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  • 2021-06-15 发布

高中数学新人教版选修2-2课时作业:第二章 推理与证明2.3 数学 归纳法

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【创新设计】2016-2017 学年高中数学 第二章 推理与证明 2.3 数学 归纳法课时作业 新人教版选修 2-2 明目标、知重点 1.了解数学归纳法的原理. 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 1.数学归纳法 证明一个与正整数 n 有关的命题,可按下列步骤进行: ①(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0(n0∈N*)时命题成立; ②(归纳递推)假设当 n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当 n=k+1 时命题也成立. 2.应用数学归纳法时特别注意: (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数 n 有关的命题. (2)在用数学归纳法证明中,两个基本步骤缺一不可. (3)步骤②的证明必须以“假设当 n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立”为条件. 情境导学] 多米诺骨牌游戏是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌,玩时将骨牌按一定间距排列 成行,保证任意两相邻的两块骨牌,若前一块骨牌倒下,则一定导致后一块骨牌倒下.只要 推倒第一块骨牌,就必然导致第二块骨牌倒下; 而第二块骨牌倒下,就必然导致第三块骨牌 倒下…,最后不论有多少块骨牌都能全部倒下.请同学们思考所有的骨牌都一一倒下蕴涵怎 样的原理? 探究点一 数学归纳法的原理 思考 1 多米诺骨牌游戏给你什么启示?你认为一个骨牌链能够被成功推倒,靠的是什么? 答 (1)第一张牌被推倒;(2)任意相邻两块骨牌,前一块倒下一定导致后一块倒下.结论: 多米诺骨牌会全部倒下. 所有的骨牌都倒下,条件(2)给出了一个递推关系,条件(1)给出了骨牌倒下的基础. 思考 2 对于数列{an},已知 a1=1,an+1= an 1+an ,试写出 a1,a2,a3,a4,并由此作出猜想.请 问这个结论正确吗?怎样证明? 答 a1=1,a2=1 2 ,a3=1 3 ,a4=1 4 , 猜想 an=1 n (n∈N*). 以下为证明过程: (1)当 n=1 时,a1=1=1 1 ,所以结论成立. (2)假设当 n=k(k∈N*)时,结论成立,即 ak=1 k , 则当 n=k+1 时 ak+1= ak 1+ak (已知) = 1 k 1+1 k (代入假设) = 1 k k+1 k (变形) = 1 k+1 (目标) 即当 n=k+1 时,结论也成立. 由(1)(2)可得,对任意的正整数 n 都有 an=1 n 成立. 思考 3 你能否总结出上述证明方法的一般模式? 答 一般地,证明一个与正整数 n 有关的命题 P(n),可按下列步骤进行: (1)(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0(n0∈N*)时命题成立; (2)(归纳递推)假设当 n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当 n=k+1 时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立. 上述证明方法叫做数学归纳法. 思考 4 用数学归纳法证明 1+3+5+…+(2n-1)=n2,如采用下面的证法,对吗?若不对请 改正. 证明:(1)n=1 时,左边=1,右边=12=1,等式成立. (2)假设 n=k 时等式成立,即 1+3+5+…+(2k-1)=k2, 则当 n=k+1 时,1+3+5+…+(2k+1)=k+1×[1+2k+1] 2 =(k+1)2 等式也成立. 由(1)和(2)可知对任何 n∈N*等式都成立. 答 证明方法不是数学归纳法,因为第二步证明时,未用到归纳假设.从形式上看这种证法, 用的是数学归纳法,实质上不是,因为证明 n=k+1 正确时,未用到归纳假设,而用的是等 差数列求和公式. 探究点二 用数学归纳法证明等式 例 1 用数学归纳法证明 12+22+…+n2=nn+12n+1 6 (n∈N*). 证明 (1)当 n=1 时,左边=12=1, 右边=1×1+1×2×1+1 6 =1, 等式成立. (2)假设当 n=k(k∈N*)时等式成立,即 12+22+…+k2=kk+12k+1 6 , 那么,12+22+…+k2+(k+1)2 =kk+12k+1 6 +(k+1)2 =kk+12k+1+6k+12 6 =k+12k2+7k+6 6 =k+1k+22k+3 6 =k+1[k+1+1][2k+1+1] 6 , 即当 n=k+1 时等式也成立. 根据(1)和(2),可知等式对任何 n∈N*都成立. 反思与感悟 (1)用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题,关键在于“先看项”,弄 清等式两边的构成规律,等式的两边各有多少项,项的多少与 n 的取值是否有关.由 n=k 到 n=k+1 时,等式的两边会增加多少项,增加怎样的项. 跟踪训练 1 求证:1-1 2 +1 3 -1 4 +…+ 1 2n-1 - 1 2n = 1 n+1 + 1 n+2 +…+ 1 2n (n∈N*). 证明 当 n=1 时,左边=1-1 2 =1 2 , 右边=1 2 , 所以等式成立. 假设 n=k(k∈N*)时, 1-1 2 +1 3 -1 4 +…+ 1 2k-1 - 1 2k = 1 k+1 + 1 k+2 +…+ 1 2k 成立. 那么当 n=k+1 时, 1-1 2 +1 3 -1 4 +…+ 1 2k-1 - 1 2k + 1 2k+1-1 - 1 2k+1 = 1 k+1 + 1 k+2 +…+ 1 2k + 1 2k+1 - 1 2k+1 = 1 k+2 + 1 k+3 +…+ 1 2k + 1 2k+1 + 1 k+1 - 1 2k+1 ] = 1 k+1+1 + 1 k+1+2 +…+ 1 k+1+k + 1 2k+1 , 所以 n=k+1 时,等式也成立. 综上所述,对于任何 n∈N*,等式都成立. 探究点三 用数学归纳法证明数列问题 例 2 已知数列 1 1×4 , 1 4×7 , 1 7×10 ,…, 1 3n-23n+1 ,…,计算 S1,S2,S3,S4,根据计算结 果,猜想 Sn 的表达式,并用数学归纳法进行证明. 解 S1= 1 1×4 =1 4 ; S2=1 4 + 1 4×7 =2 7 ; S3=2 7 + 1 7×10 = 3 10 ; S4= 3 10 + 1 10×13 = 4 13 . 可以看出,上面表示四个结果的分数中,分子与项数 n 一致,分母可用项数 n 表示为 3n+1. 于是可以猜想 Sn= n 3n+1 . 下面我们用数学归纳法证明这个猜想. (1)当 n=1 时,左边=S1=1 4 , 右边= n 3n+1 = 1 3×1+1 =1 4 , 猜想成立. (2)假设当 n=k(k∈N*)时猜想成立,即 1 1×4 + 1 4×7 + 1 7×10 +…+ 1 3k-23k+1 = k 3k+1 , 那么, 1 1×4 + 1 4×7 + 1 7×10 +…+ 1 3k-23k+1 + 1 [3k+1-2][3k+1+1] = k 3k+1 + 1 3k+13k+4 = 3k2+4k+1 3k+13k+4 = 3k+1k+1 3k+13k+4 = k+1 3k+1+1 , 所以,当 n=k+1 时猜想也成立. 根据(1)和(2),可知猜想对任何 n∈N*都成立. 反思与感悟 归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法,数学归纳法是“完全归纳”的一种科 学方法,对于无穷尽的事例,常用不完全归纳法去发现规律,得出结论,并设法给予证明, 这就是“归纳——猜想——证明”的基本思想. 跟踪训练 2 数列{an}满足 Sn=2n-an(Sn 为数列{an}的前 n 项和),先计算数列的前 4 项,再猜 想 an,并证明. 解 由 a1=2-a1, 得 a1=1; 由 a1+a2=2×2-a2, 得 a2=3 2 ; 由 a1+a2+a3=2×3-a3, 得 a3=7 4 ; 由 a1+a2+a3+a4=2×4-a4, 得 a4=15 8 . 猜想 an=2n-1 2n-1 . 下面证明猜想正确: (1)当 n=1 时,由上面的计算可知猜想成立. (2)假设当 n=k 时猜想成立, 则有 ak=2k-1 2k-1 , 当 n=k+1 时,Sk+ak+1=2(k+1)-ak+1, ∴ak+1=1 2 2(k+1)-Sk] =k+1-1 2 (2k-2k-1 2k-1 ) =2k+1-1 2k+1-1 , 所以,当 n=k+1 时,等式也成立. 由(1)和(2)可知,an=2n-1 2n-1 对任意正整数 n 都成立. 1.若命题 A(n)(n∈N*)在 n=k(k∈N*)时命题成立,则有 n=k+1 时命题成立.现知命题对 n =n0(n0∈N*)时命题成立,则有( ) A.命题对所有正整数都成立 B.命题对小于 n0 的正整数不成立,对大于或等于 n0 的正整数都成立 C.命题对小于 n0 的正整数成立与否不能确定,对大于或等于 n0 的正整数都成立 D.以上说法都不正确 答案 C 解析 由已知得 n=n0(n0∈N*)时命题成立,则有 n=n0+1 时命题成立;在 n=n0+1 时命题成 立的前提下,又可推得 n=(n0+1)+1 时命题也成立,依此类推,可知选 C. 2.用数学归纳法证明“1+a+a2+…+a2n+1=1-a2n+2 1-a (a≠1)”.在验证 n=1 时,左端计算所 得项为( ) A.1+a B.1+a+a2 C.1+a+a2+a3 D.1+a+a2+a3+a4 答案 C 解析 将 n=1 代入 a2n+1 得 a3,故选 C. 3.用数学归纳法证明 1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N*)的过程如下: (1)当 n=1 时,左边=1,右边=21-1=1,等式成立. (2)假设当 n=k(k∈N*)时等式成立,即 1+2+22+…+2k-1=2k-1,则当 n=k+1 时,1+2 +22+…+2k-1+2k=1-2k+1 1-2 =2k+1-1.所以当 n=k+1 时等式也成立.由此可知对于任何 n∈N*,等式都成立. 上述证明的错误是________. 答案 未用归纳假设 解析 本题在由 n=k 成立, 证 n=k+1 成立时, 应用了等比数列的求和公式, 而未用上假设条件, 这与数学归纳法的要求不符. 4.用数学归纳法证明 1+n 2 ≤1+1 2 +1 3 +…+1 2n≤1 2 +n(n∈N*) 证明 (1)当 n=1 时,左式=1+1 2 , 右式=1 2 +1, 所以3 2 ≤1+1 2 ≤3 2 ,命题成立. (2)假设当 n=k(k∈N*)时,命题成立, 即 1+k 2 ≤1+1 2 +1 3 +…+1 2k≤1 2 +k, 则当 n=k+1 时, 1+1 2 +1 3 +…+1 2k+ 1 2k+1 + 1 2k+2 +…+ 1 2k+2k>1+k 2 +2k· 1 2k+1=1+k+1 2 . 又 1+1 2 +1 3 +…+1 2k+ 1 2k+1 + 1 2k+2 +…+ 1 2k+2k<1 2 +k+2k·1 2k=1 2 +(k+1), 即当 n=k+1 时,命题成立. 由(1)和(2)可知,命题对所有的 n∈N*都成立. 呈重点、现规律] 在应用数学归纳法证题时应注意以下几点: (1)验证是基础:找准起点,奠基要稳,有些问题中验证的初始值不一定为 1; (2)递推是关键:正确分析由 n=k 到 n=k+1 时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明 问题的保障; (3)利用假设是核心:在第二步证明中一定要利用归纳假设,这是数学归纳法证明的核心环节, 否则这样的证明就不是数学归纳法证明. 一、基础过关 1.某个命题与正整数有关,如果当 n=k(k∈N*)时,该命题成立,那么可推得 n=k+1 时, 该命题也成立.现在已知当 n=5 时,该命题成立,那么可推导出( ) A.当 n=6 时命题不成立 B.当 n=6 时命题成立 C.当 n=4 时命题不成立 D.当 n=4 时命题成立 答案 B 2.一个与正整数 n 有关的命题,当 n=2 时命题成立,且由 n=k 时命题成立可以推得 n=k +2 时命题也成立,则( ) A.该命题对于 n>2 的自然数 n 都成立 B.该命题对于所有的正偶数都成立 C.该命题何时成立与 k 取值无关 D.以上答案都不对 答案 B 解析 由 n=k 时命题成立可以推出 n=k+2 时命题也成立.且 n=2,故对所有的正偶数都成 立. 3.在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 1 2 n(n-3)条时,第一步验证 n 等于( ) A.1 B.2 C.3 D.0 答案 C 解析 因为是证凸 n 边形,所以应先验证三角形,故选 C. 4.若 f(n)=1+1 2 +1 3 +…+ 1 2n+1 (n∈N*),则 n=1 时 f(n)是( ) A.1 B.1 3 C.1+1 2 +1 3 D.以上答案均不正确 答案 C 5.已知 f(n)=1 n + 1 n+1 + 1 n+2 +…+1 n2,则( ) A.f(n)中共有 n 项,当 n=2 时,f(2)=1 2 +1 3 B.f(n)中共有 n+1 项,当 n=2 时,f(2)=1 2 +1 3 +1 4 C.f(n)中共有 n2-n 项,当 n=2 时,f(2)=1 2 +1 3 D.f(n)中共有 n2-n+1 项,当 n=2 时,f(2)=1 2 +1 3 +1 4 答案 D 解析 观察分母的首项为 n,最后一项为 n2,公差为 1, ∴项数为 n2-n+1. 6.在数列{an}中,a1=2,an+1= an 3an+1 (n∈N*),依次计算 a2,a3,a4,归纳推测出 an 的通项表 达式为( ) A. 2 4n-3 B. 2 6n-5 C. 2 4n+3 D. 2 2n-1 答案 B 解析 a1=2,a2=2 7 ,a3= 2 13 ,a4= 2 19 ,…,可推测 an= 2 6n-5 ,故选 B. 7.用数学归纳法证明(1-1 3 )(1-1 4 )(1-1 5 )…(1- 1 n+2 )= 2 n+2 (n∈N*). 证明 (1)当 n=1 时,左边=1-1 3 =2 3 ,右边= 2 1+2 =2 3 ,等式成立. (2)假设当 n=k(k≥1,k∈N*)时等式成立,即 (1-1 3 )(1-1 4 )(1-1 5 )…(1- 1 k+2 )= 2 k+2 , 当 n=k+1 时, (1-1 3 )(1-1 4 )(1-1 5 )…(1- 1 k+2 )·(1- 1 k+3 ) = 2 k+2 (1- 1 k+3 )= 2k+2 k+2k+3 = 2 k+3 = 2 k+1+2 , 所以当 n=k+1 时等式也成立. 由(1)(2)可知,对于任意 n∈N*等式都成立. 二、能力提升 8.用数学归纳法证明等式(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·3·…·(2n-1)(n∈N*),从 k 到 k +1 左端需要增乘的代数式为( ) A.2k+1 B.2(2k+1) C.2k+1 k+1 D.2k+3 k+1 答案 B 解析 n=k+1 时, 左端为(k+2)(k+3)…(k+1)+(k-1)]·(k+1)+k]·(2k+2)=(k+1)(k+2)…(k+ k)·(2k+1)·2, ∴应增乘 2(2k+1). 9.已知 f(n)= 1 n+1 + 1 n+2 +…+ 1 3n-1 (n∈N*),则 f(k+1)=________. 答案 f(k)+ 1 3k + 1 3k+1 + 1 3k+2 - 1 k+1 10.证明:假设当 n=k(k∈N*)时等式成立,即 2+4+…+2k=k2+k,那么 2+4+…+2k+ 2(k+1)=k2+k+2(k+1)=(k+1)2+(k+1),即当 n=k+1 时等式也成立.因此对于任何 n∈N*等式都成立. 以上用数学归纳法证明“2+4+…+2n=n2+n(n∈N*)”的过程中的错误为________. 答案 缺少步骤归纳奠基 11.用数学归纳法证明 12-22+32-42+…+(-1)n-1·n2=(-1)n-1·nn+1 2 . 证明 (1)当 n=1 时,左边=1, 右边=(-1)1-1×1×2 2 =1, 结论成立. (2)假设当 n=k 时,结论成立. 即 12-22+32-42+…+(-1)k-1k2=(-1)k-1·kk+1 2 , 那么当 n=k+1 时, 12-22+32-42+…+(-1)k-1k2+(-1)k(k+1)2 =(-1)k-1·kk+1 2 +(-1)k(k+1)2 =(-1)k·(k+1)-k+2k+2 2 =(-1)k·k+1k+2 2 . 即 n=k+1 时结论也成立. 由(1)(2)可知,对一切正整数 n 都有此结论成立. 12.已知数列{an}的第一项 a1=5 且 Sn-1=an(n≥2,n∈N*),Sn 为数列{an}的前 n 项和. (1)求 a2,a3,a4,并由此猜想 an 的表达式; (2)用数学归纳法证明{an}的通项公式. (1)解 a2=S1=a1=5,a3=S2=a1+a2=10, a4=S3=a1+a2+a3=5+5+10=20, 猜想 an= 5 n=1 5×2n-2, n≥2,n∈N* . (2)证明 ①当 n=2 时,a2=5×22-2=5,公式成立. ②假设 n=k(k≥2,k∈N*)时成立, 即 ak=5×2k-2, 当 n=k+1 时,由已知条件和假设有 ak+1=Sk=a1+a2+a3+…+ak =5+5+10+…+5×2k-2. =5+51-2k-1 1-2 =5×2k-1. 故 n=k+1 时公式也成立. 由①②可知,对 n≥2,n∈N*,有 an=5×2n-2. 所以数列{an}的通项公式为 an= 5 n=1 5×2n-2 n≥2,n∈N* . 三、探究与拓展 13.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=1-nan(n∈N*). (1)计算 a1,a2,a3,a4; (2)猜想 an 的表达式,并用数学归纳法证明你的结论. 解 (1)计算得 a1=1 2 ;a2=1 6 ;a3= 1 12 ;a4= 1 20 . (2)猜想:an= 1 nn+1 . 下面用数学归纳法证明 ①当 n=1 时,猜想显然成立. ②假设 n=k(k∈N*)时,猜想成立,即 ak= 1 kk+1 . 那么,当 n=k+1 时 Sk+1=1-(k+1)ak+1, 即 Sk+ak+1=1-(k+1)ak+1. 又 Sk=1-kak= k k+1 , 所以 k k+1 +ak+1=1-(k+1)ak+1, 从而 ak+1= 1 k+1k+2 = 1 k+1[k+1+1] . 即 n=k+1 时,猜想也成立. 故由①和②,可知猜想成立.