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- 2021-06-15 发布
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[基础题组练]
1.(2020·晋冀鲁豫名校期末联考)若sin=,且α是第三象限角,则cos=( )
A. B.-
C. D.-
解析:选D.sin=-cos α=,所以cos α=-,因为α是第三象限角,所以sin α=-,所以cos=cos=sin α=-.
2.若角α的终边落在第三象限,则+的值为( )
A.3 B.-3
C.1 D.-1
解析:选B.因为α是第三象限角,故sin α<0,cos α<0,所以原式=+=-1-2=-3.
3.已知tan(π-α)=-,且α∈,则=( )
A.- B.-
C. D.
解析:选A.由tan(π-α)=-,得tan α=.
====-.故选A.
4.(2019·东北三省三校模拟)已知sin=,则cos=( )
A. B.-
C. D.-
解析:选B.由题意知,cos=cos
=-sin=-.故选B.
5.已知α∈[0,2π),cos α+3sin α=,则tan α=( )
A.-3 B.3或
C.3 D.
解析:选C.因为(cos α+3sin α)2=10,
所以cos2α+6sin αcos α+9sin2α=10,
所以=10,
所以=10,所以tan α=3,故选C.
6.(2020·惠州模拟)已知tan α=,且α∈(π,),则cos(α-)=________.
解析:由α∈(π,)知α为第三象限角,联立得得5sin2α=1,故sin α=-.
答案:-
7.若|sin θ|+|cos θ|=,则sin4θ+cos4θ=________.
解析:|sin θ|+|cos θ|=,两边平方得,1+|sin 2θ|=,所以|sin 2θ|=,所以sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-2sin2θcos2θ=1-sin2 2θ=1-×=.
答案:
8.若=3,则cos α-2sin α=________.
解析:由已知得sin α≠0,且3sin α=1+cos α>0,即cos α=3sin α-1,则cos2α=1-sin2α=(3sin α-1)2,解得sin α=,所以cos α-2sin α=3sin α-1-2sin α=sin α-1=-.
答案:-
9.已知α为第三象限角,
f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若cos(α-)=,求f(α)的值.
解:(1)f(α)=
==-cos α.
(2)因为cos(α-)=,
所以-sin α=,
从而sin α=-.
又α为第三象限角,
所以cos α=-=-,
所以f(α)=-cos α=.
10.是否存在α∈,β∈使等式sin(3π-α)=cos,cos(-α)=-cos(π+β)同时成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,请说明理由.
解:假设存在角α,β满足条件.
由已知条件可得
由①2+②2,得sin2α+3cos2α=2.
所以sin2α=,所以sin α=±.
因为α∈,所以α=±.
当α=时,由②式知cos β=,
又β∈(0,π),所以β=,此时①式成立;
当α=-时,由②式知cos β=,又β∈(0,π),
所以β=,此时①式不成立,故舍去.
所以存在α=,β=满足条件.
[综合题组练]
1.已知θ为直线y=3x-5的倾斜角,若A(cos θ,sin θ),B(2cos θ+sin θ,5cos θ-sin θ),则直线AB的斜率为( )
A.3 B.-4
C. D.-
解析:选D.由题意知tan θ=3,kAB===-.故选D.
2.A={sin α,cos α,1},B={sin2α,sin α+cos α,0},且A=B,则sin2 019α+cos2 018α=( )
A.0 B.1
C.-1 D.±1
解析:选C.当sin α=0时,sin2α=0,此时集合B中不符合集合元素的互异性,故舍去;当cos α=0时,A={sin α,0,1},B={sin2α,sin α,0},此时sin2α=1,得sin α=-1,所以sin2 019α+cos2 018α=-1.
3.已知θ∈,且+=35,则tan θ=________.
解析:依题意得12(sin θ+cos θ)=35sin θcos θ,令sin θ+cos θ=t,因为θ∈,所以t>0,则原式化为12t=35·,解得t=,故sin θ+cos θ=,则sin θcos θ=,即=,即=,12tan2θ-25tan θ+12=0,解得tan θ=或.
答案:或
4.(2020·襄阳模拟)已知tan=2,则
=________.
解析:
=
=-,
把tan(α+)=2代入得,原式=-=-3.
答案:-3
5.已知关于x的方程2x2-(+1)x+m=0的两根分别是sin θ和cos θ,θ∈(0,2π),求:
(1)+的值;
(2)m的值;
(3)方程的两根及此时θ的值.
解:(1)原式=+
=+
==sin θ+cos θ.
由条件知sin θ+cos θ=,
故+=.
(2)由已知,得sin θ+cos θ=,
sin θcos θ=,
又1+2sin θcos θ=(sin θ+cos θ)2,可得m=.
(3)由
得或
又θ∈(0,2π),故θ=或θ=.
6.在△ABC中,
(1)求证:cos2+cos2 =1;
(2)若cossintan(C-π)<0,
求证:△ABC为钝角三角形.
证明:(1)在△ABC中,A+B=π-C,
所以=-,
所以cos=cos=sin ,
所以cos2+cos2=1.
(2)若cossintan(C-π)<0,
所以(-sin A)(-cos B)tan C<0,即sin Acos Btan C<0.
因为在△ABC中,0<A<π,0<B<π,0<C<π且sin A>0,
所以或
所以B为钝角或C为钝角,所以△ABC为钝角三角形.
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