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- 2021-06-15 发布
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必修一 1.3.2 奇偶性 课时1奇偶性的概念
一、选择题
1、若函数y=f(x+1)是偶函数,则下列说法不正确的是( )
A.y=f(x)图象关于直线x=1对称
B.y=f(x+1)图象关于y轴对称
C.必有f(1+x)=f(-1-x)成立
D.必有f(1+x)=f(1-x)成立
2、设函数f(x)=(x+1)(x+a)为偶函数,则a等于( )
A.1 B.0
C.-1 D.-2
3、函数f(x)=-x的图象关于( )
A.y轴对称 B.直线y=-x对称
C.坐标原点对称 D.直线y=x对称
4、下面四个结论:①偶函数的图象一定与y轴相交;②奇函数的图象一定过原点;③偶函数的图象关于y轴对称;④没有一个函数既是奇函数,又是偶函数.
其中正确的命题个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
5、f(x)是定义在R上的奇函数,下列结论中,不正确的是( )
A.f(-x)+f(x)=0
B.f(-x)-f(x)=-2f(x)
C.f(x)·f(-x)≤0
D.=-1
6、已知y=f(x),x∈(-a,a),F(x)=f(x)+f(-x),则F(x)是( )
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.非奇非偶函数
二、填空题
7、已知奇函数f(x)的定义域为R,且对于任意实数x都有f(x+4)=f(x),又f(1)=4,那么f[f(7)]=________.
8、设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)<0的解集是________.
9、偶函数y=f(x)的定义域为[t-4,t],则t=________________________________.
三、解答题
10、已知函数f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的a,b∈R都满足f(ab)=af(b)+bf(a).
(1)求f(0),f(1)的值;
(2)判断f(x)的奇偶性.
11、y=f(x)在(0,2)上是增函数,y=f(x+2)是偶函数,则f(1),f(),f()的大小关系是____________________________.
12、已知奇函数f(x)=.
(1)求实数m的值,并在给出的直角坐标系中画出y=f(x)的图象;
(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,试确定a的取值范围.
13、判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=3,x∈R;
(2)f(x)=5x4-4x2+7,x∈[-3,3];
(3)f(x)=|2x-1|-|2x+1|;
(4)f(x)=
以下是答案
一、选择题
1、C [由题意,y=f(x+1)是偶函数,所以f(x+1)的图象关于y轴对称,故B正确;y=f(x+1)的图象向右平移一个单位即得函数y=f(x)的图象,故A正确;可令g(x)=f(x+1),由题意g(-x)=g(x),即f(-x+1)=f(x+1),故D正确,所以选C.]
2、C [∵f(x)为偶函数,∴f(-1)=f(1),
即(-1+1)(-1+a)=2(1+a),∴a=-1.]
3、C [∵x∈(-∞,0)∪(0,+∞),且对定义域内每一个x,
都有f(-x)=-+x=-f(x),
∴该函数f(x)=-x是奇函数,其图象关于坐标原点对称.]
4、A [函数y=是偶函数,但不与y轴相交,故①错;
函数y=是奇函数,但不过原点,故②错;
函数f(x)=0既是奇函数又是偶函数,故④错.]
5、D [∵f(-x)=-f(x),A、B显然正确,
因为f(x)·f(-x)=-[f(x)]2≤0,故C正确.
当x=0时,由题意知f(0)=0,故D错误.]
6、B [F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x).
又x∈(-a,a)关于原点对称,∴F(x)是偶函数.]
二、填空题
7、0
解析 ∵f(7)=f(3+4)=f(3)=f(-1+4)=f(-1)
=-f(1)=-4,
∴f[f(7)]=f(-4)=-f(4)=-f(0+4)=-f(0)=0.
8、(-2,0)∪(2,5]
解析 由题意知,函数f(x)在[-5,0]的图象与在[0,5]上的图象关于原点对称.画出f(x)在[-5,0]上的图象,观察可得答案.
9、2
解析 偶函数的定义域应当关于原点对称,故t-4=-t,得t=2.
三、解答题
10、解 (1)令a=b=0,f(0)=0+0=0;
令a=b=1,f(1)=f(1)+f(1),
∴f(1)=0.
(2)f(x)是奇函数.
因为f(-x)=f((-1)·x)=-f(x)+xf(-1),
而0=f(1)=f((-1)×(-1))=-f(-1)-f(-1),
∴f(-1)=0,∴f(-x)=-f(x)+0=-f(x),
即f(x)为奇函数.
11、f()3>,
∴f()0,
f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.
又f(x)为奇函数,
∴f(-x)=-f(x)=-x2-2x,
∴f(x)=x2+2x,∴m=2.
y=f(x)的图象如图所示.
(2)由(1)知f(x)
=,
由图象可知,f(x)在[-1,1]上单调递增,
要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,只需,
解得10时,f(x)=1-x2,此时-x<0,
∴f(-x)=(-x)2-1=x2-1,∴f(-x)=-f(x);
当x<0时f(x)=x2-1,
此时-x>0,f(-x)=1-(-x)2=1-x2,
∴f(-x)=-f(x);
当x=0时,f(-0)=-f(0)=0.
综上,对x∈R,总有f(-x)=-f(x),
∴f(x)为R上的奇函数.