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- 2021-06-15 发布
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【创新设计】2016-2017 学年高中数学 第二章 推理与证明 2.3 数学
归纳法课时作业 新人教版选修 2-2
明目标、知重点
1.了解数学归纳法的原理.
2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
1.数学归纳法
证明一个与正整数 n 有关的命题,可按下列步骤进行:
①(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0(n0∈N*)时命题成立;
②(归纳递推)假设当 n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当 n=k+1 时命题也成立.
2.应用数学归纳法时特别注意:
(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数 n 有关的命题.
(2)在用数学归纳法证明中,两个基本步骤缺一不可.
(3)步骤②的证明必须以“假设当 n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立”为条件.
情境导学]
多米诺骨牌游戏是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌,玩时将骨牌按一定间距排列
成行,保证任意两相邻的两块骨牌,若前一块骨牌倒下,则一定导致后一块骨牌倒下.只要
推倒第一块骨牌,就必然导致第二块骨牌倒下; 而第二块骨牌倒下,就必然导致第三块骨牌
倒下…,最后不论有多少块骨牌都能全部倒下.请同学们思考所有的骨牌都一一倒下蕴涵怎
样的原理?
探究点一 数学归纳法的原理
思考 1 多米诺骨牌游戏给你什么启示?你认为一个骨牌链能够被成功推倒,靠的是什么?
答 (1)第一张牌被推倒;(2)任意相邻两块骨牌,前一块倒下一定导致后一块倒下.结论:
多米诺骨牌会全部倒下.
所有的骨牌都倒下,条件(2)给出了一个递推关系,条件(1)给出了骨牌倒下的基础.
思考 2 对于数列{an},已知 a1=1,an+1= an
1+an
,试写出 a1,a2,a3,a4,并由此作出猜想.请
问这个结论正确吗?怎样证明?
答 a1=1,a2=1
2
,a3=1
3
,a4=1
4
,
猜想 an=1
n
(n∈N*).
以下为证明过程:
(1)当 n=1 时,a1=1=1
1
,所以结论成立.
(2)假设当 n=k(k∈N*)时,结论成立,即 ak=1
k
,
则当 n=k+1 时 ak+1= ak
1+ak
(已知)
=
1
k
1+1
k
(代入假设)
=
1
k
k+1
k
(变形)
= 1
k+1
(目标)
即当 n=k+1 时,结论也成立.
由(1)(2)可得,对任意的正整数 n 都有 an=1
n
成立.
思考 3 你能否总结出上述证明方法的一般模式?
答 一般地,证明一个与正整数 n 有关的命题 P(n),可按下列步骤进行:
(1)(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0(n0∈N*)时命题成立;
(2)(归纳递推)假设当 n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当 n=k+1 时命题也成立.
只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立.
上述证明方法叫做数学归纳法.
思考 4 用数学归纳法证明 1+3+5+…+(2n-1)=n2,如采用下面的证法,对吗?若不对请
改正.
证明:(1)n=1 时,左边=1,右边=12=1,等式成立.
(2)假设 n=k 时等式成立,即 1+3+5+…+(2k-1)=k2,
则当 n=k+1 时,1+3+5+…+(2k+1)=k+1×[1+2k+1]
2
=(k+1)2 等式也成立.
由(1)和(2)可知对任何 n∈N*等式都成立.
答 证明方法不是数学归纳法,因为第二步证明时,未用到归纳假设.从形式上看这种证法,
用的是数学归纳法,实质上不是,因为证明 n=k+1 正确时,未用到归纳假设,而用的是等
差数列求和公式.
探究点二 用数学归纳法证明等式
例 1 用数学归纳法证明
12+22+…+n2=nn+12n+1
6
(n∈N*).
证明 (1)当 n=1 时,左边=12=1,
右边=1×1+1×2×1+1
6
=1,
等式成立.
(2)假设当 n=k(k∈N*)时等式成立,即
12+22+…+k2=kk+12k+1
6
,
那么,12+22+…+k2+(k+1)2
=kk+12k+1
6
+(k+1)2
=kk+12k+1+6k+12
6
=k+12k2+7k+6
6
=k+1k+22k+3
6
=k+1[k+1+1][2k+1+1]
6
,
即当 n=k+1 时等式也成立.
根据(1)和(2),可知等式对任何 n∈N*都成立.
反思与感悟 (1)用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题,关键在于“先看项”,弄
清等式两边的构成规律,等式的两边各有多少项,项的多少与 n 的取值是否有关.由 n=k 到
n=k+1 时,等式的两边会增加多少项,增加怎样的项.
跟踪训练 1 求证:1-1
2
+1
3
-1
4
+…+ 1
2n-1
- 1
2n
= 1
n+1
+ 1
n+2
+…+ 1
2n
(n∈N*).
证明 当 n=1 时,左边=1-1
2
=1
2
,
右边=1
2
,
所以等式成立.
假设 n=k(k∈N*)时,
1-1
2
+1
3
-1
4
+…+ 1
2k-1
- 1
2k
= 1
k+1
+ 1
k+2
+…+ 1
2k
成立.
那么当 n=k+1 时,
1-1
2
+1
3
-1
4
+…+ 1
2k-1
- 1
2k
+ 1
2k+1-1
- 1
2k+1
= 1
k+1
+ 1
k+2
+…+ 1
2k
+ 1
2k+1
- 1
2k+1
= 1
k+2
+ 1
k+3
+…+ 1
2k
+ 1
2k+1
+ 1
k+1
- 1
2k+1
]
= 1
k+1+1
+ 1
k+1+2
+…+ 1
k+1+k
+ 1
2k+1
,
所以 n=k+1 时,等式也成立.
综上所述,对于任何 n∈N*,等式都成立.
探究点三 用数学归纳法证明数列问题
例 2 已知数列 1
1×4
, 1
4×7
, 1
7×10
,…, 1
3n-23n+1
,…,计算 S1,S2,S3,S4,根据计算结
果,猜想 Sn 的表达式,并用数学归纳法进行证明.
解 S1= 1
1×4
=1
4
;
S2=1
4
+ 1
4×7
=2
7
;
S3=2
7
+ 1
7×10
= 3
10
;
S4= 3
10
+ 1
10×13
= 4
13
.
可以看出,上面表示四个结果的分数中,分子与项数 n 一致,分母可用项数 n 表示为 3n+1.
于是可以猜想 Sn= n
3n+1
.
下面我们用数学归纳法证明这个猜想.
(1)当 n=1 时,左边=S1=1
4
,
右边= n
3n+1
= 1
3×1+1
=1
4
,
猜想成立.
(2)假设当 n=k(k∈N*)时猜想成立,即
1
1×4
+ 1
4×7
+ 1
7×10
+…+ 1
3k-23k+1
= k
3k+1
,
那么,
1
1×4
+ 1
4×7
+ 1
7×10
+…+ 1
3k-23k+1
+ 1
[3k+1-2][3k+1+1]
= k
3k+1
+ 1
3k+13k+4
= 3k2+4k+1
3k+13k+4
= 3k+1k+1
3k+13k+4
= k+1
3k+1+1
,
所以,当 n=k+1 时猜想也成立.
根据(1)和(2),可知猜想对任何 n∈N*都成立.
反思与感悟 归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法,数学归纳法是“完全归纳”的一种科
学方法,对于无穷尽的事例,常用不完全归纳法去发现规律,得出结论,并设法给予证明,
这就是“归纳——猜想——证明”的基本思想.
跟踪训练 2 数列{an}满足 Sn=2n-an(Sn 为数列{an}的前 n 项和),先计算数列的前 4 项,再猜
想 an,并证明.
解 由 a1=2-a1,
得 a1=1;
由 a1+a2=2×2-a2,
得 a2=3
2
;
由 a1+a2+a3=2×3-a3,
得 a3=7
4
;
由 a1+a2+a3+a4=2×4-a4,
得 a4=15
8
.
猜想 an=2n-1
2n-1 .
下面证明猜想正确:
(1)当 n=1 时,由上面的计算可知猜想成立.
(2)假设当 n=k 时猜想成立,
则有 ak=2k-1
2k-1 ,
当 n=k+1 时,Sk+ak+1=2(k+1)-ak+1,
∴ak+1=1
2
2(k+1)-Sk]
=k+1-1
2
(2k-2k-1
2k-1 )
=2k+1-1
2k+1-1 ,
所以,当 n=k+1 时,等式也成立.
由(1)和(2)可知,an=2n-1
2n-1 对任意正整数 n 都成立.
1.若命题 A(n)(n∈N*)在 n=k(k∈N*)时命题成立,则有 n=k+1 时命题成立.现知命题对 n
=n0(n0∈N*)时命题成立,则有( )
A.命题对所有正整数都成立
B.命题对小于 n0 的正整数不成立,对大于或等于 n0 的正整数都成立
C.命题对小于 n0 的正整数成立与否不能确定,对大于或等于 n0 的正整数都成立
D.以上说法都不正确
答案 C
解析 由已知得 n=n0(n0∈N*)时命题成立,则有 n=n0+1 时命题成立;在 n=n0+1 时命题成
立的前提下,又可推得 n=(n0+1)+1 时命题也成立,依此类推,可知选 C.
2.用数学归纳法证明“1+a+a2+…+a2n+1=1-a2n+2
1-a
(a≠1)”.在验证 n=1 时,左端计算所
得项为( )
A.1+a B.1+a+a2
C.1+a+a2+a3 D.1+a+a2+a3+a4
答案 C
解析 将 n=1 代入 a2n+1 得 a3,故选 C.
3.用数学归纳法证明 1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N*)的过程如下:
(1)当 n=1 时,左边=1,右边=21-1=1,等式成立.
(2)假设当 n=k(k∈N*)时等式成立,即 1+2+22+…+2k-1=2k-1,则当 n=k+1 时,1+2
+22+…+2k-1+2k=1-2k+1
1-2
=2k+1-1.所以当 n=k+1 时等式也成立.由此可知对于任何
n∈N*,等式都成立.
上述证明的错误是________.
答案 未用归纳假设
解析 本题在由 n=k 成立,
证 n=k+1 成立时,
应用了等比数列的求和公式,
而未用上假设条件,
这与数学归纳法的要求不符.
4.用数学归纳法证明 1+n
2
≤1+1
2
+1
3
+…+1
2n≤1
2
+n(n∈N*)
证明 (1)当 n=1 时,左式=1+1
2
,
右式=1
2
+1,
所以3
2
≤1+1
2
≤3
2
,命题成立.
(2)假设当 n=k(k∈N*)时,命题成立,
即 1+k
2
≤1+1
2
+1
3
+…+1
2k≤1
2
+k,
则当 n=k+1 时,
1+1
2
+1
3
+…+1
2k+ 1
2k+1
+ 1
2k+2
+…+ 1
2k+2k>1+k
2
+2k· 1
2k+1=1+k+1
2
.
又 1+1
2
+1
3
+…+1
2k+ 1
2k+1
+ 1
2k+2
+…+ 1
2k+2k<1
2
+k+2k·1
2k=1
2
+(k+1),
即当 n=k+1 时,命题成立.
由(1)和(2)可知,命题对所有的 n∈N*都成立.
呈重点、现规律]
在应用数学归纳法证题时应注意以下几点:
(1)验证是基础:找准起点,奠基要稳,有些问题中验证的初始值不一定为 1;
(2)递推是关键:正确分析由 n=k 到 n=k+1 时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明
问题的保障;
(3)利用假设是核心:在第二步证明中一定要利用归纳假设,这是数学归纳法证明的核心环节,
否则这样的证明就不是数学归纳法证明.
一、基础过关
1.某个命题与正整数有关,如果当 n=k(k∈N*)时,该命题成立,那么可推得 n=k+1 时,
该命题也成立.现在已知当 n=5 时,该命题成立,那么可推导出( )
A.当 n=6 时命题不成立
B.当 n=6 时命题成立
C.当 n=4 时命题不成立
D.当 n=4 时命题成立
答案 B
2.一个与正整数 n 有关的命题,当 n=2 时命题成立,且由 n=k 时命题成立可以推得 n=k
+2 时命题也成立,则( )
A.该命题对于 n>2 的自然数 n 都成立
B.该命题对于所有的正偶数都成立
C.该命题何时成立与 k 取值无关
D.以上答案都不对
答案 B
解析 由 n=k 时命题成立可以推出 n=k+2 时命题也成立.且 n=2,故对所有的正偶数都成
立.
3.在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 1
2
n(n-3)条时,第一步验证 n 等于( )
A.1 B.2 C.3 D.0
答案 C
解析 因为是证凸 n 边形,所以应先验证三角形,故选 C.
4.若 f(n)=1+1
2
+1
3
+…+ 1
2n+1
(n∈N*),则 n=1 时 f(n)是( )
A.1 B.1
3
C.1+1
2
+1
3
D.以上答案均不正确
答案 C
5.已知 f(n)=1
n
+ 1
n+1
+ 1
n+2
+…+1
n2,则( )
A.f(n)中共有 n 项,当 n=2 时,f(2)=1
2
+1
3
B.f(n)中共有 n+1 项,当 n=2 时,f(2)=1
2
+1
3
+1
4
C.f(n)中共有 n2-n 项,当 n=2 时,f(2)=1
2
+1
3
D.f(n)中共有 n2-n+1 项,当 n=2 时,f(2)=1
2
+1
3
+1
4
答案 D
解析 观察分母的首项为 n,最后一项为 n2,公差为 1,
∴项数为 n2-n+1.
6.在数列{an}中,a1=2,an+1= an
3an+1
(n∈N*),依次计算 a2,a3,a4,归纳推测出 an 的通项表
达式为( )
A. 2
4n-3
B. 2
6n-5
C. 2
4n+3
D. 2
2n-1
答案 B
解析 a1=2,a2=2
7
,a3= 2
13
,a4= 2
19
,…,可推测 an= 2
6n-5
,故选 B.
7.用数学归纳法证明(1-1
3
)(1-1
4
)(1-1
5
)…(1- 1
n+2
)= 2
n+2
(n∈N*).
证明 (1)当 n=1 时,左边=1-1
3
=2
3
,右边= 2
1+2
=2
3
,等式成立.
(2)假设当 n=k(k≥1,k∈N*)时等式成立,即
(1-1
3
)(1-1
4
)(1-1
5
)…(1- 1
k+2
)= 2
k+2
,
当 n=k+1 时,
(1-1
3
)(1-1
4
)(1-1
5
)…(1- 1
k+2
)·(1- 1
k+3
)
= 2
k+2
(1- 1
k+3
)= 2k+2
k+2k+3
= 2
k+3
= 2
k+1+2
,
所以当 n=k+1 时等式也成立.
由(1)(2)可知,对于任意 n∈N*等式都成立.
二、能力提升
8.用数学归纳法证明等式(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·3·…·(2n-1)(n∈N*),从 k 到 k
+1 左端需要增乘的代数式为( )
A.2k+1 B.2(2k+1)
C.2k+1
k+1
D.2k+3
k+1
答案 B
解析 n=k+1 时,
左端为(k+2)(k+3)…(k+1)+(k-1)]·(k+1)+k]·(2k+2)=(k+1)(k+2)…(k+
k)·(2k+1)·2,
∴应增乘 2(2k+1).
9.已知 f(n)= 1
n+1
+ 1
n+2
+…+ 1
3n-1
(n∈N*),则 f(k+1)=________.
答案 f(k)+ 1
3k
+ 1
3k+1
+ 1
3k+2
- 1
k+1
10.证明:假设当 n=k(k∈N*)时等式成立,即 2+4+…+2k=k2+k,那么 2+4+…+2k+
2(k+1)=k2+k+2(k+1)=(k+1)2+(k+1),即当 n=k+1 时等式也成立.因此对于任何
n∈N*等式都成立.
以上用数学归纳法证明“2+4+…+2n=n2+n(n∈N*)”的过程中的错误为________.
答案 缺少步骤归纳奠基
11.用数学归纳法证明 12-22+32-42+…+(-1)n-1·n2=(-1)n-1·nn+1
2
.
证明 (1)当 n=1 时,左边=1,
右边=(-1)1-1×1×2
2
=1,
结论成立.
(2)假设当 n=k 时,结论成立.
即 12-22+32-42+…+(-1)k-1k2=(-1)k-1·kk+1
2
,
那么当 n=k+1 时,
12-22+32-42+…+(-1)k-1k2+(-1)k(k+1)2
=(-1)k-1·kk+1
2
+(-1)k(k+1)2
=(-1)k·(k+1)-k+2k+2
2
=(-1)k·k+1k+2
2
.
即 n=k+1 时结论也成立.
由(1)(2)可知,对一切正整数 n 都有此结论成立.
12.已知数列{an}的第一项 a1=5 且 Sn-1=an(n≥2,n∈N*),Sn 为数列{an}的前 n 项和.
(1)求 a2,a3,a4,并由此猜想 an 的表达式;
(2)用数学归纳法证明{an}的通项公式.
(1)解 a2=S1=a1=5,a3=S2=a1+a2=10,
a4=S3=a1+a2+a3=5+5+10=20,
猜想 an=
5 n=1
5×2n-2, n≥2,n∈N*
.
(2)证明 ①当 n=2 时,a2=5×22-2=5,公式成立.
②假设 n=k(k≥2,k∈N*)时成立,
即 ak=5×2k-2,
当 n=k+1 时,由已知条件和假设有
ak+1=Sk=a1+a2+a3+…+ak
=5+5+10+…+5×2k-2.
=5+51-2k-1
1-2
=5×2k-1.
故 n=k+1 时公式也成立.
由①②可知,对 n≥2,n∈N*,有 an=5×2n-2.
所以数列{an}的通项公式为
an=
5 n=1
5×2n-2 n≥2,n∈N*
.
三、探究与拓展
13.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=1-nan(n∈N*).
(1)计算 a1,a2,a3,a4;
(2)猜想 an 的表达式,并用数学归纳法证明你的结论.
解 (1)计算得 a1=1
2
;a2=1
6
;a3= 1
12
;a4= 1
20
.
(2)猜想:an= 1
nn+1
.
下面用数学归纳法证明
①当 n=1 时,猜想显然成立.
②假设 n=k(k∈N*)时,猜想成立,即 ak= 1
kk+1
.
那么,当 n=k+1 时 Sk+1=1-(k+1)ak+1,
即 Sk+ak+1=1-(k+1)ak+1.
又 Sk=1-kak= k
k+1
,
所以 k
k+1
+ak+1=1-(k+1)ak+1,
从而 ak+1= 1
k+1k+2
= 1
k+1[k+1+1]
.
即 n=k+1 时,猜想也成立.
故由①和②,可知猜想成立.
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