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  • 2021-06-15 发布

高一数学同步练习:奇偶性 课时1奇偶性的概念

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必修一 1.3.2 奇偶性 课时1奇偶性的概念 一、选择题 ‎1、若函数y=f(x+1)是偶函数,则下列说法不正确的是(  )‎ A.y=f(x)图象关于直线x=1对称 B.y=f(x+1)图象关于y轴对称 C.必有f(1+x)=f(-1-x)成立 D.必有f(1+x)=f(1-x)成立 ‎2、设函数f(x)=(x+1)(x+a)为偶函数,则a等于(  )‎ A.1 B.0‎ C.-1 D.-2‎ ‎3、函数f(x)=-x的图象关于(  )‎ A.y轴对称 B.直线y=-x对称 C.坐标原点对称 D.直线y=x对称 ‎4、下面四个结论:①偶函数的图象一定与y轴相交;②奇函数的图象一定过原点;③偶函数的图象关于y轴对称;④没有一个函数既是奇函数,又是偶函数.‎ 其中正确的命题个数是(  )‎ A.1 B.2‎ C.3 D.4‎ ‎5、f(x)是定义在R上的奇函数,下列结论中,不正确的是(  )‎ A.f(-x)+f(x)=0‎ B.f(-x)-f(x)=-‎2f(x)‎ C.f(x)·f(-x)≤0‎ D.=-1‎ ‎6、已知y=f(x),x∈(-a,a),F(x)=f(x)+f(-x),则F(x)是(  )‎ A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 二、填空题 ‎7、已知奇函数f(x)的定义域为R,且对于任意实数x都有f(x+4)=f(x),又f(1)=4,那么f[f(7)]=________.‎ ‎8、设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)<0的解集是________.‎ ‎9、偶函数y=f(x)的定义域为[t-4,t],则t=________________________________.‎ 三、解答题 ‎10、已知函数f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的a,b∈R都满足f(ab)=af(b)+bf(a).‎ ‎(1)求f(0),f(1)的值;‎ ‎(2)判断f(x)的奇偶性.‎ ‎11、y=f(x)在(0,2)上是增函数,y=f(x+2)是偶函数,则f(1),f(),f()的大小关系是____________________________.‎ ‎12、已知奇函数f(x)=.‎ ‎(1)求实数m的值,并在给出的直角坐标系中画出y=f(x)的图象;‎ ‎(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,试确定a的取值范围.‎ ‎13、判断下列函数的奇偶性:‎ ‎(1)f(x)=3,x∈R;‎ ‎(2)f(x)=5x4-4x2+7,x∈[-3,3];‎ ‎(3)f(x)=|2x-1|-|2x+1|;‎ ‎(4)f(x)= 以下是答案 一、选择题 ‎1、C [由题意,y=f(x+1)是偶函数,所以f(x+1)的图象关于y轴对称,故B正确;y=f(x+1)的图象向右平移一个单位即得函数y=f(x)的图象,故A正确;可令g(x)=f(x+1),由题意g(-x)=g(x),即f(-x+1)=f(x+1),故D正确,所以选C.]‎ ‎2、C [∵f(x)为偶函数,∴f(-1)=f(1),‎ 即(-1+1)(-1+a)=2(1+a),∴a=-1.]‎ ‎3、C [∵x∈(-∞,0)∪(0,+∞),且对定义域内每一个x,‎ 都有f(-x)=-+x=-f(x),‎ ‎∴该函数f(x)=-x是奇函数,其图象关于坐标原点对称.]‎ ‎4、A [函数y=是偶函数,但不与y轴相交,故①错;‎ 函数y=是奇函数,但不过原点,故②错;‎ 函数f(x)=0既是奇函数又是偶函数,故④错.]‎ ‎5、D [∵f(-x)=-f(x),A、B显然正确,‎ 因为f(x)·f(-x)=-[f(x)]2≤0,故C正确.‎ 当x=0时,由题意知f(0)=0,故D错误.]‎ ‎6、B [F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x).‎ 又x∈(-a,a)关于原点对称,∴F(x)是偶函数.]‎ 二、填空题 ‎7、0‎ 解析 ∵f(7)=f(3+4)=f(3)=f(-1+4)=f(-1)‎ ‎=-f(1)=-4,‎ ‎∴f[f(7)]=f(-4)=-f(4)=-f(0+4)=-f(0)=0.‎ ‎8、(-2,0)∪(2,5]‎ 解析 由题意知,函数f(x)在[-5,0]的图象与在[0,5]上的图象关于原点对称.画出f(x)在[-5,0]上的图象,观察可得答案.‎ ‎9、2‎ 解析 偶函数的定义域应当关于原点对称,故t-4=-t,得t=2.‎ 三、解答题 ‎10、解 (1)令a=b=0,f(0)=0+0=0;‎ 令a=b=1,f(1)=f(1)+f(1),‎ ‎∴f(1)=0.‎ ‎(2)f(x)是奇函数.‎ 因为f(-x)=f((-1)·x)=-f(x)+xf(-1),‎ 而0=f(1)=f((-1)×(-1))=-f(-1)-f(-1),‎ ‎∴f(-1)=0,∴f(-x)=-f(x)+0=-f(x),‎ 即f(x)为奇函数.‎ ‎11、f()3>,‎ ‎∴f()0,‎ f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.‎ 又f(x)为奇函数,‎ ‎∴f(-x)=-f(x)=-x2-2x,‎ ‎∴f(x)=x2+2x,∴m=2.‎ y=f(x)的图象如图所示.‎ ‎(2)由(1)知f(x)‎ ‎=,‎ 由图象可知,f(x)在[-1,1]上单调递增,‎ 要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,只需,‎ 解得10时,f(x)=1-x2,此时-x<0,‎ ‎∴f(-x)=(-x)2-1=x2-1,∴f(-x)=-f(x);‎ 当x<0时f(x)=x2-1,‎ 此时-x>0,f(-x)=1-(-x)2=1-x2,‎ ‎∴f(-x)=-f(x);‎ 当x=0时,f(-0)=-f(0)=0.‎ 综上,对x∈R,总有f(-x)=-f(x),‎ ‎∴f(x)为R上的奇函数.‎