高考数学专题复习练习：考点规范练45 7页

考点规范练45　椭圆 ‎　考点规范练A册第34页　 ‎ 基础巩固组 ‎1.已知椭圆的焦点坐标为(-5,0)和(5,0),椭圆上一点与两焦点的距离和是26,则椭圆的方程为(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.x‎2‎‎169‎‎+‎y‎2‎‎144‎=1 B.x‎2‎‎144‎‎+‎y‎2‎‎169‎=1‎ C.x‎2‎‎169‎‎+‎y‎2‎‎25‎=1 D.x‎2‎‎144‎‎+‎y‎2‎‎25‎=1‎ 答案A 解析由题意知a=13,c=5,则b2=a2-c2=144.‎ 又椭圆的焦点在x轴上,‎ ‎∴椭圆方程为x‎2‎‎169‎‎+‎y‎2‎‎144‎=1.‎ ‎2.已知椭圆x‎2‎‎9‎‎+‎y‎2‎‎4+k=1的离心率为‎4‎‎5‎,则k的值为(　　)‎ A.-‎19‎‎25‎ B.21‎ C.-‎19‎‎25‎或21 D.‎19‎‎25‎或21‎ 答案C 解析若a2=9,b2=4+k,则c=‎5-k,‎ 由ca‎=‎‎4‎‎5‎,即‎5-k‎3‎‎=‎‎4‎‎5‎,得k=-‎19‎‎25‎;‎ 若a2=4+k,b2=9,则c=k-5‎,‎ 由ca‎=‎‎4‎‎5‎,即k-5‎‎4+k‎=‎‎4‎‎5‎,解得k=21.‎ ‎3.若曲线ax2+by2=1是焦点在x轴上的椭圆,则实数a,b满足(　　)‎ A.a2>b2 B.‎‎1‎a‎<‎‎1‎b C.0‎‎1‎b>0,所以0|MN|,‎ 由椭圆定义知,P的轨迹是椭圆.‎ ‎6.(2016全国乙卷,文5)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的‎1‎‎4‎,则该椭圆的离心率为(　　)‎ A.‎1‎‎3‎ B.‎1‎‎2‎ C.‎2‎‎3‎ D.‎3‎‎4‎〚导学号74920326〛‎ 答案B 解析设椭圆的一个顶点坐标为(0,b),一个焦点坐标为(c,0),‎ 则直线l的方程为xc‎+‎yb=1,即bx+cy-bc=0,‎ 短轴长为2b,由题意得bcb‎2‎‎+‎c‎2‎‎=‎‎1‎‎4‎×2b,与b2+c2=a2联立得a=2c,故e=‎1‎‎2‎.‎ ‎7.已知椭圆x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的离心率等于‎1‎‎3‎,其焦点分别为A,B,C是椭圆上异于长轴端点的任意一点,则在△ABC中,sinA+sinBsinC的值等于　　　　　.〚导学号74920327〛 ‎ 答案3‎ 解析在△ABC中,由正弦定理得sinA+sinBsinC‎=‎‎|CB|+|CA|‎‎|AB|‎,因为点C在椭圆上,所以由椭圆定义知|CA|+|CB|=2a,而|AB|=2c,所以sinA+sinBsinC‎=‎2a‎2c=‎‎1‎e=3.‎ ‎8.‎ ‎(2016江苏,10)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的右焦点,直线y=b‎2‎与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是　　　　　.〚导学号74920328〛 ‎ 答案‎6‎‎3‎ 解析由题意得B‎-‎3‎‎2‎a,‎b‎2‎,C‎3‎‎2‎a,‎b‎2‎,F(c,0),所以BF‎=c+‎3‎‎2‎a,-‎b‎2‎,CF=‎c-‎3‎‎2‎a,-‎b‎2‎.‎ 因为∠BFC=90°,所以BF‎·‎CF=0.所以c2-‎3‎‎2‎a‎2‎‎+‎b‎2‎‎2‎=0.又a2-b2=c2,所以3c2=2a2,即c‎2‎a‎2‎‎=‎‎2‎‎3‎,所以e=‎6‎‎3‎.‎ ‎9.(2016山西朔州模拟)已知F1,F2分别为椭圆x‎2‎‎2‎+y2=1的左、右焦点,过F1的直线l与椭圆交于不同的两点A,B,连接AF2和BF2.‎ ‎(1)求△ABF2的周长;‎ ‎(2)若AF2⊥BF2,求△ABF2的面积.‎ 解(1)∵F1,F2分别为椭圆x‎2‎‎2‎+y2=1的左、右焦点,过F1的直线l与椭圆交于不同的两点A,B,连接AF2和BF2.‎ ‎∴△ABF2的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4‎2‎.‎ ‎(2)设直线l的方程为x=my-1,‎ 由x=my-1,‎x‎2‎‎+2y‎2‎-2=0,‎得(m2+2)y2-2my-1=0.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=‎2mm‎2‎‎+2‎,y1y2=-‎1‎m‎2‎‎+2‎.‎ ‎∵AF2⊥BF2,∴F‎2‎A‎·‎F‎2‎B=0,‎ ‎∴F‎2‎A‎·‎F‎2‎B=(x1-1)(x2-1)+y1y2‎ ‎=(my1-2)(my2-2)+y1y2‎ ‎=(m2+1)y1y2-2m(y1+y2)+4‎ ‎=‎-(m‎2‎+1)‎m‎2‎‎+2‎-2m×‎2mm‎2‎‎+2‎+4=‎-m‎2‎+7‎m‎2‎‎+2‎=0.‎ ‎∴m2=7.‎ ‎∴△ABF2的面积S=‎1‎‎2‎×|F1F2|×‎(y‎1‎+y‎2‎‎)‎‎2‎-4‎y‎1‎y‎2‎‎=‎‎8‎‎9‎.〚导学号74920329〛‎ ‎10.(2016北京,文19)已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1过A(2,0),B(0,1)两点.‎ ‎(1)求椭圆C的方程及离心率;‎ ‎(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证:四边形ABNM的面积为定值.‎ ‎(1)解由题意,得a=2,b=1,所以椭圆C的方程为x‎2‎‎4‎+y2=1.‎ 又c=a‎2‎‎-‎b‎2‎‎=‎‎3‎,所以离心率e=ca‎=‎‎3‎‎2‎.‎ ‎(2)证明设P(x0,y0)(x0<0,y0<0),则x‎0‎‎2‎+4y‎0‎‎2‎=4.‎ 又A(2,0),B(0,1),‎ 所以直线PA的方程为y=y‎0‎x‎0‎‎-2‎(x-2).‎ 令x=0,得yM=-‎2‎y‎0‎x‎0‎‎-2‎,‎ 从而|BM|=1-yM=1+‎2‎y‎0‎x‎0‎‎-2‎.‎ 直线PB的方程为y=y‎0‎‎-1‎x‎0‎x+1.‎ 令y=0,得xN=-x‎0‎y‎0‎‎-1‎,‎ 从而|AN|=2-xN=2+x‎0‎y‎0‎‎-1‎.‎ 所以四边形ABNM的面积 S=‎1‎‎2‎|AN|·|BM|‎ ‎=‎‎1‎‎2‎‎2+‎x‎0‎y‎0‎‎-1‎‎1+‎‎2‎y‎0‎x‎0‎‎-2‎ ‎=‎x‎0‎‎2‎‎+4y‎0‎‎2‎+4x‎0‎y‎0‎-4x‎0‎-8y‎0‎+4‎‎2(x‎0‎y‎0‎-x‎0‎-2y‎0‎+2)‎ ‎=‎2x‎0‎y‎0‎-2x‎0‎-4y‎0‎+4‎x‎0‎y‎0‎‎-x‎0‎-2y‎0‎+2‎=2.‎ 从而四边形ABNM的面积为定值.〚导学号74920330〛‎ 能力提升组 ‎11.已知P是椭圆x‎2‎‎25‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(0b>0)与双曲线x‎2‎m‎2‎‎-‎y‎2‎n‎2‎=1(m>0,n>0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),若c是a,m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率为(　　)‎ A.‎3‎‎2‎ B.‎2‎‎2‎ C.‎1‎‎2‎ D.‎1‎‎4‎〚导学号74920332〛‎ 答案C 解析因为椭圆x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)与双曲线x‎2‎m‎2‎‎-‎y‎2‎n‎2‎=1(m>0,n>0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),所以c2=a2-b2=m2+n2.‎ 因为c是a,m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,所以c2=am,2n2=2m2+c2,所以m2=c‎4‎a‎2‎,n2=c‎4‎a‎2‎‎+‎c‎2‎‎2‎,所以‎2‎c‎4‎a‎2‎‎+‎c‎2‎‎2‎=c2,化为c‎2‎a‎2‎‎=‎‎1‎‎4‎,所以e=ca‎=‎‎1‎‎2‎.‎ ‎13.已知椭圆x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的右焦点F(c,0)关于直线y=bcx的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率是　　　　　.〚导学号74920333〛 ‎ 答案‎2‎‎2‎ 解析设Q(x0,y0),‎ 则y‎0‎x‎0‎‎-c‎=-cb,‎bc‎·x‎0‎‎+c‎2‎=y‎0‎‎2‎,‎解得x‎0‎‎=c(c‎2‎-b‎2‎)‎a‎2‎,‎y‎0‎‎=‎2bc‎2‎a‎2‎.‎ 因为点Q在椭圆上,所以c‎2‎‎(c‎2‎-‎b‎2‎‎)‎‎2‎a‎4‎‎·‎a‎2‎‎+‎‎4‎b‎2‎c‎4‎a‎4‎‎·‎b‎2‎=1,‎ 化简得a4c2+4c6-a6=0,即4e6+e2-1=0.‎ 即4e6-2e4+2e4+e2-1=0,即(2e2-1)(2e4+e2+1)=0.‎ 所以e=‎2‎‎2‎.‎ ‎14.已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的离心率为‎2‎‎2‎,点(2,‎2‎)在C上.‎ ‎(1)求C的方程;‎ ‎(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.‎ ‎(1)解由题意有a‎2‎‎-‎b‎2‎a‎=‎2‎‎2‎,‎4‎a‎2‎+‎‎2‎b‎2‎=1,解得a2=8,b2=4.‎ 所以C的方程为x‎2‎‎8‎‎+‎y‎2‎‎4‎=1.‎ ‎(2)证明设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).‎ 将y=kx+b代入x‎2‎‎8‎‎+‎y‎2‎‎4‎=1,‎ 得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.‎ 故xM=x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎‎=‎‎-2kb‎2k‎2‎+1‎,yM=k·xM+b=b‎2k‎2‎+1‎.‎ 于是直线OM的斜率kOM=yMxM=-‎1‎‎2k,即kOM·k=-‎1‎‎2‎.‎ 所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.〚导学号74920334〛‎ 高考预测 ‎15.椭圆C:x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的上顶点为A,P‎4‎‎3‎‎,‎b‎3‎是C上的一点,以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)动直线l与椭圆C有且只有一个公共点,问:在x轴上是否存在两个定点,它们到直线l的距离之积等于1?如果存在,求出这两个定点的坐标;如果不存在,说明理由.‎ 解(1)F(c,0),A(0,b),由题设可知FA‎·‎FP=0,得c2-‎4‎‎3‎c+b‎2‎‎3‎=0,①‎ 又点P在椭圆C上,‎ 可知‎16‎‎9‎a‎2‎‎+‎b‎2‎‎9‎b‎2‎=1,即a2=2.②‎ 又b2+c2=a2=2,③‎ ‎①③联立解得,c=1,b2=1.‎ 故所求椭圆的方程为x‎2‎‎2‎+y2=1.‎ ‎(2)当直线l的斜率存在时,设其方程为y=kx+m,代入椭圆方程,消去y,‎ 整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0.(*)‎ 因为方程(*)有且只有一个实根,又2k2+1>0,‎ 所以Δ=0,得m2=2k2+1.‎ 假设存在M1(λ1,0),M2(λ2,0)满足题设,则由 d1·d2=‎‎|(λ‎1‎k+m)(λ‎2‎k+m)|‎k‎2‎‎+1‎ ‎=‎‎|λ‎1‎λ‎2‎k‎2‎+(λ‎1‎+λ‎2‎)km+2k‎2‎+1|‎k‎2‎‎+1‎ ‎=‎‎(λ‎1‎λ‎2‎+2)k‎2‎+(λ‎1‎+λ‎2‎)km+1‎k‎2‎‎+1‎ ‎=1对任意的实数k恒成立,‎ 所以λ‎1‎λ‎2‎‎+2=1,‎λ‎1‎‎+λ‎2‎=0,‎ 解得λ‎1‎‎=1,‎λ‎2‎‎=-1‎或λ‎1‎‎=-1,‎λ‎2‎‎=1.‎ 当直线l的斜率不存在时,经检验符合题意.‎ 综上,存在两个定点M1(1,0),M2(-1,0),使它们到直线l的距离之积等于1.〚导学号74920335〛‎