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  • 2021-06-16 发布

高考数学专题复习练习:第四章 4_2同角三角函数的基本关系

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‎ ‎ ‎1.同角三角函数的基本关系 ‎(1)平方关系:sin2α+cos2α=1.‎ ‎(2)商数关系:=tan α.‎ ‎2.各角的终边与角α的终边的关系 角 ‎2kπ+α(k∈Z)‎ π+α ‎-α 图示 与角α终边的关系 相同 关于原点对称 关于x轴对称 角 π-α -α +α 图示 与角α终边的关系 关于y轴对称 关于直线y=x对称 ‎3.六组诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 ‎2kπ+α(k∈Z)‎ π+α ‎-α π-α -α +α 正弦 sin α ‎-sin α ‎-sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α ‎-cos α cos α ‎-cos α sin α ‎-sin α 正切 tan α tan α ‎-tan α ‎-tan α 口诀 函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限 ‎【知识拓展】‎ ‎1.诱导公式的记忆口诀:奇变偶不变,符号看象限.‎ ‎2.同角三角函数基本关系式的常用变形:‎ ‎(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α;‎ ‎(sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2;‎ ‎(sin α+cos α)2-(sin α-cos α)2=4sin αcos α.‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)若α,β为锐角,则sin2α+cos2β=1.( × )‎ ‎(2)若α∈R,则tan α=恒成立.( × )‎ ‎(3)sin(π+α)=-sin α成立的条件是α为锐角.( × )‎ ‎(4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍,变与不变指函数名称的变化.( √ )‎ ‎1.(2015·福建)若sin α=-,且α为第四象限角,则tan α的值等于(  )‎ A. B.- C. D.- 答案 D 解析 ∵sin α=-,且α为第四象限角,∴cos α=,‎ ‎∴tan α==-,故选D.‎ ‎2.(教材改编)已知sin(π+α)=,则cos α的值为(  )‎ A.± B. C. D.± 答案 D 解析 ∵sin(π+α)=-sin α=.‎ ‎∴sin α=-,cos α=±=±.‎ ‎3.(2016·东营模拟)计算:sin π+cos π等于(  )‎ A.-1 B.1‎ C.0 D.- 答案 A 解析 ∵sin π=sin(π+π)=-sin =-,‎ cos π=cos(2π+)=cos =-,‎ ‎∴sin π+cos π=-1.‎ ‎4.(教材改编)若tan α=2,则= .‎ 答案  解析 = ‎==.‎ ‎5.已知函数f(x)=则f(f(2 018))= .‎ 答案 -1‎ 解析 ∵f(f(2 018))=f(2 018-18)=f(2 000),‎ ‎∴f(2 000)=2cos=2cos π=-1.‎ 题型一 同角三角函数关系式的应用 例1 (1)已知sin αcos α=,且<α<,则cos α-sin α的值为(  )‎ A.- B. C.- D. ‎(2)化简:(1+tan2α)(1-sin2α)= .‎ 答案 (1)B (2)1‎ 解析 (1)∵<α<,‎ ‎∴cos α<0,sin α<0且cos α>sin α,‎ ‎∴cos α-sin α>0.‎ 又(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=1-2×=,‎ ‎∴cos α-sin α=.‎ ‎(2)(1+tan2α)(1-sin2α)=(1+)·cos2α ‎=·cos2α=1.‎ 思维升华 (1)利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用=tan α可以实现角α的弦切互化.‎ ‎(2)应用公式时注意方程思想的应用:对于sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α这三个式子,利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,可以知一求二.‎ ‎(3)注意公式逆用及变形应用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.‎ ‎ 已知sin α-cos α=,α∈(0,π),则tan α等于(  )‎ A.-1 B.- C. D.1‎ 答案 A 解析 由 消去sin α得2cos2α+2cos α+1=0,‎ 即(cos α+1)2=0,‎ ‎∴cos α=-.‎ 又α∈(0,π),‎ ‎∴α=,‎ ‎∴tan α=tan=-1.‎ 题型二 诱导公式的应用 例2 (1)(2016·长春模拟)已知f(x)=,则f(-)= .‎ ‎(2)已知A=+(k∈Z),则A的值构成的集合是(  )‎ A.{1,-1,2,-2} B.{-1,1}‎ C.{2,-2} D.{1,-1,0,2,-2}‎ 答案 (1)-1 (2)C 解析 (1)f(x)==-tan2x,‎ f(-)=-tan2(-)=-tan2π=-1.‎ ‎(2)当k为偶数时,A=+=2;‎ 当k为奇数时,A=-=-2.‎ ‎∴A的值构成的集合是{2,-2}.‎ 思维升华 (1)诱导公式的两个应用 ‎①求值:负化正,大化小,化到锐角为终了.‎ ‎②化简:统一角,统一名,同角名少为终了.‎ ‎(2)含2π整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知,在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算,如cos(5π-α)=cos(π-α)=-cos α.‎ ‎ (1)化简:= .‎ ‎(2)已知角α终边上一点P(-4,3),则的值为 .‎ 答案 (1)-1 (2)- 解析 (1)原式= ‎== ‎=-=-·=-1.‎ ‎(2)原式==tan α,‎ 根据三角函数的定义得tan α=-.‎ 题型三 同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用 例3 (1)已知α为锐角,且有2tan(π-α)-3cos(+β)+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0,则sin α的值是(  )‎ A. B. C. D. 答案 C 解析 2tan(π-α)-3cos(+β)+5=0化简为 ‎-2tan α+3sin β+5=0,①‎ tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0化简为 tan α-6sin β-1=0.②‎ 由①②消去sin β,解得tan α=3.‎ 又α为锐角,根据sin2α+cos2α=1,‎ 解得sin α=.‎ ‎(2)已知-π0,‎ ‎∴cos x>0,sin x-cos x<0,‎ 故sin x-cos x=-.‎ ‎②= ‎= ‎==-.‎ 引申探究 本例(2)中若将条件“-π0,cos x<0,‎ ‎∴sin x-cos x>0,故sin x-cos x=.‎ 思维升华 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,灵活使用公式进行变形.‎ ‎(2)注意角的范围对三角函数符号的影响.‎ ‎ 已知sin=,α∈,则sin(π+α)等于(  )‎ A. B.- C. D.- 答案 D 解析 由已知sin=,‎ 得cos α=,‎ ‎∵α∈,‎ ‎∴sin α=,‎ ‎∴sin(π+α)=-sin α=-.‎ ‎7.分类讨论思想在三角函数中的应用 典例 (1)已知sin α=,则tan(α+π)+= .‎ ‎(2)(2016·湛江模拟)已知k∈Z,化简:= .‎ 思想方法指导 (1)在利用同角三角函数基本关系式中的平方关系时,要根据角的范围对开方结果进行讨论.‎ ‎(2)利用诱导公式化简时要对题中整数k是奇数或偶数进行讨论.‎ 解析 (1)∵sin α=>0,‎ ‎∴α为第一或第二象限角.‎ tan(α+π)+=tan α+ ‎=+=.‎ ‎①当α是第一象限角时,cos α==,‎ 原式==.‎ ‎②当α是第二象限角时,cos α=-=-,‎ 原式==-.‎ 综上①②知,原式=或-.‎ ‎(2)当k=2n(n∈Z)时,‎ 原式= ‎= ‎==-1;‎ 当k=2n+1(n∈Z)时,‎ 原式= ‎= ‎==-1.‎ 综上,原式=-1.‎ 答案 (1)或- (2)-1‎ ‎1.(2016·西安模拟)已知cos α=,α∈(0,π),则tan α的值等于(  )‎ A. B. C.- D.- 答案 B 解析 ∵α∈(0,π),‎ ‎∴sin α===,‎ 由tan α=,得tan α=.‎ ‎2.已知tan(α-π)=,且α∈(,),则sin(α+)等于(  )‎ A. B.- C. D.- 答案 B 解析 由tan(α-π)=,得tan α=,∴α∈(π,),‎ 由及α∈(π,),‎ 得cos α=-,‎ 而sin(α+)=cos α=-.‎ ‎3.若角α的终边落在第三象限,则+的值为(  )‎ A.3 B.-3‎ C.1 D.-1‎ 答案 B 解析 由角α的终边落在第三象限,‎ 得sin α<0,cos α<0,‎ 故原式=+=+=-1-2=-3.‎ ‎4.若sin(π-α)=-2sin(+α),则sin α·cos α的值等于(  )‎ A.- B.- C.或- D. 答案 A 解析 由sin(π-α)=-2sin(+α),可得sin α=-2cos α,则tan α=-2,sin α·cos α===-.‎ ‎5.已知函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),且f(4)=3,则f(2 017)的值为(  )‎ A.-1 B.1‎ C.3 D.-3‎ 答案 D 解析 ∵f(4)=asin(4π+α)+bcos(4π+β)‎ ‎=asin α+bcos β=3,‎ ‎∴f(2 017)=asin(2 017π+α)+bcos(2 017π+β)‎ ‎=asin(π+α)+bcos(π+β)‎ ‎=-asin α-bcos β ‎=-3.‎ ‎*6.(2016·揭阳模拟)若sin θ,cos θ是方程4x2+2mx+m=0的两根,则m的值为(  )‎ A.1+ B.1- C.1± D.-1- 答案 B 解析 由题意知sin θ+cos θ=-,sin θcos θ=,‎ 又(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ,‎ ‎∴=1+,‎ 解得m=1±,又Δ=4m2-16m≥0,‎ ‎∴m≤0或m≥4,∴m=1-.‎ ‎7.已知α为钝角,sin(+α)=,则sin(-α)= .‎ 答案 - 解析 因为α为钝角,所以cos(+α)=-,‎ 所以sin(-α)=cos[-(-α)]=cos(+α)=-.‎ ‎8.若f(cos x)=cos 2x,则f(sin 15°)= .‎ 答案 - 解析 f(sin 15°)=f(cos 75°)=cos 150°=cos(180°-30°)=-cos 30°=-.‎ ‎9.已知角θ的顶点在坐标原点,始边与x轴正半轴重合,终边在直线2x-y=0上,则= .‎ 答案 2‎ 解析 由题意可得tan θ=2,‎ 原式===2.‎ ‎10.(2016·长春模拟)已知α为第二象限角,则cos α+sin α = .‎ 答案 0‎ 解析 原式=cos α +sin α =cos α+sin α,‎ 因为α是第二象限角,所以sin α>0,cos α<0,‎ 所以cos α+sin α=-1+1=0,即原式等于0.‎ ‎11.已知sin(3π+α)=2sin,求下列各式的值:‎ ‎(1);‎ ‎(2)sin2α+sin 2α.‎ 解 由已知得sin α=2cos α.‎ ‎(1)原式==-.‎ ‎(2)原式= ‎==.‎ ‎12.已知在△ABC中,sin A+cos A=.‎ ‎(1)求sin Acos A的值;‎ ‎(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形;‎ ‎(3)求tan A的值.‎ 解 (1)∵(sin A+cos A)2=,‎ ‎∴1+2sin Acos A=,‎ ‎∴sin Acos A=-.‎ ‎(2)∵sin Acos A<0,‎ 又00,‎ ‎∴sin A-cos A=,‎ ‎∴sin A=,cos A=-,‎ 故tan A=-.‎ ‎*13.已知关于x的方程2x2-(+1)x+m=0的两根为sin θ和cos θ,θ∈(0,2π).‎ 求:(1)+的值;‎ ‎(2)m的值;‎ ‎(3)方程的两根及此时θ的值.‎ 解 (1)原式=+ ‎=+ ‎==sin θ+cos θ.‎ 由条件知sin θ+cos θ=,‎ 故+=.‎ ‎(2)由sin2θ+2sin θcos θ+cos2θ=1+2sin θcos θ=(sin θ+cos θ)2,‎ 得m=.‎ ‎(3)由 知或 又θ∈(0,2π),故θ=或θ=.‎