高中数学4_1坐标系4_1_1直角坐标系课后训练苏教版选修4-41 4页

4.1.1 直角坐标系 练习 1．已知平面内三点 A(2,2)，B(1,3)，C(7，x)，满足 BA AC  ，则 x 的值为__________． 2．椭圆 2 2 112 3 x y  的一个焦点为 F1，点 P 在椭圆上，如果线段 PF1 的中点 M 在 y 轴上， 那么点 M 的纵坐标为__________． 3．已知 B，C 是两个定点，|BC|＝6，且△ABC 的周长为 16，顶点 A 的轨迹方程是 ________________． 4．平面内有一条固定线段 AB，|AB|＝4，动点 P 满足|PA|－|PB|＝3，O 为 AB 的中点， 则|OP|的最小值是__________． 5．已知△ABC 的底边 BC 长为 12，且底边固定，顶点 A 是动点，且 sin B－sin C＝ 1 2 sin A，若以底边 BC 为 x 轴、底边 BC 的中点为原点建立平面直角坐标系，则点 A 的轨迹方程是 __________． 6．在△ABC 中，B(－2,0)，C(2,0)，△ABC 的周长为 10，则 A 点的轨迹方程是__________． 7．平面直角坐标系中，O 为原点，已知两点 A(4,1)，B(－1,3)，若点 C 满足 OC mOA nOB    ，其中 m，n∈[0,1]，且 m＋n＝1，则点 C 的轨迹方程为__________． 8．已知△ABC 的三边 a，b，c 满足 b2＋c2＝5a2，BE，CF 分别为边 AC，AB 上的中线，则 BE 与 CF 的位置关系是__________． 9．在△ABC 中，底边 BC＝12，其他两边 AB 和 AC 上中线 CE 和 BD 的和为 30，建立适当 的坐标系，求此三角形重心 G 的轨迹方程． 10．设有半径为 3 km 的圆形村落，A，B 两人同时从村落中心出发，A 向东而 B 向北前 进．A 出村后不久，改变前进方向，沿着切于村落边界的方向前进，后来恰好与 B 相遇．设 A，B 两人的速度都一定，其比为 3∶1，问两人在何处相遇？ 参考答案 1. 答案：7 解析：∵ BA  ＝(1，－1)， AC  ＝(5，x－2)， 又 BA AC  ， ∴ =0BA AC  ，即 5－(x－2)＝0. ∴x＝7. 2. 答案： 3± 4 解析：设 F1 为右焦点，则 F1(3,0)， 设 P(x0，y0)，PF1 的中点 M(0，yM)， 则 03 02 x  ，得 x0＝－3， 把(－3，y0)代入椭圆方程，得 0 3± 2y  ∴ 30 2 3±2 4My        . 当 F1 为左焦点时，F1(－3,0)，解法同上，所得答案相同． 3. 答案： 2 2 125 16 x y  (y≠0) 解析：∵△ABC 的周长为 16，|BC|＝6， ∴|AB|＋|AC|＝10. 以 BC 所在的直线为 x 轴，过 BC 的中点作 BC 的垂线为 y 轴，建立平面直角坐标系， 则 B(－3,0)，C(3,0)， 设 A(x，y)(y≠0)， 则 2 2 2 2( 3) ( 3) 10x y x y      (y≠0)， 化简得顶点 A 的轨迹方程是 2 2 125 16 x y  (y≠0)． 4. 答案： 3 2 解析：以 AB 的中点 O 为原点，AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，如图，则点 P 的轨迹是以 A，B 为焦点的双曲线的一部分.2c＝4,c＝2,2a＝3， ∴ 3 2a  . ∴ 2 2 2 9 74 =4 4b c a － － . ∴点 P 的轨迹方程为 2 2 3=19 7 2 4 4 x y x     . 由图可知，点 P 为双曲线与 x 轴的右交点时，|OP|最小，|OP|的最小值是 3 2 . 5. 答案： 2 2 19 27 x y  (x＜－3) 解析：由题意知，B(－6,0)，C(6,0)， 由 sin B－sin C＝ 1 2 sin A 得 b－c＝ 1 2 a＝6， 即|AC|－|AB|＝6. 所以，点 A 的轨迹是以 B(－6,0)，C(6,0)为焦点，实轴长为 6 的双曲线的左支且 y≠0， 其方程为 2 2 19 27 x y  (x＜－3)． 6. 答案： 2 2 19 5 x y  (y≠0) 解析：∵△ABC 的周长为 10， ∴|AB|＋|AC|＋|BC|＝10， 其中|BC|＝4，即有|AB|＋|AC|＝6＞4， ∴A 点的轨迹为椭圆除去与 x 轴相交的两点，且 2a＝6，2c＝4.∴a＝3，c＝2，b2＝5. ∴A 点的轨迹方程为 2 2 19 5 x y  (y≠0)． 7. 答案：2x＋5y－13＝0(－1≤x≤4) 解析：由题意知，A，B，C 三点共线且 C 在线段 AB 上，点 A，B 所在的直线方程为 2x ＋5y－13＝0，且点 C 的轨迹为线段 AB， 所以，点 C 的轨迹方程为 2x＋5y－13＝0，x∈[－1,4]． 8. 答案：垂直 解析：如图，以△ABC 的顶点 A 为原点 O，边 AB 所在的直线为 x 轴，建立平面直角坐标 系， 则 A(0,0)，B(c,0)， ,02 cF      . 设 C(x，y)，则 ,2 2 x yE      ，∴ 2BE yk c x    ， 2 2CF yk x c   ， 由 b2＋c2＝5a2，得|AC|2＋|AB|2＝5|BC|2， 即 x2＋y2＋c2＝5[(x－c)2＋y2]， 整理得 2y2＝(2x－c)(2c－x)，∴ 22 1.(2 )(2 )BE CF yk k x c c x      ∴BE 与 CF 互相垂 直． 9. 解：以 BC 所在直线为 x 轴，BC 边中点为原点， 过原点且与 BC 垂直的直线为 y 轴， 则 B(6,0)，C(－6,0)，|BD|＋|CE|＝30， 可知|GB|＋|GC|＝ 2 3 (|BD|＋|CE|)＝20， ∴G 的轨迹是椭圆，轨迹方程为 2 2 1100 64 x y  (x≠±10)． 10. 解：以村落中心为原点，A，B 开始前进方向分别为 x 轴正方向、y 轴正方向建立平 面直角坐标系，如图． 由题意可设 A，B 两人速度分别为 3v km/h，v km/h，设 A 出发 x0 h 后，在点 P 处改变 前进方向，又经 y0 h 在点 Q 处与 B 相遇，则 P，Q 两点的坐标分别是(3vx0,0)，(0，v(x0＋y0))． 由于 A 从 P 到 Q 行走的时间是 y0 h， 于是由勾股定理，得|OP|2＋|OQ|2＝|PQ|2， 有(3vx0)2＋[v(x0＋y0)]2＝(3vy0)2. 化简整理，得(x0＋y0)(5x0－4y0)＝0. 又 x0＋y0＞0，∴5x0＝4y0. ① 又 0 0 03PQ x yk x   ， ② ①代入②，得 3 4PQk   . 由于切线 PQ 与 y 轴的交点 Q 对应的纵坐标 v(x0＋y0)的值就是问题的答案，于是问题转 化为“当直线 3 4y x b＝ ＋ 与圆 x2＋y2＝9 相切时，求纵截距 b 的值”．利用圆心到切线的 距离等于半径，得 2 2 4 | | 153 43 4 b b    (b＞0)． 答：A 和 B 相遇的地点在村落中心正北15 4 km 处．