内蒙古北方重工业集团有限公司第三中学2020届高三下学期第四次模拟考试数学（理）试题 Word版含解析 22页

北重三中2020届高三模拟考试理科数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项填涂在答题卡上.）‎ ‎1.若集合，则的真子集的个数为（ ）‎ A. 3 B. 4 C. 7 D. 8‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出的交集，再依据求真子集个数公式求出，也可列举求出．‎ ‎【详解】，，‎ ‎，所以的真子集的个数为，故选A．‎ ‎【点睛】有限集合的子集个数为个，真子集个数为．‎ ‎2.若复数，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）‎ A. z虚部为﹣i B. |z|=2‎ C. z表示的点在第四象限 D. z的共轭复数为﹣1﹣i ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简,然后逐一核对四个选项得答案.‎ ‎【详解】∵,‎ ‎∴z的虚部为；|z|；z表示的点的坐标为,在第四象限；‎ z的共轭复数为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念与复数模的求法,考查复数的代数表示法及其几何意义,是基础题.‎ - 22 -‎ ‎3.为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ）‎ A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为，且==，‎ 所以由=，知，即只需将的图像向右平移个单位，故选B ‎4.已知且，，则（ ）‎ A. ﹣1 B. C. 0 D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由函数的解析式可得，可解得a、b的值，即可得的值，进而可计算得答案．‎ ‎【详解】解：根据题意，且，，‎ 则，‎ 解可得，‎ 则，‎ 则.‎ - 22 -‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了分段函数求函数值的问题，分段函数是一个函数，分段不分家，一般需要分情况讨论.‎ ‎5.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图，给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的值为2，则输出的值为（ ）‎ A. 80 B. 192 C. 448 D. 36‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意,该框图利用秦九韶算法计算变量v的值,根据算法功能反复执行循环体计算即可.‎ ‎【详解】初始：v=1， k=1；‎ 第一步：v=1×2+21=4，k=2；‎ 第二步：v=4×2+22=12，k=3；‎ 第三步：v=12×2+23=32，k=4；‎ 第四步：v=32×2+24=80，k=5；‎ 第五步：v=80×2+25=192，k=6；‎ 因为此时,故停止循环,输出v的值为192.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要是考查了程序框图的循环结构,注意本题中的k与v值计算式子中的k值相差1,容易出错.同时本题考查了学生的逻辑推理能力以及计算能力,属于基础题.‎ - 22 -‎ ‎6.对于实数m，“”是“方程1表示椭圆”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆的标准方程满足条件入手得出m的取值范围,进而得出正确选项.‎ ‎【详解】由“方程1表示椭圆“可得,解得且,‎ 所以“”是 “方程1表示椭圆”的必要不充分条件.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及充分必要条件的判定.‎ ‎7.设圆关于直线对称的圆为，则圆的圆面围绕直线旋转一周所围成的几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可求出直线恒过圆心，推知旋转体为球，求出球的半径，可求球的体积.‎ ‎【详解】解：圆的标准方程为，‎ 则圆心为，半径为，‎ 设圆的圆心为，‎ - 22 -‎ 则解得，‎ 则圆为，其关于对称，‎ 圆的圆面围绕直线旋转一周所围成的几何体为球，半径为，‎ 所以该球的体积为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查旋转体的知识，直线与圆的位置关系，考查计算能力，空间想象能力.‎ ‎8.已知函数，是函数的导函数，则的图象大致是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求得导函数解析式，根据导函数的奇偶性可排除，再根据，可排除，从而得到结果.‎ ‎【详解】由题意得：‎ ‎ 为奇函数，图象关于原点对称 可排除 - 22 -‎ 又当时，，可排除 本题正确选项：‎ ‎【点睛】此题考查函数图象的识别，考查对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力，关键是能够利用奇偶性和特殊位置的符号来排除错误选项，属于中档题．‎ ‎9.一个几何体的三视图如图所示，若这个几何体的体积为，则该几何体的外接球的表面积为（ ）‎ A. 36π B. 64π C. 81π D. 100π ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式求出四棱锥体的外接球的半径，最后求出球的表面积．‎ ‎【详解】解：根据几何体的三视图可以得到该几何体为四棱锥体，‎ 如图所示：‎ ‎ ‎ 该四棱锥的底面是长方形，长为6，宽为5，‎ 四棱锥的高即为 - 22 -‎ 所以，‎ 解得．‎ 设四棱锥的外接球的半径为r，‎ 所以，‎ 解得，‎ 所以，‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了几何体的三视图问题，解题的关键是要能由三视图解析出原几何体，从而解决问题.‎ ‎10.已知为双曲线上不同三点，且满足（为坐标原点），直线的斜率记为，则的最小值为（ ）‎ A. 8 B. 4 C. 2 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由 有点 为线段 的中点,设 ,则 ,所以 ,故 ,由于点A,B,P在双曲线上,所以 ,代入上式中,有 ,所以 ,故最小值为4.选B.‎ 点睛:本题主要考查了双曲线的有关计算,涉及到的知识点有平面向量中线定理,直线斜率的计算公式,基本不等式等,属于中档题. 首先得出原点为线段AB的中点,再求出直线PA,PB斜率的表达式, 算出为定值,再由基本不等式求出最小值.‎ - 22 -‎ ‎11.在中，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，用数量积的定义求出各数量积，结合余弦定理，求出（用表示），然后由正弦定理求得结论．‎ ‎【详解】设，‎ 所以，，，即，，，‎ 所以，，，‎ 解得，，，‎ 所以，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量的数量积，考查余弦定理和正弦定理．解题关键是用余弦定理表示出各边长．‎ ‎12.设函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C - 22 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 恰有两个极值点，则恰有两个不同的解，求出可确定是它的一个解，另一个解由方程确定，令通过导数判断函数值域求出方程有一个不是1的解时t应满足的条件.‎ ‎【详解】由题意知函数定义域为，‎ ‎.‎ 因为恰有两个极值点，所以恰有两个不同的解，显然是它的一个解，另一个解由方程确定，且这个解不等于1.‎ 令，则，所以函数在上单调递增，从而，且.所以，当且时，恰有两个极值点，即实数的取值范围是.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数与方程的应用，属于中档题.‎ 二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知，，与的夹角为，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可以求出，进而求出，进行数量积的运算即可求出，从而得出 - 22 -‎ 的值．‎ ‎【详解】解：，与的夹角为，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查向量数量积的定义的应用，考查坐标法求向量的模，属于基础题．‎ ‎14.若，则二项式的展开式中含项的系数是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据定积分计算出的值，然后根据二项式展开式的通项公式，计算出含项的系数.‎ ‎【详解】，所以二项式，其展开式的通项公式为，令，则，所以含项的系数是.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查定积分的计算，考查二项式展开式中指定项系数的求法，属于基础题.‎ ‎15.已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2，要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需要至少布置___________门高炮？（用数字作答，已知，）‎ - 22 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设需要至少布置门高炮，则，由此能求出结果．‎ ‎【详解】解：设需要至少布置门高炮，‎ 某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2，‎ 要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，‎ ‎，‎ 解得，，‎ 需要至少布置11门高炮．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查概率的求法，考查次独立重复试验中事件恰好发生次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．‎ ‎16.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，点P是的重心，且，则___________.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角恒等变换可得或，利用重心的性质、模的性质及数量积得运算，可建立关于的方程，求解后利用余弦定理求a即可.‎ ‎【详解】，‎ 整理得，‎ 解得或（舍去），‎ - 22 -‎ 或.‎ 又∵点P是的重心，‎ ‎，‎ 整理得.‎ 当时，，得，‎ 此时，‎ 解得；‎ 当时，，得，‎ 此时，‎ 解得.‎ 故答案为：或 ‎【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，向量的数量积运算法则、性质，余弦定理，属于难题.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17至21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎17.如图，已知四棱锥底面ABCD为正方形，平面ABCD，E、F分别是BC，PC的中点，，．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的大小．‎ - 22 -‎ ‎【答案】（1）见解析 （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ ‎（2）以A为原点，如图所示建立直角坐标系 ‎，，‎ 设平面FAE法向量为，则 ‎，，‎ ‎18.甲、乙两家销售公司拟各招聘一名产品推销员，日工资方案如下：甲公司规定底薪元，每销售一件产品提成元；乙公司规定底薪元，日销售量不超过件没有提成，超过件的部分每件提成元．‎ - 22 -‎ ‎（I）请将两家公司各一名推销员的日工资（单位：元）分别表示为日销售件数的函数关系式；‎ ‎（II）从两家公司各随机选取一名推销员，对他们过去天的销售情况进行统计，得到如下条形图．若记甲公司该推销员的日工资为，乙公司该推销员的日工资为（单位：元），将该频率视为概率，请回答下面问题：‎ 某大学毕业生拟到两家公司中的一家应聘推销员工作，如果仅从日均收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．‎ ‎【答案】(I)见解析； (Ⅱ)见解析.‎ ‎【解析】‎ 分析：(I)依题意可得甲公司一名推销员的工资与销售件数的关系是一次函数的关系式，而乙公司是分段函数的关系式，由此解得；(Ⅱ)分别根据条形图求得甲、乙公司一名推销员的日工资的分布列，从而可分别求得数学期望，进而可得结论.‎ 详解：(I)由题意得,甲公司一名推销员的日工资(单位:元) 与销售件数的关系式为:.‎ 乙公司一名推销员的日工资(单位: 元) 与销售件数的关系式为:‎ ‎(Ⅱ)记甲公司一名推销员的日工资为(单位: 元),由条形图可得的分布列为 ‎122‎ ‎124‎ ‎126‎ ‎128‎ ‎130‎ ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ 记乙公司一名推销员的日工资为(单位: 元),由条形图可得的分布列为 - 22 -‎ ‎120‎ ‎128‎ ‎144‎ ‎160‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ ‎01‎ ‎∴‎ ‎∴仅从日均收入的角度考虑，我会选择去乙公司.‎ 点睛：求解离散型随机变量数学期望的一般步骤为：‎ 第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；‎ 第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；‎ 第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；‎ 第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值 ‎19.已知为等差数列的前项和，且，.‎ ‎（1）求数列的通项公式和前项和：‎ ‎（2）记，求的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设等差数列的公差为，根据通项公式列方程解得，可得通项公式和前项和的公式；‎ ‎（2）求出后，利用相邻两项抵消可得结果.‎ ‎【详解】（1）设等差数列的公差为，‎ 由，得 解得，所以.‎ - 22 -‎ ‎.‎ ‎（2）.‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的通项公式基本量的运算，考查了等差数列的通项公式和求和公式，考查了数列的求和问题，属于中档题.‎ ‎20.已知椭圆：的左、右顶点分别为C、D，且过点，P是椭圆上异于C、D的任意一点，直线PC，PD的斜率之积为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）O为坐标原点，设直线CP交定直线x = m于点M，当m为何值时，为定值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设,根据题意可求得,再代入椭圆方程即可求解.‎ ‎(2)根据(1)中的结论, 设直线,并联立与椭圆的方程,求得,,再表达出,根据恒成立问题求得系数的关系即可.也可直接设表达出,利用满足椭圆的方程进行化简,同理可得m的值.‎ ‎【详解】解：（1）椭圆过点,∴,①‎ 又因为直线的斜率之积为,故.‎ - 22 -‎ 又.即,②‎ 联立①②得．‎ ‎∴所求的椭圆方程为．‎ ‎（2）方法1：由（1）知,．由题意可设,‎ 令x=m,得．又设 由整理得：．‎ ‎∵,∴,,‎ 所以,‎ ‎∴,‎ 要使与k无关,只需,此时恒等于4.‎ ‎∴‎ 方法2：:设,则,令x=m,得,‎ ‎∴‎ 由有,‎ 所以,‎ 要使与无关,只须,此时.‎ ‎∴‎ ‎【点睛】本题主要考查了根据椭圆中的定值问题求解基本量的方法,‎ - 22 -‎ 同时也考查了联立直线与椭圆方程,根据椭圆上的点满足椭圆的方程,求解定值的有关问题.属于难题.‎ ‎21.已知函数，.‎ ‎（1）当时，求曲线与的公切线方程：‎ ‎（2）若有两个极值点，，且，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用求导，分别求出两条曲线的切线方程.由题知两条切线重合，则可列出方程组，解得两个切点的横坐标，从而求出切线方程；‎ ‎（2）求的导函数，其零点即为极值点，，则.根据，可设，解得，由此构造函数，利用导函数求出的值域，也即是的范围.由构造函数，求出其值域，也即是实数的取值范围.‎ ‎【详解】解：（1）时，，‎ 设曲线上的切点为，则切线方程为，‎ 设曲线上的切点为，则切线方程为 由两条切线重合得 ，则 ，‎ 所以，公切线方程为；‎ ‎（2），‎ ‎，设其零点为，，‎ ‎，，‎ 令，可得，则 ‎ - 22 -‎ 令，，‎ 又令，，则单调递减，‎ ‎，，单调递减，‎ ‎ ，易知， ，‎ 令，，‎ 则在上递增，‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线，利用导函数求函数的最值问题.其中多次构造函数，利用导函数分析单调性，进而求最值是较大的难点，本题难度较大.‎ ‎（选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时,用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑）‎ ‎22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）写出直线的极坐标方程；‎ ‎（2）设动直线与，分别交于点、，求的最大值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)消去参数求的直角坐标方程,再根据,代入方程化简即可.‎ - 22 -‎ ‎(2) 设直线的极坐标方程为,再根据极坐标的几何意义求解即可.‎ ‎【详解】解：（1）直线的直角坐标方程为,‎ 将,代入方程得 ‎,即,‎ ‎（2）设直线的极坐标方程为,设,‎ 则,‎ 由,有,‎ 当时,的最大值为．‎ ‎【点睛】本题主要考查了参数方程与直角坐标的互化以及直角坐标化极坐标的方法.同时也考查了极坐标的几何意义,属于中等题型.‎ ‎23.已知的最小值为．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）已知，，且，求证：．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）去绝对值变成分段函数，根据分段函数的单调性可求出的最小值，与已知最小值相等列式可求出；‎ ‎（Ⅱ）利用分析法，结合基本不等式，即可证明．‎ - 22 -‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题意，函数，‎ 可得在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ 所以函数的最小值为，‎ 又因为函数的最小值为，可得，解得．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ），，且，‎ 要证，‎ 只要证，‎ 即证，‎ 即证，‎ 即证，‎ 即证，‎ 即证，‎ 显然，当且仅当时取等号．‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题主要考查了含有绝对值函数的最值的求解，以及不等式的证明，其中解答中合理去掉绝对值号，转化为分段函数，以及合理利用分析法，结合基本不等式进行证明是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．‎ ‎ ‎ - 22 -‎ - 22 -‎