， ∴曲线C 的直角坐标方程为 2222xy，即 2 2 12 x y． -----------------------------5 分 （2）将 1 cos sin xt yt      代入 并整理得 221 sin 2 cos 1 0tt    ， ∴ 12 2 2cos 1 sin tt       ， 12 2 1 1 sin tt    ， ∴ 12 12 11MA MB AB t t MA MB MA MB MA MB t t        ，---------------------------------------------- 8 分 ∵     22 1 2 1 2 1 2 2 2 22 4cos 4 2 24 1 sin 1 sin1 sin t t t t t t           ， ∴ 2 2 22 111 sin 221 1 sin MA MB       ． ----------------------------------------------------------------10 分 - 9 -