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- 2021-06-15 发布
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高中 年级 班 姓名 学号
装 订 线 内 请 不 要 答 题
北京师范大学亚太实验学校2020-2021学年第一学期期中测试
2020.11
高三数学
试卷说明: 本次考试满分150分,考试时间120分钟
第一部分(选择题 共40分)
一、 选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符
合题目要求的一项.
1. 已知集合,,则 ( )
(A) (B)
(C) (D)
2.已知集合P={x︱x2≤1},M={a}.若P∪M=P,则a的取值范围是( )
(A)(-∞, -1] (B)[1, +∞) (C)[-1,1] (D)(-∞,-1] ∪[1,+∞)
3. 下列函数中,在区间(0,+)上单调递增的是 ( )
(A) (B)y= (C) (D)
4. 已知函数在区间上单调递增,那么区间可以是 ( )
(A) (B) (C) (D)
5. 命题””的否定为 ( )
(A) (B)
(C) (D)
66.已知函数,则 ( )
(A)是奇函数,且在R上是增函数 (B)是偶函数,且在R上是增函数
(C)是奇函数,且在R上是减函数 (D)是偶函数,且在R上是减函数
北京师范大学亚太实验学校高三期中数学试卷 第 14 页 共 8 页
7.某三棱柱的底面为正三角形,其三视图如图所示,该三棱柱的表面积为( ).
A. B. C. D.
8.如图,函数的图象为折线,则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
9.已知函数,在下列区间中,包含零点的区间是( )
A. B. C. D.
10.已知函数,则不等式的解集是( ).
A. B. C. D.
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第二部分(非选择题 共110分)
二.填空题:本大题共5小题,每题5分,共25分,答案写在横线上.
11. ,,三个数中最大数的是 .
12.函数的定义域是_____________________.
13.已知{}是各项均为正的等比数列,为其前项和,若,,
则公比____,____.
14.已知向量,,若,则___________.
15.李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.
①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付__________元;
②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为__________.
三.解答题:本大题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
16(本小题满分14分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,PD=2AD,PD⊥DA, PD⊥DC,底面ABCD为正方形,M、N分别为AD、PD的中点。
(1)求证:PA∥平面MNC
(2) 求直线PB与平面MNC所成角的正弦值
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17. (本小题满分14分)
已知函数.
(1)求的最小正周期;
(2)若在区间上的最大值为,求的最小值.
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18.(本小题14分)
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在∆ABC中,,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知,
求:(Ⅰ)a的值:
(Ⅱ)和∆ABC的面积.
条件①:;
条件②:.
注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.
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19.(本小题14分)
已知{an}是公比为q的无穷等比数列,其前n项和为Sn,满足a3=12,________,是否存在正整数k,使得Sk>2020 ?若存在,求k的最小值;若不存在,说明理由。
从(1)q=2 , (2) q=12 (3) q=-2 这三个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答。
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分。
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20.(本小题14分)
已知函数f(x)=(x+1)2﹣3alnx,a∈R.
(1)求函数f(x)图象经过的定点坐标;
(2)当a=1时,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程及函数f(x)单调区间;
(3)若对任意x∈[1,e],f(x)≤4恒成立,求实数a的取值范围.
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21. (本小题15分)
已知函数.
(Ⅰ)求曲线的斜率为1的切线方程;
(Ⅱ)当时,求证:;
(Ⅲ)设,记在区间上的最大值为M(a),当M(a)最小时,求a的值.
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2020-2021学年北京师范大学亚太实验学校高三数学参考答案
一、 选择:1A 2,C 3,A 4,D 5,A,6,A,7,D,8,C.9,C,10,D
二、填空
11, 12, (-1,1) 13,
14, -5 15,130,15
三、解答题
16
解:(Ⅰ)因为分别为的中点,
所以. …………… 2分 又因为平面, …………… 3分
所以平面. …………… 5分
(Ⅱ)如图建立空间直角坐标系.设,
则,,,,
,,
……………… 7分
,.
设平面的法向量为,则
即 ……………… 10分
令,则,.所以. ……………… 12分
设直线与平面所成角为,
所以. ……………… 14分
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17
【解析】
,
所以的最小正周期为. ……..6分
(2)由(1)知.
因为,所以.
要使得在上的最大值为,即在上的最大值为1.
所以,即. …….12分
所以的最小值为. …….14分
18.
【详解】选择条件①(Ⅰ)
…….6分
(Ⅱ)
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由正弦定理得:
……..10分
选择条件②(Ⅰ)
正弦定理得:
(Ⅱ)
…….14分
19.解1:选择①
因为,所以. ……………… 4分
所以
公式给3分 ………………9分
令, 即. ……………… 12分
所以使得的正整数的最小值为. ……………… 14分
解2:选择②
因为,所以. ……………… 4分
. ……………… 9分
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因为, ……………… 12分
所以不存在满足条件的正整数. ……………… 14分
解3:选择③
因为,所以. ……………… 4分
所以. ……………… 9分
令, 即,整理得. ……………… 12分
当为偶数时,原不等式无解;
当为奇数时,原不等式等价于,
所以使得的正整数的最小值为. ……………… 14分
20.解:(1)当x=1时,ln1=0,所以f(1)=4,
所以函数f(x)的图象无论a为何值都经过定点(1,4)。…….4分
(2)当a=1时,f(x)=(x+1)2﹣3lnx.f(1)=4,,f'(1)=1,
则切线方程为y﹣4=1×(x﹣1),即y=x+3. ……8分
在x∈(0,+∞)时,如果,
即时,函数f(x)单调递增;
如果,
即时,函数f(x)单调递减.,,,,,,,,10分
(3),x>0.
当a≤0时,f'(x)>0,f(x)在[1,e]上单调递增.f(x)min=f(1)=4,f(x)≤4不恒成立.
当a>0时,设g(x)=2x2+2x﹣3a,x>0.
∵g(x)的对称轴为,g(0)=﹣3a<0,
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∴g(x)在(0,+∞)上单调递增,且存在唯一x0∈(0,+∞),
使得g(x0)=0.
∴当x∈(0,x0)时,g(x)<0,即f'(x)<0,f(x)在(0,x0)上单调递减;
∴当x∈(x0,+∞)时,g(x)>0,即f'(x)>0,f(x)在(x0,+∞)上单调递增.∴f(x)在[1,e]上的最大值f(x)max=max{f(1),f(e)}.
∴,得(e+1)2﹣3a≤4,
解得.……..14分
21.解:(Ⅰ)由得.
令,即,得或.
又,,
所以曲线的斜率为1的切线方程是与,
即与.……6分
(Ⅱ)令.
由得.
令得或.
的情况如下:
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所以的最小值为,最大值为.
故,即. …….12分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,
当时,;
当时,;
当时,.
综上,当最小时,. …….15分。
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