2019年高考数学总复习检测第17讲　导数在函数中的应用——极值与最值 3页

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2021-06-15 发布

2019年高考数学总复习检测第17讲　导数在函数中的应用——极值与最值

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第17讲　导数在函数中的应用——极值与最值 ‎1．已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝3x－x3的极大值点坐标为(b，c)，则ad等于(A)‎ A．2 B．1‎ C．－1 D．－2‎ ‎ 因为y′＝3－3x2＝3(1＋x)(1－x)，‎ 所以当－10；当x>1时，y′<0，‎ 所以x＝1时，y有极大值2，所以b＝1，c＝2，‎ 又因为a，b，c，d成等比数列，所以ad＝bc＝2.‎ ‎2．函数f(x)＝在[0,1]上的最大值为(B)‎ A．0 B. C．e D. ‎ 因为f′(x)＝＝≥0在[0,1]上恒成立，所以f(x)在[0,1]上为增函数，所以当x＝1时，f(x)有最大值.‎ ‎3．函数f(x)＝x3－3x＋1在区间[－2,0]上的最大值和最小值分别为(C)‎ A．1，－1 B．3,1‎ C．3，－1 D．5,1‎ ‎ f′(x)＝3x2－3＝0，解得x＝－1或x＝1(舍去)．‎ 当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎－2‎ ‎(－2,－1)‎ ‎－1‎ ‎(－1,0)‎ ‎0‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ f(x)‎ ‎－1‎  ‎3‎  ‎1‎ ‎　所以最大值为3，最小值为－1.‎ ‎4．(2017·鞍山二模)已知函数f(x)＝a－x＋xex，若存在x0>－1，使得f(x0)≤0，则实数a的取值范围为(B)‎ A．[0，＋∞) B．(－∞，0]‎ C．[1，＋∞) D．(－∞，1]‎ ‎ 由f(x)≤0，得a≤x－xex，‎ 令h(x)＝x－xex(x>－1)，h′(x)＝1－(1＋x)ex，‎ 令g(x)＝h′(x)，g′(x)＝－(x＋2)ex<0，‎ 所以h′(x)在(－1，＋∞)内递减，而h′(0)＝0，‎ 所以h(x)在(－1,0)内递增，在(0，＋∞)内递减，‎ 所以h(x)的最大值为h(0)＝0.故a≤0.‎ ‎5．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M、m，则M－m＝　32　.‎ ‎ 由f′(x)＝3x2－12＝0，得x＝±2，‎ 又f(3)＝－1，f(－3)＝17，f(2)＝－8，f(－2)＝24，‎ 所以M＝24，m＝－8，故M－m＝32.‎ ‎6．(2016·深圳市第二次调研)函数f(x)＝x2－3x＋ln x在x＝　　处取得极大值．‎ ‎ 因为f′(x)＝2x－3＋＝，‎ x∈(0，)时，f′(x)>0，x∈(，1)时，f′(x)<0，‎ 所以函数f(x)＝x2－3x＋ln x在x＝处取得极大值．‎ ‎7．设f(x)＝，其中a为正实数. ‎ ‎(1)当a＝时，求f(x)的极值点； ‎ ‎(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围. ‎ ‎ f′(x)＝ex.①‎ ‎(1)当a＝时，若f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0，‎ 解得x1＝，x2＝.‎ 综合①，可知，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(－∞,)‎ ‎(,)‎ ‎(,＋∞)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎  极大值  极小值  ‎　所以x1＝是极小值点，x2＝是极大值点．‎ ‎(2)若f(x)是R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合①与条件a>0知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，‎ 因此Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，又a>0，知00时，f(x)(B)‎ A. 有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值又无极小值 ‎ 由题设知，当x>0时，[]′＝＝＝xex，‎ 可得＝(x－1)ex＋C(C为常数)，‎ 又f(1)＝0，得C＝0，所以f(x)＝x(x－1)ex.‎ 又f′(x)＝(x2＋x－1)ex，‎ 令f′(x)＝0，解得x＝或x＝(舍去)，‎ 所以当x>0时，x∈(0，)，f′(x)<0，x∈(，＋∞)，f′(x)>0，‎ 所以当x>0时，f(x)有极小值f()，无极大值．‎ ‎9．(2017·天津红桥区模拟)已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m、n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值为　－13　.‎ ‎ 因为f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，‎ 所以f′(2)＝0，又f′(x)＝－3x2＋2ax，‎ 由f′(2)＝－12＋4a＝0，所以a＝3.‎ 所以f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x.‎ 当m、n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值为f(x)的最小值与f′(x)的最小值的和．‎ 由f′(x)＝0得x＝0或x＝2(舍去)，‎ 所以f(x)在[－1,0]上单调递减，在[0,1]上单调递增，‎ 所以f(x)min＝f(0)＝－4.‎ 因为f′(x)＝－3(x－1)2＋3，‎ 又f′(1)＝3，f′(－1)＝－9，所以f′(x)min＝－9.‎ 所以f(m)＋f′(n)的最小值为－13.‎ ‎10．(2017·北京卷)已知函数f(x)＝excos x－x.‎ ‎(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；‎ ‎(2)求函数f(x)在区间[0，]上的最大值和最小值．‎ ‎ (1)因为f(x)＝excos x－x，‎ 所以f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，f′(0)＝0.‎ 又因为f(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.‎ ‎(2)设h(x)＝ex(cos x－sin x)－1，‎ 则h′(x)＝ex(cos x－sin x－sin x－cos x)＝－2exsin x.‎ 当x∈(0，)时，h′(x)<0，‎ 所以h(x)在区间[0，]上单调递减，‎ 所以对任意x∈(0，]有h(x)

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