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- 2021-06-15 发布
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高三数学章节训练题39《立体几何与空间向量1》
时量:60分钟 满分:80分 班级: 姓名: 计分:
个人目标:□优秀(70’~80’) □良好(60’~69’) □合格(50’~59’)
一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,满分30分)
1、(2009山东卷理)已知α,β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2、在△ABC中,,若使绕直线旋转一周,则所形成的几何体的体积是( )
A. B. C. D.
3.(2009全国卷Ⅱ文) 已知正四棱柱中,=,为重点,则异面直线与所形成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
4、某几何体的一条棱长为,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为a和b的线段,则a+b的最大值为( )
A. B. C. D.
5、某个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( ).
A. B. C. D.
6、一个水平放置的正方形的面积是4, 按斜二测画法所得的直观图是一个四边形, 这个四边形的面积是( ).
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,满分25分)
1、把边长为的正方形ABCD沿对角线AC翻折,则过A,B,C,D四点的球的体 积为 。
2、关于直线与平面,有下列四个命题:
1)若∥,∥,且∥,则∥;
2)若,且,则;
3)若,∥且∥,则;
4)若∥,且,则∥;
其中不正确的命题为
3、已知某个几何体的三视图如下,
根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是
4、在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,P在AD上运动,设,将 沿BP折起,使得面ABP垂直于面BPDC, AC长最小时的值为 .
5、 如图,有一圆柱形的开口容器(下表面密封),其轴截面是边长为2的正方形,P是BC中点,现有一只蚂蚁位于外壁A处,内壁P处有一米粒,则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为 。
三、解答题:(本大题共2小题,满分25分)
A
B
C
A1
B1
C1
1、(2009广东东莞)在直三棱柱中,,,且异面直线与所成的角等于,设.(1)求的值;(2)求平面与平面所成的锐二面角的大小.
2. 如图,在三棱锥中,,,.
(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)求二面角的余弦值;(Ⅲ)求点到平面的距离.
A
C
B
D
P
一、选择题
1、【答案】:B【解析】:由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的
一条直线,,则,反过来则不一定.所以“”是“”的必要不充分条件.
2、【答案】.A 【解析】:
3.【答案】:C【解析】:本题考查异面直线夹角求法,方法一:利用平移,CD’∥BA',因此求△EBA'中∠A'BE即可,易知EB=,A'E=1,A'B=,故由余弦定理求cos∠A'BE=,或由向量法可求。
4、【答案】C【解析】:结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算。如图设长方体的高宽高分别为,由题意得, ,,所以,
当且仅当时取等号
5、【答案】D
【解析】从三视图可以观察发现几何体是正三棱柱,底面边长为2cm,高为1cm,所以体积为.
6、【答案】B
二、填空题
1、【解析】本题不告知翻折的角度,意在提醒学生找不变量。不难发现正方形对角线交点到四个顶点的距离相等,故交点即为球心,半径为1。
【答案】
2、【答案】1),4);
【解析】 传统空间位置关系的判断依然是高考小题考查的重点,解决此类问题,可多参考教室空间,或手中的笔与桌子这些具体模型。
3、【解析】 三视图是新增考点,根据三张图的关系,可知几何体是正方体的一部分,是一个四棱锥。本题也可改编为求该几何体的外接球的表面积,则必须补全为正方体,增加了难度。
【答案】
4、【解析】本题是立体几何中的最值问题,建立数学模型,用函数解决是一种重要方法。过A作AHBP于H,连CH,
∴.∴.
在,
∴在,,∴时,AC长最小;
【答案】
5、 【解析】此类求曲面上最短路程问题通常考虑侧面展开。侧面展开后得矩形,其中问题转化为在上找一点使最短作关于的对称点,连接,令与交于点则得 的最小值为
【答案】
三、填空题
解法一:(1),
就是异面直线与所成的角,
即,……(2分)
连接,又,则
为等边三角形,……………………………4分
由,,
;………6分
(2)取的中点,连接,过作于,连接,
,平面
………………8分
又,所以平面,即,
所以就是平面与平面所成的锐二面角的平面角。…………10分
在中,,,,
,…………………………13分
因此平面与平面所成的锐二面角的大小为。…………14分
说明:取的中点,连接,…………同样给分(也给10分)
解法二:(1)建立如图坐标系,于是,,,()
A1
B
C
B1
C1
x
y
z
,, …………3分
由于异面直线与所成的角,
所以与的夹角为
即
………6分
(2)设向量且平面
于是且,即且,
又,,所以,不妨设……8分
同理得,使平面,(10分)
设与的夹角为,所以依,
,………………12分
平面,平面,
因此平面与平面所成的锐二面角的大小为。…………14分
说明:或者取的中点,连接,于是显然平面
2. 解法一:(Ⅰ)取中点,连结.,.,.
,平面.平面,.
(Ⅱ),,.又,.
又,即,且,平面.取中点.连结.
A
C
B
E
P
A
C
B
D
P
H
,.是在平面内的射影,.
是二面角的平面角.在中,,,,.
(Ⅲ)由(Ⅰ)知平面,平面平面.过作,垂足为.
平面平面,平面.的长即为点到平面的距离.
由(Ⅰ)知,又,且,平面.平面,.在中,,,
.. 点到平面的距离为.
网解法二:(Ⅰ),,.又,
.,平面.平面,.
(Ⅱ)如图,以为原点建立空间直角坐标系.则.
设.,,.取中点,连结.
,,,.是二面角的平面角.
,,,
A
C
B
P
z
x
y
H
E
.
(Ⅲ),在平面内的射影为正的中心,且的长为点到平面的距离.
如(Ⅱ)建立空间直角坐标系.,点的坐标为..中学学点到平面的距离为.
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