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  • 2021-06-15 发布

2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破:第四章 第2讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式

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‎[基础题组练]‎ ‎1.(2020·晋冀鲁豫名校期末联考)若sin=,且α是第三象限角,则cos=(  )‎ A.         B.- C. D.- 解析:选D.sin=-cos α=,所以cos α=-,因为α是第三象限角,所以sin α=-,所以cos=cos=sin α=-.‎ ‎2.若角α的终边落在第三象限,则+的值为(  )‎ A.3 B.-3‎ C.1 D.-1‎ 解析:选B.因为α是第三象限角,故sin α<0,cos α<0,所以原式=+=-1-2=-3.‎ ‎3.已知tan(π-α)=-,且α∈,则=(  )‎ A.- B.- C. D. 解析:选A.由tan(π-α)=-,得tan α=.‎ ====-.故选A.‎ ‎4.(2019·东北三省三校模拟)已知sin=,则cos=(  )‎ A. B.- C. D.- 解析:选B.由题意知,cos=cos ‎=-sin=-.故选B.‎ ‎5.已知α∈[0,2π),cos α+3sin α=,则tan α=(  )‎ A.-3 B.3或 C.3 D. 解析:选C.因为(cos α+3sin α)2=10,‎ 所以cos2α+6sin αcos α+9sin2α=10,‎ 所以=10,‎ 所以=10,所以tan α=3,故选C.‎ ‎6.(2020·惠州模拟)已知tan α=,且α∈(π,),则cos(α-)=________.‎ 解析:由α∈(π,)知α为第三象限角,联立得得5sin2α=1,故sin α=-.‎ 答案:- ‎7.若|sin θ|+|cos θ|=,则sin4θ+cos4θ=________.‎ 解析:|sin θ|+|cos θ|=,两边平方得,1+|sin 2θ|=,所以|sin 2θ|=,所以sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-2sin2θcos2θ=1-sin2 2θ=1-×=.‎ 答案: ‎8.若=3,则cos α-2sin α=________.‎ 解析:由已知得sin α≠0,且3sin α=1+cos α>0,即cos α=3sin α-1,则cos2α=1-sin2α=(3sin α-1)2,解得sin α=,所以cos α-2sin α=3sin α-1-2sin α=sin α-1=-.‎ 答案:- ‎9.已知α为第三象限角,‎ f(α)=.‎ ‎(1)化简f(α);‎ ‎(2)若cos(α-)=,求f(α)的值.‎ 解:(1)f(α)= ‎==-cos α.‎ ‎(2)因为cos(α-)=,‎ 所以-sin α=,‎ 从而sin α=-.‎ 又α为第三象限角,‎ 所以cos α=-=-,‎ 所以f(α)=-cos α=.‎ ‎10.是否存在α∈,β∈使等式sin(3π-α)=cos,cos(-α)=-cos(π+β)同时成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,请说明理由.‎ 解:假设存在角α,β满足条件.‎ 由已知条件可得 由①2+②2,得sin2α+3cos2α=2.‎ 所以sin2α=,所以sin α=±.‎ 因为α∈,所以α=±.‎ 当α=时,由②式知cos β=,‎ 又β∈(0,π),所以β=,此时①式成立;‎ 当α=-时,由②式知cos β=,又β∈(0,π),‎ 所以β=,此时①式不成立,故舍去.‎ 所以存在α=,β=满足条件.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1.已知θ为直线y=3x-5的倾斜角,若A(cos θ,sin θ),B(2cos θ+sin θ,5cos θ-sin θ),则直线AB的斜率为(  )‎ A.3 B.-4‎ C. D.- 解析:选D.由题意知tan θ=3,kAB===-.故选D.‎ ‎2.A={sin α,cos α,1},B={sin2α,sin α+cos α,0},且A=B,则sin2 019α+cos2 018α=(  )‎ A.0 B.1‎ C.-1 D.±1‎ 解析:选C.当sin α=0时,sin2α=0,此时集合B中不符合集合元素的互异性,故舍去;当cos α=0时,A={sin α,0,1},B={sin2α,sin α,0},此时sin2α=1,得sin α=-1,所以sin2 019α+cos2 018α=-1.‎ ‎3.已知θ∈,且+=35,则tan θ=________.‎ 解析:依题意得12(sin θ+cos θ)=35sin θcos θ,令sin θ+cos θ=t,因为θ∈,所以t>0,则原式化为12t=35·,解得t=,故sin θ+cos θ=,则sin θcos θ=,即=,即=,12tan2θ-25tan θ+12=0,解得tan θ=或.‎ 答案:或 ‎4.(2020·襄阳模拟)已知tan=2,则 =________.‎ 解析: ‎= ‎=-,‎ 把tan(α+)=2代入得,原式=-=-3.‎ 答案:-3‎ ‎5.已知关于x的方程2x2-(+1)x+m=0的两根分别是sin θ和cos θ,θ∈(0,2π),求:‎ ‎(1)+的值;‎ ‎(2)m的值;‎ ‎(3)方程的两根及此时θ的值.‎ 解:(1)原式=+ ‎=+ ‎==sin θ+cos θ.‎ 由条件知sin θ+cos θ=,‎ 故+=.‎ ‎(2)由已知,得sin θ+cos θ=,‎ sin θcos θ=,‎ 又1+2sin θcos θ=(sin θ+cos θ)2,可得m=.‎ ‎(3)由 得或 又θ∈(0,2π),故θ=或θ=.‎ ‎6.在△ABC中,‎ ‎(1)求证:cos2+cos2 =1;‎ ‎(2)若cossintan(C-π)<0,‎ 求证:△ABC为钝角三角形.‎ 证明:(1)在△ABC中,A+B=π-C,‎ 所以=-,‎ 所以cos=cos=sin ,‎ 所以cos2+cos2=1.‎ ‎(2)若cossintan(C-π)<0,‎ 所以(-sin A)(-cos B)tan C<0,即sin Acos Btan C<0.‎ 因为在△ABC中,0<A<π,0<B<π,0<C<π且sin A>0,‎ 所以或 所以B为钝角或C为钝角,所以△ABC为钝角三角形.‎