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  • 2021-06-15 发布

北京师范大学亚太实验学校2020-2021学年第一学期高三期中数学试卷含答案

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高中 年级 班 姓名 学号 ‎ ‎ 装 订 线 内 请 不 要 答 题 北京师范大学亚太实验学校2020-2021学年第一学期期中测试 ‎2020.11‎ ‎ 高三数学 ‎ 试卷说明: 本次考试满分150分,考试时间120分钟 第一部分(选择题 共40分)‎ 一、 选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项.‎ ‎1. 已知集合,,则 ( )‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎2.已知集合P={x︱x2≤1},M={a}.若P∪M=P,则a的取值范围是( )‎ ‎(A)(-∞, -1] (B)[1, +∞) (C)[-1,1] (D)(-∞,-1] ∪[1,+∞)‎ ‎3. 下列函数中,在区间(0,+)上单调递增的是 ( )‎ ‎(A) (B)y= (C) (D)‎ ‎4. 已知函数在区间上单调递增,那么区间可以是 ( )‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎5. 命题””的否定为 ( )‎ ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ ‎66.已知函数,则 ( )‎ ‎ (A)是奇函数,且在R上是增函数 (B)是偶函数,且在R上是增函数 ‎ (C)是奇函数,且在R上是减函数 (D)是偶函数,且在R上是减函数 北京师范大学亚太实验学校高三期中数学试卷 第 14 页 共 8 页 ‎ 7.某三棱柱的底面为正三角形,其三视图如图所示,该三棱柱的表面积为( ).‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.如图,函数的图象为折线,则不等式的解集是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.已知函数,在下列区间中,包含零点的区间是( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.已知函数,则不等式的解集是( ).‎ A. B. C. D. ‎ 北京师范大学亚太实验学校高三期中数学试卷 第 14 页 共 8 页 第二部分(非选择题 共110分)‎ 二.填空题:本大题共5小题,每题5分,共25分,答案写在横线上.‎ ‎11. ,,三个数中最大数的是 .‎ ‎12.函数的定义域是_____________________.‎ ‎13.已知{}是各项均为正的等比数列,为其前项和,若,,‎ 则公比____,____.‎ ‎14.已知向量,,若,则___________.‎ ‎15.李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.‎ ‎①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付__________元;‎ ‎②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为__________.‎ 三.解答题:本大题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.‎ ‎16(本小题满分14分)‎ 如图,在四棱锥P-ABCD中,PD=2AD,PD⊥DA, PD⊥DC,‎底面ABCD为正方形,M、N分别为AD、PD的中点。‎ ‎(1)求证:‎PA∥平面MNC ‎(2) 求直线PB与平面MNC所成角的正弦值 北京师范大学亚太实验学校高三期中数学试卷 第 14 页 共 8 页 ‎17. (本小题满分14分)‎ 已知函数.‎ ‎(1)求的最小正周期; ‎ ‎(2)若在区间上的最大值为,求的最小值.‎ 北京师范大学亚太实验学校高三期中数学试卷 第 14 页 共 8 页 高中 年级 班 姓名 学号 ‎ ‎ 装 订 线 内 请 不 要 答 题 ‎18.(本小题14分)‎ 高中 年级 班 姓名 学号 ‎ 在‎∆ABC中,,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知,‎ 求:(Ⅰ)a的值:‎ ‎(Ⅱ)和‎∆ABC的面积.‎ 条件①:;‎ 条件②:.‎ 注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.‎ ‎ ‎ 北京师范大学亚太实验学校高三期中数学试卷 第 14 页 共 8 页 ‎19.(本小题14分)‎ 已知{an}是公比为q的无穷等比数列,其前n项和为Sn,满足a‎3‎‎=12,________,‎是否存在正整数k,使得Sk‎>2020 ?‎若存在,求k的最小值;若不存在,说明理由。‎ 从(1)q=2 , (2) q=‎‎1‎‎2‎ (3) q=-2 这三个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答。‎ 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分。‎ 北京师范大学亚太实验学校高三期中数学试卷 第 14 页 共 8 页 ‎20.(本小题14分)‎ 已知函数f(x)=(x+1)2﹣3alnx,a∈R.‎ ‎(1)求函数f(x)图象经过的定点坐标;‎ ‎(2)当a=1时,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程及函数f(x)单调区间;‎ ‎(3)若对任意x∈[1,e],f(x)≤4恒成立,求实数a的取值范围.‎ 北京师范大学亚太实验学校高三期中数学试卷 第 14 页 共 8 页 ‎21. (本小题15分)‎ 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求曲线的斜率为1的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)当时,求证:;‎ ‎(Ⅲ)设,记在区间上的最大值为M(a),当M(a)最小时,求a的值.‎ 北京师范大学亚太实验学校高三期中数学试卷 第 14 页 共 8 页 ‎2020-2021学年北京师范大学亚太实验学校高三数学参考答案 一、 选择:1A 2,C 3,A 4,D 5,A,6,A,7,D,8,C.9,C,10,D 二、填空 ‎11, 12, (-1,1) 13, ‎ ‎ 14, -5 15,130,15‎ 三、解答题 ‎16‎ 解:(Ⅰ)因为分别为的中点, ‎ 所以. …………… 2分 又因为平面, …………… 3分 ‎ ‎ 所以平面. …………… 5分 ‎ ‎ (Ⅱ)如图建立空间直角坐标系.设,‎ 则,,,,‎ ‎,, ‎ ‎ ……………… 7分 ‎,.‎ 设平面的法向量为,则 ‎ 即 ……………… 10分 令,则,.所以. ……………… 12分 设直线与平面所成角为,‎ 所以.    ……………… 14分 北京师范大学亚太实验学校高三期中数学试卷 第 14 页 共 8 页 ‎ ‎ ‎17‎ ‎【解析】‎ ‎,‎ 所以的最小正周期为. ……..6分 ‎(2)由(1)知.‎ 因为,所以.‎ 要使得在上的最大值为,即在上的最大值为1.‎ 所以,即. …….12分 所以的最小值为. …….14分 ‎18.‎ ‎【详解】选择条件①(Ⅰ)‎ ‎ …….6分 ‎(Ⅱ)‎ 北京师范大学亚太实验学校高三期中数学试卷 第 14 页 共 8 页 由正弦定理得:‎ ‎ ……..10分 选择条件②(Ⅰ)‎ 正弦定理得:‎ ‎(Ⅱ)‎ ‎ …….14分 ‎19.解1:选择① ‎ 因为,所以. ……………… 4分 所以 公式给3分 ………………9分 令, 即. ……………… 12分 所以使得的正整数的最小值为. ……………… 14分 ‎ 解2:选择② ‎ ‎ 因为,所以. ……………… 4分 ‎. ……………… 9分 北京师范大学亚太实验学校高三期中数学试卷 第 14 页 共 8 页 因为, ……………… 12分 所以不存在满足条件的正整数. ……………… 14分 ‎ 解3:选择③ ‎ 因为,所以. ……………… 4分 所以. ……………… 9分 令, 即,整理得. ……………… 12分 当为偶数时,原不等式无解;‎ 当为奇数时,原不等式等价于, ‎ 所以使得的正整数的最小值为. ……………… 14分 ‎20.解:(1)当x=1时,ln1=0,所以f(1)=4,‎ 所以函数f(x)的图象无论a为何值都经过定点(1,4)。…….4分 ‎(2)当a=1时,f(x)=(x+1)2﹣3lnx.f(1)=4,,f'(1)=1,‎ 则切线方程为y﹣4=1×(x﹣1),即y=x+3. ……8分 在x∈(0,+∞)时,如果,‎ 即时,函数f(x)单调递增;‎ 如果,‎ 即时,函数f(x)单调递减.,,,,,,,,10分 ‎(3),x>0.‎ 当a≤0时,f'(x)>0,f(x)在[1,e]上单调递增.f(x)min=f(1)=4,f(x)≤4不恒成立.‎ 当a>0时,设g(x)=2x2+2x﹣3a,x>0.‎ ‎∵g(x)的对称轴为,g(0)=﹣3a<0,‎ 北京师范大学亚太实验学校高三期中数学试卷 第 14 页 共 8 页 ‎∴g(x)在(0,+∞)上单调递增,且存在唯一x0∈(0,+∞),‎ 使得g(x0)=0.‎ ‎∴当x∈(0,x0)时,g(x)<0,即f'(x)<0,f(x)在(0,x0)上单调递减;‎ ‎∴当x∈(x0,+∞)时,g(x)>0,即f'(x)>0,f(x)在(x0,+∞)上单调递增.∴f(x)在[1,e]上的最大值f(x)max=max{f(1),f(e)}.‎ ‎∴,得(e+1)2﹣3a≤4,‎ 解得.……..14分 ‎21.解:(Ⅰ)由得.‎ 令,即,得或.‎ 又,,‎ 所以曲线的斜率为1的切线方程是与,‎ 即与.……6分 ‎(Ⅱ)令.‎ 由得.‎ 令得或.‎ 的情况如下:‎ 北京师范大学亚太实验学校高三期中数学试卷 第 14 页 共 8 页 所以的最小值为,最大值为.‎ 故,即. …….12分 ‎(Ⅲ)由(Ⅱ)知,‎ 当时,;‎ 当时,;‎ 当时,.‎ 综上,当最小时,. …….15分。‎ 北京师范大学亚太实验学校高三期中数学试卷 第 14 页 共 8 页