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- 2021-06-16 发布
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[基础题组练]
1.的展开式中的常数项为( )
A.-3 B.3
C.6 D.-6
解析:选D.通项Tr+1=C(-x4)r=C()3-r·(-1)rx-6+6r,当-6+6r=0,即r=1时为常数项,T2=-6,故选D.
2.(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展开式中x4的系数为( )
A.50 B.55
C.45 D.60
解析:选B.(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展开式中x4的系数是C+C+C=55.故选B.
3.(2020·四川成都实验外国语学校二诊)已知的展开式中,各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64,则n=( )
A.4 B.5
C.6 D.7
解析:选C.二项式的各项系数的和为(1+3)n=4n,二项式的各项二项式系数的和为2n,因为各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64,所以=2n=64,n=6.故选C.
4.在(1-x)5(2x+1)的展开式中,含x4项的系数为( )
A.-5 B.-15
C.-25 D.25
解析:选B.因为(1-x)5=(-x)5+5x4+C(-x)3+…,所以在(1-x)5·(2x+1)的展开式中,含x4项的系数为5-2C=-15.故选B.
5.1+(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n的展开式的各项系数之和为( )
A.2n-1 B.2n-1
C.2n+1-1 D.2n
解析:选C.令x=1,得1+2+22+…+2n==2n+1-1.
6.(2020·湖南岳阳二模)将多项式a6x6+a5x5+…+a1x+a0分解因式得(x-2)(x+2)5,则a5=( )
A.8 B.10
C.12 D.1
解析:选A.(x-2)(x+2)5=(x2-4)·(x+2)4,所以(x+2)4的展开式中x3的系数为C·21=8,所以a5=8.故选A.
7.(x2+2)展开式中的常数项是( )
A.12 B.-12
C.8 D.-8
解析:选B.展开式的通项公式为Tr+1=C(-1)r=(-1)rCxr-5,当r-5=-2或r-5=0,即r=3或r=5时,展开式的常数项是(-1)3C+2(-1)5C=-12.故选B.
8.展开式中的常数项为( )
A.1 B.21
C.31 D.51
解析:选D.因为=
=C(x+1)5+C(x+1)4·+C(x+1)3·+C(x+1)2·+C(x+1)1·+C.
所以展开式中的常数项为C·C·15+C·C·13+C·C·12=51.故选D.
9.已知(2x-1)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则|a0|+|a1|+…+|a5|=( )
A.1 B.243
C.121 D.122
解析:选B.令x=1,得a5+a4+a3+a2+a1+a0=1,①
令x=-1,得-a5+a4-a3+a2-a1+a0=-243,②
①+②,得2(a4+a2+a0)=-242,
即a4+a2+a0=-121.
①-②,得2(a5+a3+a1)=244,
即a5+a3+a1=122.
所以|a0|+|a1|+…+|a5|=122+121=243.故选B.
10.(2020·海口调研)若(x2-a)的展开式中x6的系数为30,则a等于( )
A. B.
C.1 D.2
解析:选D.由题意得的展开式的通项公式是Tk+1=C·x10-k·=Cx10-2k,的展开式中含x4(当k=3时),x6(当k=2时)项的系数分别为C,C,因此由题意得C-aC=120-45a=30,由此解得a=2,故选D.
11.若(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n,则a0+a2+a4+…+a2n等于( )
A.2n B.
C.2n+1 D.
解析:选D.设f(x)=(1+x+x2)n,
则f(1)=3n=a0+a1+a2+…+a2n,①
f(-1)=1=a0-a1+a2-a3+…+a2n,②
由①+②得2(a0+a2+a4+…+a2n)=f(1)+f(-1),
所以a0+a2+a4+…+a2n==.
12.已知(x+2)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,则(a1+3a3+5a5+7a7+9a9)2-(2a2+4a4+6a6+8a8)2的值为( )
A.39 B.310
C.311 D.312
解析:选D.对(x+2)9= a0+a1x+a2x2+…+a9x9两边同时求导,得9(x+2)8=a1+2a2x+3a3x2+…+8a8x7+9a9x8,令x=1,得a1+2a2+3a3+…+8a8+9a9=310,令x=-1,得a1-2a2+3a3-…-8a8+9a9=32.所以(a1+3a3+5a5+7a7+9a9)2-(2a2+4a4+6a6+8a8)2=(a1+2a2+3a3+…+8a8+9a9)(a1-2a2+3a3-…-8a8+9a9)=312,故选D.
13.(x-y)4的展开式中,x3y3项的系数为________.
解析:二项展开式的通项是Tk+1=C(x)4-k·(-y)k=(-1)kCx4-y2+,令4-=2+=3,解得k=2,故展开式中x3y3的系数为(-1)2C=6.
答案:6
14.(x>0)的展开式中的常数项为________.
解析:(x>0)可化为,因而Tr+1=C()10-2r,令10-2r=0,则r=5,
故展开式中的常数项为C·=.
答案:
15.设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=________.
解析:(x+y)2m展开式中二项式系数的最大值为C,所以a=C.
同理,b=C.
因为13a=7b,所以13·C=7·C.
所以13·=7·.
所以m=6.
答案:6
[综合题组练]
1.已知C-4C+42C-43C+…+(-1)n4nC=729,则C+C+…+C的值等于( )
A.64 B.32
C.63 D.31
解析:选C.因为C-4C+42C-43C+…+(-1)n4nC=729,所以(1-4)n=36,所以n=6,因此C+C+…+C=2n-1=26-1=63,故选C.
2.设a∈Z,且0≤a<13,若512 018+a能被13整除,则a=( )
A.0 B.1
C.11 D.12
解析:选D.512 018+a=(52-1)2 018+a=C522 018-C522 017+…+C×52×(-1)2 017+C×(-1)2 018+a.因为52能被13整除,所以只需C×(-1)2 018+a能被13整除,即a+1能被13整除,所以a=12.
3.已知(x+1)10=a1+a2x+a3x2+…+a11x10.若数列a1,a2,a3,…,ak(1≤k≤11,k∈N+)是一个单调递增数列,则k的最大值是________.
解析:由二项式定理知,an=C(n=1,2,3,…,11).又(x+1)10展开式中二项式系数最大项是第6项,所以a6=C,则k的最大值为6.
答案:6
4.设a=2x dx,则二项式的展开式中的常数项为________.
解析:a=2x dx=x2=1,则二项式=,其展开式的通项公式为Tr+1=C
(x2)6-r·=(-1)rCx12-3r,
令12-3r=0,解得r=4.
所以常数项为(-1)4C=15.
答案:15
5.已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,求:
(1)a1+a2+…+a7;
(2)a1+a3+a5+a7;
(3)a0+a2+a4+a6;
(4)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|.
解:令x=1,
则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1.①
令x=-1,
则a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37.②
(1)因为a0=C=1,
所以a1+a2+a3+…+a7=-2.
(2)(①-②)÷2,得a1+a3+a5+a7==-1 094.
(3)(①+②)÷2,得a0+a2+a4+a6==1 093.
(4)因为(1-2x)7的展开式中a0,a2,a4,a6大于零,而a1,a3,a5,a7小于零,
所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|
=(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7)
=1 093-(-1 094)=2 187.
6.已知的展开式中,前三项的系数成等差数列.
(1)求n;
(2)求展开式中的有理项;
(3)求展开式中系数最大的项.
解:(1)由二项展开式知,前三项的系数分别为C,C,C,
由已知得2×C=C+C,
解得n=8(n=1舍去).
(2)的展开式的通项Tr+1=C()8-r·=2-rCx4- (r=0,1,…,8),
要求有理项,则4-必为整数,即r=0,4,8,共3项,这3项分别是T1=x4,T5=x,T9=.
(3)设第r+1项的系数为ar+1最大,则ar+1=2-rC,
则==≥1,
==≥1,
解得2≤r≤3.
当r=2时,a3=2-2C=7,当r=3时,a4=2-3C=7,
因此,第3项和第4项的系数最大,
故系数最大的项为T3=7x,T4=7x.
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