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2010-2011学年山东省济南市章丘一中高一（下）期中数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）
1. 赋值语句M=M+3表示的意义（ ）
A.将M的值赋给M+3 B.将M的值加3后再赋给M
C.M和M+3的值相等 D.以上说法都不对
2. A={x|−30)0(x=0)x(x−1)(x<0)，则f(e)=( )
A.0 B.e(e−1) C.e D.e(e+1)
4. 在空间中下列结论中正确的个数是（ ）
①平行于同一直线的两直线平行；②垂直于同一直线的两直线平行；
③平行于同一平面的两直线平行；④垂直于同一平面的两直线平行．
A.1 B.2 C.3 D.4
5. 已知一个几何体它的主视图和左视图上都是一个长为4，宽为2的矩形，俯视图是一个半径为2的圆，则此几何体的表面积为（ ）
A.8π B.12π C.16π D.32π
6. 求过点P(3, 2)，并与直线x+4y−2=0垂直的直线的方程为（ ）
A.x−4y−11=0 B.x+4y−11=0 C.4x+y−10=0 D.4x−y−10=0
7. 已知sinα=45，并且α是第二象限的角，那么tanα的值等于( )
A.−43 B.−34 C.34 D.43
8. 某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②．则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（ ）
A.分层抽样法，系统抽样法
B.分层抽样法，简单随机抽样法
C.系统抽样法，分层抽样法
D.简单随机抽样法，分层抽样法
9. 某校举行2010年元旦汇演，七位评委为某班的小品打出的分数茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ）
A.85，1.6 B.85，4 C.84，1.6 D.，4.84
10. 先后抛硬币两次，则至少一次正面朝上的概率是（ ）
A.14 B.13 C.34 D.23
11. 从装有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A.至少有一个黒球与都是红球
B.至少有一个黒球与都是黒球
C.至少有一个黒球与至少有1个红球
D.恰有1个黒球与恰有2个黒球
12. 设有一个正方形网格，其中每个最小正方形的边长都等于6．现用直径等于2的硬币投掷到此网格上，则硬币落下后与格线有公共点的概率为（ ）
A.1636 B.2036 C.13 D.23
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
如图表示的程序所输出的结果是________．
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lg4+2lg5=________．
圆心为点P(2, −2)，且过点(−1, 2)的圆的方程为________．
某扇形的面积为1cm2，它的周长为4cm，那么该扇形圆心角为________．
三、解答题（共5小题，满分56分）
已知角α的终边经过点P(3, −4)，求它的六种三角函数值．
在英才中学举行的信息知识竞赛中，将高二年级两个班的参赛学生成绩（得分均为整数）进行整理后分成五组，绘制出如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别为0.30，0.15，0.10，0.05，第二小组的频数是40．
(1)求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
(2)求这两个班参赛的学生人数．
(3)这两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第几小组内？（不必说明理由）
已知tanα=12，求下列各式的值：
12cosα−3sinα3cosα+4sinα；
2sin2α−3sinαcosα+4cos2α．
连续抛掷两颗骰子，设第一颗点数为m，第二颗点数为n，则求：
（1）m+n=7的概率；
（2）m=n的概率；
（3）点P(m, n)在圆x2+y2=16内的概率．
已知函数f(x)=3x2+12x−15．
（1）求f(x)的零点；
（2）求f(x)在[−3, 3]上的最值；
（3）证明f(x)在[−2, +∞)上是增函数．
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参考答案与试题解析
2010-2011学年山东省济南市章丘一中高一（下）期中数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）
1.
【答案】
B
【考点】
赋值语句
【解析】
根据赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量，进行判定即可．
【解答】
解：赋值语句的一般格式：变量=表达式赋值语句中的“=”称作赋值号
赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量；
故选B
2.
【答案】
D
【考点】
并集及其运算
【解析】
分别把两集合的解集表示在数轴上，根据数轴求出两集合的并集即可．
【解答】
解：把集合A={x|−30)0(x=0)x(x−1)(x<0)，
因为e>0，
所以f(e)=e(e+1)．
故选D．
4.
【答案】
B
【考点】
空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】
结合公理及正方体模型可以判断：①④正确，②③错误，可以利用反证法证明结论，也可以从具体的实物模型中去寻找反例证明．
【解答】
解：①④正确，②③错误
①：根据公理4可知：平行具有传递性，即如果a // b，a // c，那么b // c，所以①正确；
②：如图1所示：在正方体AC1中，D1A1⊥A1A，B1A1⊥A1A，但是D1A1∩B1A1=A1，所以②错误；
③：如图1所示：A1C1 // 平面ABCD，B1D1 // 平面ABCD，但是A1C1与B1D1相交，所以③错误；
④：如图2所示：假设a⊥α，b⊥α，且a∩b=A，则过一点有两条直线均垂直于平面α，故假设错误，所以④正确．
故选B．
5.
【答案】
C
【考点】
由三视图求表面积
【解析】
由已知中三视图我们可以确定，该几何体是以母线长为2，底面半径为2的圆柱，即可求得结果．
【解答】
解：根据题意知该几何体是母线长为2，底面半径为2的圆柱
因此它的表面积为8π+2×4π=16π
故选C．
6.
【答案】
D
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【考点】
两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
【解析】
设与直线x+4y−2=0垂直的直线的方程为 4x−y+m=0，把点P(3, 2)代入可得m值，即得所求的直线方程．
【解答】
解：设 与直线x+4y−2=0垂直的直线的方程为 4x−y+m=0，把点P(3, 2)代入可得，12−2+m=0，
∴ m=−10，故所求的直线方程为 4x−y−10=0，故选 D．
7.
【答案】
A
【考点】
同角三角函数基本关系的运用
象限角、轴线角
【解析】
由角的正弦值和角所在的象限，求出角的余弦值，然后，正弦值除以余弦值得正切值．
【解答】
解：∵ sinα=45且α是第二象限的角，
∴ cosα=−35，
∴ tanα=−43.
故选A.
8.
【答案】
B
【考点】
分层抽样方法
系统抽样方法
简单随机抽样
【解析】
此题为抽样方法的选取问题．当总体中个体较少时宜采用简单随机抽样法；当总体中的个体差异较大时，宜采用分层抽样；当总体中个体较多时，宜采用系统抽样．
【解答】
解：依据题意，第①项调查中，总体中的个体差异较大，应采用分层抽样法；
第②项调查总体中个体较少，应采用简单随机抽样法．
故选B.
9.
【答案】
A
【考点】
极差、方差与标准差
众数、中位数、平均数
【解析】
由已知中的茎叶图，我们可以得到七位评委为某班的小品打出的分数，及去掉一个最高分和一个最低分后的数据，代入平均数公式及方差公式，即可得到所剩数据的平均数和方差．
【解答】
解：由已知的茎叶图七位评委为某班的小品打出的分数为：
79，84，84，86，84，87，93
去掉一个最高分93和一个最低分79后，
所剩数据的平均数x¯=84+84+86+84+875=85
方差S2=15[(84−85)2+(84−85)2+(86−85)2+(84−85)2+(87−85)2]=1.6
故选A．
10.
【答案】
C
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
由题意此事件为古典概型的随机事件的概率问题，又由于先后抛硬币两次所以事件空间的总数利用排列组合可知为4种；而在两次抛掷的结果中至少一次正面朝上的总数为3种，利用古典概型随机事件的概率公式即可求解．
【解答】
解：由题意得：基本事件为（正，反），（正，正），（反，正），（反，反），共4种．
至少一次正面朝上的基本事件为：（正，反），（反，正），（反，反），共3种．
所以至少一次正面朝上的概率为34．
故选C．
11.
【答案】
D
【考点】
互斥事件与对立事件
【解析】
互斥事件是两个事件不包括共同的事件，对立事件首先是互斥事件，再就是两个事件的和事件是全集，由此规律对四个选项逐一验证即可得到答案．
【解答】
解：A中的两个事件是对立事件，故不符合要求；
B中的两个事件是包含关系，不是互斥事件，故不符合要求；
C中的两个事件都包含一个黑球一个红球的事件，不是互斥关系；
D中的两个事件是互互斥且不对立的关系，故正确．
故选D
12.
【答案】
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B
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】
因为硬币的直径是2，所以半径是1．当硬币的圆心落在网格小正方形的中心（边长为4的小正方形内）是不会与格线相交的即不相交的概率是4×46×6，由此能求出与格线有公共点的概率．
【解答】
解：因为硬币的直径是2，所以半径是1．
当硬币的圆心落在网格小正方形的中心（边长为4的小正方形内）
是不会与格线相交的
即不相交的概率是4×46×6，
所以与格线有公共点的概率是1−4×46×6=2036，
故选B．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
【答案】
360
【考点】
循环结构的应用
【解析】
分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出y=3×4×5×6的值，并输出．
【解答】
解：分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是
计算并输出y=3×4×5×6的值
∵ y=3×4×5×6=360．
故答案为：360．
【答案】
2
【考点】
对数的运算性质
【解析】
根据对数的性质，把2lg5写成lg25，再用对数的计算性质，变化成一个对数形式，得到结果．
【解答】
解：lg4+2lg5=lg4+lg25=lg100=2
故答案为：2．
【答案】
(x−2)2+(y+2)2=25
【考点】
圆的标准方程
【解析】
利用两点间的距离公式求出半径，根据圆心坐标写出圆的标准方程．
【解答】
解：半径等于(−1−2)2+(2+2)2=5，故圆的方程为 (x−2)2+(y+2)2=25，
故答案为(x−2)2+(y+2)2=25．
【答案】
2(rad)
【考点】
扇形面积公式
【解析】
设该扇形圆心角为θ，半径为r，由题意得12θr2＝1，2r+θr＝4，解方程求得θ 值．
【解答】
设该扇形圆心角为θ，半径为r，
则由题意得12θr2＝1，2r+θr＝4，
∴ 12θr2=12r⋅θr=12r(4−2r)＝1，∴ r＝1，∴ θ＝2 (rad)，
三、解答题（共5小题，满分56分）
【答案】
解：由题意可得x=3，y=−4，r=5，根据三角函数的定义可得
sinα=yr=−45，cosα=xr=35，tanα=yx=−43，
cotα=xy=−34，secα=rx=53，cscα=ry=−54．
【考点】
三角函数
【解析】
由题意可得x=3，y=−4，r=5，根据三角函数的定义可得 它的六种三角函数值．
【解答】
解：由题意可得x=3，y=−4，r=5，根据三角函数的定义可得
sinα=yr=−45，cosα=xr=35，tanα=yx=−43，
cotα=xy=−34，secα=rx=53，cscα=ry=−54．
【答案】
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解：(1)∵ 第一、第三、第四、第五小组的频率分别为0.30，0.15，0.10，0.05
各组频率和为1，
∴ 第二小组的频率为1−(0.30+0.15+0.10+0.05)=0.4；
频率分布直方图如下图所示：
(2)∵ 第二小组的频数是40，
由(1)得第二小组的频率为0.4；
则40÷0.4=100；
即这两个班参赛的学生人数为100.
(3)中位数落在第二小组内．
【考点】
频率分布直方图
用样本的频率分布估计总体分布
【解析】
（1）由已知中第一、第三、第四、第五小组的频率分别为0.30，0.15，0.10，0.05，各小组频率和为1，可以求出第二小组的频率．
（2）由第二组的频率及频数，根据频率=频数÷样本容量，即可求出样本容量即两个班参赛的学生人数．
（3）根据中位数的定义，由第一、第三、第四、第五小组的频率分别为0.30，0.15，0.10，0.05，易判断中位数应落在第几小组内．
【解答】
解：(1)∵ 第一、第三、第四、第五小组的频率分别为0.30，0.15，0.10，0.05
各组频率和为1，
∴ 第二小组的频率为1−(0.30+0.15+0.10+0.05)=0.4；
频率分布直方图如下图所示：
(2)∵ 第二小组的频数是40，
由(1)得第二小组的频率为0.4；
则40÷0.4=100；
即这两个班参赛的学生人数为100.
(3)中位数落在第二小组内．
【答案】
解：1将分子和分母同时除以cosα，
原式=2−3tanα3+4tanα=110.
2原式=sin2α−3sinαcosα+4cos2αsin2α+cos2α
=tan2α−3tanα+4tan2+1
=115.
【考点】
三角函数的化简求值
【解析】
（1）将分子和分母同时除以cosα，把tanα的值代入即可求得答案．
（2）利用sin2α+cos2α=1，原式除以sin2α+cos2α，分子分母同时除以sin2α，进而把tanα的值代入即可求得答案．
【解答】
解：1将分子和分母同时除以cosα，
原式=2−3tanα3+4tanα=110.
2原式=sin2α−3sinαcosα+4cos2αsin2α+cos2α
=tan2α−3tanα+4tan2+1
=115.
【答案】
解：共有6×6=36个基本事件，（1）记“m+n=7”为事件A，则A包含6个基本事件，，(1, 6)，(2, 5)，(3, 4)，(4, 3)，(5, 2)，(6, 1)．
故P(A)=636=16；
（2）记“m=n”为事件B，则B包含6个基本事件，(1, 1)，(2, 2)，(3, 3)，(4, 4)，(5, 5)，(6, 6)，故P(B)=636=16；
（3）记“点P(m, n)在圆x2+y2=16内”为事件C，则C包含8个基本事件，(1, 1)，(1, 2)，(1, 3)，
(2, 1)(2, 2)，(2, 3)，(3, 1)，(3, 2)． 故P(C)=836=29．
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
共有6×6=36个基本事件，（1）记“m+n=7”为事件A，则A包含6个基本事件，故P(A)=636=16．
（2）记“m=n”为事件B，则B包含6个基本事件，故P(B)=636=16．
（3）记“点P(m, n)在圆x2+y2=16内”为事件C，则C包含8个基本事件，故P(C)=836=29．
【解答】
解：共有6×6=36个基本事件，（1）记“m+n=7”为事件A，则A包含6个基本事件，，(1, 6)，(2, 5)，(3, 4)，(4, 3)，(5, 2)，(6, 1)．
故P(A)=636=16；
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（2）记“m=n”为事件B，则B包含6个基本事件，(1, 1)，(2, 2)，(3, 3)，(4, 4)，(5, 5)，(6, 6)，故P(B)=636=16；
（3）记“点P(m, n)在圆x2+y2=16内”为事件C，则C包含8个基本事件，(1, 1)，(1, 2)，(1, 3)，
(2, 1)(2, 2)，(2, 3)，(3, 1)，(3, 2)． 故P(C)=836=29．
【答案】
解：（1）令f(x)=3x2+12x−15=0
得：x=−5或x=1
∴ f(x)的零点为−5，1．
（2）f(x)=3x2+12x−15=3(x2+4x−5)=3(x+2)2−27，
f(x)对称轴为x=−2，
∴ f(x)在[−3, 3]上的最小值为f(−2)=−27，
最大值为f(3)=48；
（3）设x1，x2∈[−2, +∞)且x1<x2
则f(x2)−f(x1)=3(x22−x21)+12(x2−x1)
=3(x2−x1)(x2+x1+4)
∵ x1，x2∈[−2, +∞)且x1<x2
∴ x2−x1>0，x2+x1+4>0
∴ 3(x2−x1)(x2+x1+4)>0
∴ f(x2)−f(x1)>0
∴ f(x)在[−2, +∞)上是增函数．
【考点】
二次函数在闭区间上的最值
二次函数的性质
【解析】
（1）求零点时使f(x)=3x2+12x−15=0即可
（2）二次函数定区间上求最值主要看对称轴与区间端点的关系
（3）可以用函数单调性的定义判断函数的单调性．
【解答】
解：（1）令f(x)=3x2+12x−15=0
得：x=−5或x=1
∴ f(x)的零点为−5，1．
（2）f(x)=3x2+12x−15=3(x2+4x−5)=3(x+2)2−27，
f(x)对称轴为x=−2，
∴ f(x)在[−3, 3]上的最小值为f(−2)=−27，
最大值为f(3)=48；
（3）设x1，x2∈[−2, +∞)且x1<x2
则f(x2)−f(x1)=3(x22−x21)+12(x2−x1)
=3(x2−x1)(x2+x1+4)
∵ x1，x2∈[−2, +∞)且x1<x2
∴ x2−x1>0，x2+x1+4>0
∴ 3(x2−x1)(x2+x1+4)>0
∴ f(x2)−f(x1)>0
∴ f(x)在[−2, +∞)上是增函数．
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