高考卷 普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案（理） 15页

更多内容见微信公众号或小编微信空间 微信公众号: 数学第六感 ； 微信号: AA-teacher 1999 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类） 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分.满分 150 分.考试时间 120 分 钟. 第 I 卷（选择题共 60 分） 一、选择题：本大题共 14 小题；第 1～10 题每小题 4 分，第 11～14 题每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.如图，I 是全集，M、P、S 是 I 的 3 个子集，则阴 影部分所表示的集合是 ( ) (A) （M∩P）∩S (B) （M∩P）∪S (C) （M∩P）∩ S (D) （M∩P）∪ S 2.已知映射 f ： BA  ，其中，集合  ,4,3,2,1,1,2,3 A 集合 B 中的元素都是 A 中元素在映射 f 下的象，且对任意的 ,Aa  在 B 中和它对应的元素是 a ，则集合 B 中元素的个数是 ( ) (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 3. 若函数  xfy  的反函数是     0,,  abbafxgy ，则  bg 等于 ( ) (A) a (B) 1a (C) b (D) 1b 4. 函 数     0sin  xMxf 在 区 间  ba, 上 是 增 函 数 ， 且     ,, MbfMxf  则函数      xMxg cos 在 ba, 上 ( ) 更多内容见微信公众号或小编微信空间 微信公众号: 数学第六感 ； 微信号: AA-teacher (A) 是增函数 (B) 是减函数 (C) 可以取得最大值 M (D) 可以取得最小值 M 5.若   xxf sin 是周期为 的奇函数，则  xf 可以是 ( ) (A) xsin (B) xcos (C) x2sin (D) x2cos 6.在极坐标系中，曲线     3sin4  关于 ( ) (A) 直线 3   轴对称 (B) 直线  6 5 轴对称 (C) 点    3,2  中心对称 (D) 极点中心对称 7.若干毫升水倒入底面半径为 cm2 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为 cm6 ，若将这 些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是 ( ) (A) cm36 (B) cm6 (C) cm3 182 (D) cm3 123 8.若   ,32 4 4 3 3 2 210 4 xaxaxaxaax  则    2 31 2 420 aaaaa  的值 为 ( ) (A) 1 (B) －1 (C) 0 (D) 2 9.直线 0323  yx 截圆 422  yx 得的劣弧所对的圆心角为 ( ) (A) 6  (B) 4  (C) 3  (D) 2  10.如图，在多面体 ABCDEF 中，已知面 ABCD 是边 长为 3 的正方形，EF∥AB，EF 2 3 ，EF 与面 AC 的距离 为 2，则该多面体的体积为 ( ) (A) 2 9 (B) 5 (C) 6 (D) 2 15 11.若 ,22sin        ctgtg 则  ( ) (A)     4,2  (B)    0,4  (C)    4,0  (D)    2,4  12.如果圆台的上底面半径为 5，下底面半径为 R，中截面把圆台分为上、下两个圆台， 它们的侧面积的比为 1：2，那么 R= ( ) 更多内容见微信公众号或小编微信空间 微信公众号: 数学第六感 ； 微信号: AA-teacher (A) 10 (B) 15 (C) 20 (D) 25 13.已知两点 ,4 5,4,4 5,1       NM 给出下列曲线方程： ① 0124  yx ② 322  yx ③ 12 2 2  yx ④ 12 2 2  yx 在曲线上存在点 P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是 ( ) (A) ①③ (B) ②④ (C) ①②③ (D) ②③④ 14.某电脑用户计划使用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元、70 元的单片软件 和盒装磁盘，根据需要，软件至少买 3 片，磁盘至少买 2 盒，则不同的选购方式共有 ( ) (A) 5 种 (B) 6 种 (C) 7 种 (D) 8 种 第 II 卷（非选择题共 90 分） 二．填空题：本大题共 4 小题；每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中横线上. 15.设椭圆  012 2 2 2  ba b y a x 的右焦点为 1F ，右准线为 1l ，若过 1F 且垂直于 x 轴的 弦长等于点 1F 到 1l 的距离，则椭圆的率心率是_____ 16.在一块并排 10 垄的田地中，选择 2 垄分别种植 A、B 两种作物，每种作物种植一 垄，为有利于作物生长，要求 A、B 两种作物的间隔不小于 6 垄，则不同的选垄方法共有 ___________种（用数字作答） 17.若正数 a 、 b 满足 ,3 baab 则 ab 的取值范围是______________ 18. 、  是两个不同的平面， m 、 n 是平面 及  之外的两条不同直线，给出四 个论断： ① m ⊥ n ② ⊥  ③ n ⊥  ④ m ⊥ 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个．．命题： ________________________________ 更多内容见微信公众号或小编微信空间 微信公众号: 数学第六感 ； 微信号: AA-teacher 三、解答题：本大题共 6 小题；共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19.（本小题满分 10 分） 解不等式  1,01log22log3  aaxx aa 20.（本小题满分 12 分） 设复数 .sin2cos3   iz 求函数       20arg  zy 的最大值以及对应的 值. 21.（本小题满分 12 分） 如图，已知正四棱柱 1111 DCBAABCD  ，点 E 在棱 DD1 上，截面 EAC ∥ BD1 ， 且面 EAC 与底面 ABCD 所成的角为 .,45 aAB  Ⅰ.求截面 EAC 的面积； Ⅱ.求异面直线 11BA 与 AC 之间的距离； Ⅲ.求三棱锥 EACB 1 的体积. 22.（本小题满分 12 分） 右图为一台冷轧机的示意图.冷轧机由若干对 轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减 薄后输出. Ⅰ.输入带钢的厚度为 ，输出带钢的厚度为  ，若每对轧辊的减薄率不超过 0r .问冷 轧机至少需要安装多少对轧辊？ （一对轧辊减薄率 输入该对的带钢厚度 从该对输出的带钢厚度输入该对的带钢厚度  ） Ⅱ.已知一台冷轧机共有 4 对减薄率为 20%的轧辊，所有轧辊周长均为 1600 .mm 若第 k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距 为 .kL 为了便于检修，请计算 1L 、 2L 、 3L 并填入下表（轧钢过程中，带钢宽度不变，且 不考虑损耗）. 轧锟序号 k 1 2 3 4 疵点间距 kL （单位： mm ） 1600 更多内容见微信公众号或小编微信空间 微信公众号: 数学第六感 ； 微信号: AA-teacher 23.（本小题满分 14 分） 已知函数  xfy  的图像是自原点出发的一条折线，当  ,2,1,01  nnyn 时，该图像是斜率为 nb 的线段（其中正常数 1b ），设数列 nx 由    ,2,1 nnxf n 定义. Ⅰ.求 1x 、 2x 和 nx 的表达式； Ⅱ.求  xf 的表达式，并写出其定义域； Ⅲ.证明：  xfy  的图像与 xy  的图像没有横坐标大于 1 的交点. 24.（本小题满分 14 分） 如 图 ， 给 出 定 点   00, aaA 和 直 线 Bxl .1:  是直线 l 上的动点， BOA 的角平分线 交 AB 于点C .求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示 的曲线类型与 a 值的关系. 1999 年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题（理工农医类）参考解答 一、选择题（本题考查基础知识和基础运算）. 1. C 2. A 3. A 4. C 5. B 6. B 7. B 8. A 9. C 10. D 11.B 12. D 13.D 14. C 二、填空题（本题考查基本知识和基本运算）. 15. 2 1 16. 12 17.  ,9 18. nmnm   ,, 或   nmnm ,, 三、解答题 19. 本小题主要考查对数函数的性质、对数不等式、无理不等式解法等基础知识，考 查分类讨论的思想. 更多内容见微信公众号或小编微信空间 微信公众号: 数学第六感 ； 微信号: AA-teacher 解：原不等式等价于           .01log2 ,1log22log3 ,02log3 2 x xx x a aa a 由①得 ,3 2log xa 由②得 ,4 3log xa 或 1log xa ， 由③得 .2 1log xa 由此得 ,4 3log3 2  xa 或 .1log xa 当 1a 时得所求的解是  axxaxax         || 4 3 3 2  ； 当 10  a 时得所求的解是  .0|| 3 2 4 3 axxaxax         20.本小题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基础知识，考查综合运用所 学数学知识解决问题的能力. 解：由 20   得 .0tg 由  sin2cos3 iz  得 2arg0  z 及   .3 2 cos3 sin2arg   tgtg z 故  zy arg tgtg   2 3 21 3 2 tg tgtg    , 23 1  tgtg   因为 ,6223   tgtg ① ② ③ 更多内容见微信公众号或小编微信空间 微信公众号: 数学第六感 ； 微信号: AA-teacher 所以 .12 6 23 1    tgtg 当且仅当       2023  tgtg 时，即 2 6tg 时，上式取等号. 所以当 2 6arctg 时，函数 ytg 取得最大值 .12 6 由 zy arg  得 .2,2    y 由于在    2,2  内正切函数是递增函数，函数 y 也取最大值 .12 6arctg 21.本小题主要考查空间线面关系、二面角和距离的概 念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力. Ⅰ. 解：如图，连结 BD 交 AC 于 O，连结 EO 因为底面 ABCD 是正方形， 所以 DO⊥AC 又因为 ED⊥底面 AC， 因为 EO⊥AC 所以∠EOD 是面 EAC 与底面 AC 所成二面角的平面角. 所以 ，45EOD .45sec2 2,2,2 2 aaEOaACaDO   故 .2 2 2aS EAC  II. 解：由题设 1111 DCBAABCD  是正四棱柱，得 AA1 ⊥底面 AC， AA1 ⊥AC， 又 AA1 ⊥ ,11BA 所以 AA1 是异面直线 11BA 与 AC 间的公垂线. 因为 11BD ∥面 EAC，且面 BDD1 与面 EAC 交线为 EO 更多内容见微信公众号或小编微信空间 微信公众号: 数学第六感 ； 微信号: AA-teacher 所以 11BD ∥EO 又 O 是 DB 的中点， 所以 E 是 DD1 的中点， 11BD =2EO =2 a 所以 DD1 .222 1 aDBBD  异面直线 11BA 与 AC 间的距离为 .2a Ⅲ. 解法一：如图，连结 11BD 因为 DD1 =DB= .2a 所以 11BBDD 是正方形， 连结 DB1 交 BD1 于 P，交 EO 于 Q 因为 DB1 ⊥ BD1 ，EO∥ BD1 ， 所以 DB1 ⊥EO 又 AC⊥EO，AC⊥ED 所以 AC⊥面 11BBDD ， 所以 DB1 ⊥AC， 所以 DB1 ⊥面 EAC. 所以 QB1 是三棱锥 EACB 1 的高. 由 DQ=PQ，得 .2 3 4 3 11 aDBQB  所以 .4 2 2 3 2 2 3 1 32 1 aaaV EACB  所以三棱锥 EACB 1 的体积是 .4 2 3a 解法二：连结 OB1 ，则 11 2 EOBAEACB VV   因为 AO⊥面 11BBDD ， 更多内容见微信公众号或小编微信空间 微信公众号: 数学第六感 ； 微信号: AA-teacher 所以 AO 是三棱锥 1EOBA  的高，AO .2 2 a 在正方形 11BBDD 中，E、O 分别是 DD1 、DB 的中点（如右图），则 .4 3 2 1 aS EOB  ∴ .4 2 2 2 4 3 3 12 32 1 aaaV EACB  所以三棱锥 EACB 1 的体积是 .4 2 3a 22. 本小题主要考查等比数列、对数计算等基本知识，考查综合运用数学知识和方法 解决实际问题的能力. Ⅰ.解：厚度为 的带钢经过减薄率均为 0r 的 n 对轧辊后厚度为   .1 0 nra  为使输出带钢的厚度不超过  ，冷轧机的轧辊数（以对为单位）应满足    nra 01 即   .1 0 ar n  由于   ,0,01 0  ar n  对比上式两端取对数，得   .lg1lg 0 arn  由于   ,01lg 0  r 所以   .1lg lglg 0r an    因此，至少需要安装不小于  01lg lglg r a   的整数对轧辊. Ⅱ. 解法一：第 k 对轧辊出口处疵点间距离为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢 体积为    kra 11600 宽度  ,%20r其中 而在冷轧机出口处两疵点间带钢的体积为 更多内容见微信公众号或小编微信空间 微信公众号: 数学第六感 ； 微信号: AA-teacher    41 raLk 宽度. 因宽度相等，且无损耗，由体积相等得    kra 11600  41 raLk   ,%20r 即 .8.01600 4 k kL 由此得  ,20003 mmL   ,25002 mmL   mmL 31251  填表如下 轧锟序号 k 1 2 3 4 疵点间距 kL （单位： mm ） 3125 2500 2000 1600 解法二：第 3 对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢体积与 冷轧机出口处两疵点间带钢体积相等，因宽度不变，有  ,2.011600 3  L 所以  .20008.0 1600 3 mmL  同理  ,25008.0 3 2 mmLL   .31258.0 2 1 mmLL  填表如下 轧锟序号 k 1 2 3 4 疵点间距 kL （单位： mm ） 3125 2500 2000 1600 23.本小题主要考查函数的基本概念、等比数列、数列极限的基础知识，考查归纳、推 理和综合的能力. Ⅰ.解：依题意   00 f ，又由   11 xf ，当 10  y 时，函数  xfy  的图像是 斜率为 10 b 的线段，故由     10 0 1 1   x fxf 更多内容见微信公众号或小编微信空间 微信公众号: 数学第六感 ； 微信号: AA-teacher 得 .11 x 又由   22 xf ，当 21  y 时， 函数  xfy  的图 像是斜率 为 b 的线 段，故由     bxx xfxf   12 12 ，即 bxx 1 12  得 .112 bx  记 .00 x 由函数  xfy  图像中第 n 段线段的斜率为 1nb ，故得     .1 1 1      n nn nn bxx xfxf 又     1, 1   nxfnxf nn ； 所以 .2,1,1 1 1      nbxx n nn 由此知数列 1 nn xx 为等比数列，其首项为 1，公比为 .1 b 因 ,1b 得   ,1 1 111 1 1 1 1             b bb bb xxx n n n k kkn  即 .1 1 1       b bb x n n Ⅱ. 解：当 10  y ，从Ⅰ可知 ,xy  当 10  x 时，   .xxf  当 1 nyn 时，即当 1 nn xxx 时，由Ⅰ可知      .3,2,1,1   nxxxxxbnxf nnn n 为求函数  xf 的定义域，须对  ,3,2,11 1 1         nb bb x n n 进行讨论. 更多内容见微信公众号或小编微信空间 微信公众号: 数学第六感 ； 微信号: AA-teacher 当 1b 时， 11 1 limlim 1          b b b bb x n nnn ； 当 10  b 时， nxn , 也趋向于无穷大. 综上，当 1b 时，  xfy  的定义域为     1,0 b b ； 当 10  b 时，  xfy  的定义域为 ,0 . Ⅲ. 证法一：首先证明当 1b ， 11  b bx 时，恒有   xxf  成立. 用数学归纳法证明： （ⅰ）由Ⅱ知当 1n 时,在  2,1 x 上,    ,11  xbxfy 所以      011  bxxxf 成立 （ⅱ）假设 kn  时在  1, kk xx 上恒有   xxf  成立. 可得   ,1 11   kk xkxf 在  21,  kk xx 上,    .1 1 1    k k xxbkxf 所以     xxxbkxxf k k    1 11      011 11 1    kk k xkxxb 也成立. 由(ⅰ)与(ⅱ)知,对所有自然数 n 在  1, nn xx 上都有   xxf  成立. 即 11  b bx 时,恒有   xxf  . 其次，当 1b ,仿上述证明,可知当 1x 时,恒有   xxf  成立. 故函数  xfy  的图像与 xy  的图像没有横坐标大于 1 的交点. 证法二:首先证明当 1b , 11  b bx 时,恒有   xxf  成立. 对任意的 ,1,1     b bx 存在 nx ,使 1 nn xxx ，此时有        ,10  nxxxxbxfxf n n n 更多内容见微信公众号或小编微信空间 微信公众号: 数学第六感 ； 微信号: AA-teacher 所以     .nn xxfxxf  又   ,111 1 nnn x bbnxf   所以   0 nn xxf ， 所以     0 nn xxfxxf ， 即有   xxf  成立. 其次，当 1b ，仿上述证明，可知当 1x 时，恒有   xxf  成立. 故函数  xf 的图像与 xy  的图像没有横坐标大于 1 的交点. 24. 本小题主要考查曲线与方程，直线和圆锥曲线等基础知识，以及求动点轨迹的基 本技能和综合运用数学知识解决问题的能力. 解法一：依题意，记   ,,1 R bbB 则直线 OA 和 OB 的方程分别为 0y 和 .bxy  设点  yxC , ，则有 ax 0 ，由 OC 平分∠AOB，知点 C 到 OA、OB 距离相等.根据 点到直线的距离公式得 . 1 2b bxyy   ① 依题设，点 C 在直线 AB 上，故有  .1 axa by  由 0 ax ，得   .1 ax yab   ② 将②式代入①式得       ,111 2 2 22 2              ax xyay ax yay 整理得      .0121 222  yaaxxay 若 0y ，则      axyaaxxa  00121 22 ； 若 0y ，则  AOBb ,0 ，点 C 的坐标为（0，0），满足上式. 综上得点 C 的轨迹方程为 更多内容见微信公众号或小编微信空间 微信公众号: 数学第六感 ； 微信号: AA-teacher      axyaaxxa  00121 22 （ⅰ）当 1a 时，轨迹方程化为  .102  xxy ③ 此时，方程③表示抛物线弧段； （ⅱ）当 1a 时，轨迹方程化为  ax a a y a a a ax                01 11 1 2 2 2 2 2 ④ 所以，当 10  a 时，方程④表示椭圆弧段； 当 1a 时，方程④表示双曲线一支的弧段. 解法二：如图，设 D 是 l 与 x 轴的交点，过点 C 作 CE⊥ x 轴，E 是垂足. （ⅰ）当| BD |≠0 时，设点 C（ x ， y ），则 .0,0  yax 由 CE∥BD 得  .1 axa y EA DACEBD  因为∠COA=∠COB =∠COD－∠BOD = －∠COA－∠BOD， 所以 2∠COA= －∠BOD 所以   , 1 22 2 COA COACOA   tg tgtg   BODBOD  tgtg  因为 ,x yCOA tg  .1 axa y OD BDBOD tg 所以  ,1 1 2 2 2 axa y x y x y    更多内容见微信公众号或小编微信空间 微信公众号: 数学第六感 ； 微信号: AA-teacher 整理得      .00121 22 axyaaxxa  （ⅱ）当| BD | = 0 时，∠BOA =  ，则点 C 的坐标为（0，0），满足上式. 综合（ⅰ），（ⅱ），得点 C 的轨迹方程为      .00121 22 axyaaxxa  以下同解法一.