高中数学分章节训练试题：40立体几何与空间向量2 6页

高三数学章节训练题40《立体几何与空间向量2》‎ 时量：60分钟 满分：80分 班级： 姓名： 计分：‎ ‎ 个人目标：□优秀（‎70’‎~‎80’‎） □良好（‎60’‎～‎69’‎） □合格（‎50’‎～‎59’‎）‎ 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）‎ ‎1.给定下列四个命题： ‎ ‎①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ‎ ‎②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ‎ ‎③垂直于同一直线的两条直线相互平行； ‎ ‎④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. ‎ 其中，为真命题的是（ ） ‎ A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④ ‎ ‎2.给定下列四个命题：‎ ‎①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；‎ ‎②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ‎ ‎③垂直于同一直线的两条直线相互平行； ‎ ‎④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．‎ 其中，为真命题的是（ ） ‎ A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ②和④‎ ‎3.在三棱柱中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎4.设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 ‎ C．若，则 D．若，则 ‎ ‎5.下左图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎ ‎ 俯视图 正(主)视图 侧(左)视图 ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎2‎ o6.如上右图，四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是（　　）．‎ A．①④ B.②④ C.①③④ D.①③中学高.考.资.源.网 二、解答题：（本大题共5小题，每小题10分,满分50分）‎ ‎1. 如图，在直三棱柱中，、分别是、的中点，点在上，。 ‎ 求证：（1）EF∥平面ABC；（2）平面平面.‎ ‎2.如图，在五面体中，点是矩形的对角线的交点，面是等边三角形，棱．（1）证明//平面；（2）设，证明平面．‎ ‎3.如图，直三棱柱ABC-A1B‎1C1中，AB⊥AC,D、E分别为AA1、B‎1C的中点，DE⊥平面BCC1‎ ‎（1）证明：AB=AC（2）设二面角A-BD-C为60°,求B‎1C与平面BCD所成的角的大小A C B A1‎ B1‎ C1‎ D E ‎4．如图，在四棱锥中，底面是矩形，‎ · 平面，，．以的 · 中点为球心、为直径的球面交于点．‎ ‎（1）求证：平面⊥平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正切值；‎ ‎（3）求点到平面的距离．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎5. 已知：四棱柱的三视图如下 ‎⑴ 画出此四棱柱的直观图，并求出四棱柱的体积 ‎⑵ 若为上一点，平面，试确定点位置，并证明平面 高三数学章节训练题40《立体几何与空间向量2》答案 一、选择题 ‎1. 【答案】D ‎【解析】①错, ②正确, ③错, ④正确.故选D ‎2.【解析】选D.‎ ‎3.【答案】：C ‎ 俯视图 正(主)视图 侧(左)视图 ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎【解析】取BC的中点E，则面，，因此与平面所成角即为，设，则，，即有．‎ ‎4.【答案】．C．‎ ‎【解析】对于A、B、D均可能出现，而对于C是正确的． ‎ ‎5.【答案】B ‎【解析】：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面及为 ‎。‎ ‎6.【答案】D ‎【解析】：①取前面棱的中点，证AB平行平面MNP即可；③可证AB与MP平行 二、填空题 ‎1（2009江苏卷） ‎ 如图，在直三棱柱中，、分别是、的中点，点在上，。 ‎ 求证：（1）EF∥平面ABC； ‎ ‎（2）平面平面.‎ ‎2.如图，在五面体中，点是矩形的对角线的交点，面是等边三角形，棱．证明//平面； ‎ （1） 设，证明平面．‎ 证明：（Ⅰ）取CD中点M，连结OM.在矩形ABCD中，，又，则，中学学 连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形. 　又平面CDE， EM平面CDE，∴ FO∥平面CDE ‎ ‎（Ⅱ）证明：连结FM，由（Ⅰ）和已知条件，在等边△CDE中，且.‎ 因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO⊥FM而FM∩CD=M，‎ ‎∴CD⊥平面EOM，从而CD⊥EO. 而，所以EO⊥平面CDF. 高 ‎3.（2009全国卷Ⅱ文）（本小题满分12分）‎ 如图，直三棱柱ABC-A1B‎1C1中，AB⊥AC,D、E分别为AA1、B‎1C的中点，DE⊥平面BCC1‎ ‎（Ⅰ）证明：AB=AC ‎ ‎（Ⅱ）设二面角A-BD-C为60°,求B‎1C与平面BCD所成的角的大小 解析：本题考查线面垂直证明线面夹角的求法，第一问可取BC中点F，通过证明AF⊥平面BCC1,再证AF为BC的垂直平分线，第二问先作出线面夹角，即证四边形AFED是正方形可证平面DEF⊥平面BDC，从而找到线面夹角求解。此题两问也可建立空间直角坐标系利用向量法求解。‎ 解法一：（Ⅰ）取BC中点F，连接EF，则EF，从而EFDA。‎ A C B A1‎ B1‎ C1‎ D E 连接AF，则ADEF为平行四边形，从而AF//DE。又DE⊥平面，故AF⊥平面，从而AF⊥BC，即AF为BC的垂直平分线，所以AB=AC。‎ ‎（Ⅱ）作AG⊥BD，垂足为G，连接CG。由三垂线定理知CG⊥BD，故∠AGC为二面角A-BD-C的平面角。由题设知，∠AGC=600..‎ ‎ 设AC=2，则AG=。又AB=2，BC=，故AF=。‎ 由得2AD=，解得AD=。‎ 故AD=AF。又AD⊥AF，所以四边形ADEF为正方形。‎ 因为BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A，故BC⊥平面DEF，因此平面BCD⊥平面DEF。‎ 连接AE、DF，设AE∩DF=H，则EH⊥DF，EH⊥平面BCD。‎ 连接CH，则∠ECH为与平面BCD所成的角。‎ 因ADEF为正方形，AD=，故EH=1，又EC==2，‎ 所以∠ECH=300，即与平面BCD所成的角为300.‎ 解法二：‎ ‎（Ⅰ）以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A—xyz。‎ 设B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），则（1，0，‎2c）,E（，，c）.‎ 于是=（，，0），=（-1，b,0）.由DE⊥平面知DE⊥BC， =0，求得b=1，所以 AB=AC。‎ ‎（Ⅱ）设平面BCD的法向量则又=（-1，1， 0），‎ ‎=（-1，0，c）,故 ‎ 令x=1, 则y=1, z=,=(1,1, ). ‎ 又平面的法向量=（0，1，0）由二面角为60°知，=60°，‎ 故 °，求得 于是 ， ‎ ‎，°‎ 所以与平面所成的角为30°‎ ‎4．（2009江西卷文）（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，．以的中点为球心、为直径的球面交于点．‎ ‎（1）求证：平面⊥平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成的角；‎ ‎（3）求点到平面的距离．‎ 解：方法（一）：‎ ‎（1）证：依题设，Ｍ在以ＢＤ为直径的球面上，则ＢＭ⊥ＰＤ.‎ 因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，则ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ，‎ 所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，则ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ.‎ ‎（２）设平面ＡＢＭ与ＰＣ交于点Ｎ，因为ＡＢ∥ＣＤ，所以ＡＢ∥平面ＰＣＤ，则ＡＢ∥ＭＮ∥ＣＤ，‎ 由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，则MN是PN在平面ABM上的射影，‎ 所以 就是与平面所成的角，‎ 且 ‎ ‎ 所求角为 ‎ ‎（3）因为O是BD的中点，则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半，由（1）知，ＰＤ⊥‎ 平面ＡＢＭ于M，则|DM|就是D点到平面ABM距离.‎ 因为在Rt△PAD中，，，所以为中点，，则O点到平面ABM的距离等于。‎ ‎5. 已知：四棱柱的三视图如下 ‎⑴ 画出此四棱柱的直观图，并求出四棱柱的体积 ‎⑵ 若为上一点，平面，试确定点位置，并证明平面 解：⑴‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ⑵ 作交于，连，则共面 ‎