高考数学专题复习练习：7-3 专项基础训练 9页

‎ A组　专项基础训练 ‎(时间：25分钟)‎ ‎1．直线2x＋y－10＝0与不等式组表示的平面区域的公共点有(　　)‎ A．0个　　　　　　　　　　　　B．1个 C．2个 D．无数个 ‎【解析】 由不等式组画出平面区域如图(阴影部分)．‎ 直线2x＋y－10＝0恰过点A(5，0)，且其斜率k＝－2＜kAB＝－，即直线2x＋y－10＝0与平面区域仅有一个公共点A(5，0)．‎ ‎【答案】 B ‎2．(2015·天津)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋6y的最大值为(　　)‎ A．3 B．4‎ C．18 D．40‎ ‎【解析】 画出约束条件的可行域如图阴影部分，作直线l：x＋6y＝0，平移直线l可知，直线l过点A时，目标函数z＝x＋6y取得最大值，易得A(0，3)，所以zmax＝0＋6×3＝18，选C.‎ ‎【答案】 C ‎3．(2016·北京)若x，y满足则2x＋y的最大值为(　　)‎ A．0 B．3‎ C．4 D．5‎ ‎【解析】 作出可行域(如图)，令z＝2x＋y，则当目标函数线过点A(1，2)时，2x＋y取得最大值，且最大值为2×1＋2＝4.故选C.‎ ‎【答案】 C ‎4．(2016·河南洛阳期中)若实数x，y满足不等式组且x＋y的最大值为9，则实数m＝(　　)‎ A．－2 B．－1‎ C．1 D．2‎ ‎【解析】 先根据约束条件画出可行域，如图．设z＝x＋y，则y＝－x＋z，将z转化为直线y＝－x＋z在y轴上的截距．‎ 当直线z＝x＋y经过直线x－my＋1＝0与直线2x－y－3＝0的交点A时，z最大．‎ 由得A(4，5)，将点A的坐标代入x－my＋1＝0得m＝1，故选C.‎ ‎【答案】 C ‎5．(2016·北京丰台模拟)某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲种产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙种产品要用A原料1吨，B原料3吨．该工厂每天生产甲、乙两种产品的总量不少于2吨，且每天消耗的A原料不能超过10吨，B原料不能超过9吨．如果设每天甲种产品的产量为x吨，乙种产品的产量为y吨，则在坐标系xOy中，满足上述条件的x，y的可行域用阴影部分表示正确的是(　　)‎ ‎【解析】 由题可知故选A.‎ ‎【答案】 A ‎6．(2016·株洲模拟)已知a＞0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝(　　)‎ A. B. C．1 D．2‎ ‎【解析】 如图所示，目标函数z＝2x＋y在点(1，－2a)处取得最小值，2×1－2a＝1，解得a＝.‎ ‎【答案】 A ‎7．(2016·枣庄模拟)已知实数x，y满足约束条件，则ω＝的最小值是(　　)‎ A．－2 B．2‎ C．－1 D．1‎ ‎【解析】 作出不等式组对应的平面区域如图，‎ ω＝的几何意义是区域内的点P(x，y)与定点A(0，－1)所在直线的斜率，‎ 由图象可知当P位于点D(1，0)时，直线AP的斜率最小，此时ω＝的最小值为＝1.故选D.‎ ‎【答案】 D ‎8．(2016·贵阳模拟)已知实数x，y满足则z＝2x－2y－1的取值范围是(　　)‎ A. B．[0，5]‎ C. D. ‎【解析】 画出不等式组所表示的区域，如图中阴影部分所示，‎ 可知2×－2×－1≤z＜2×2－2×(－1)－1，‎ 即z的取值范围是.‎ ‎【答案】 D ‎9．(2016·山西质检)若变量x，y满足则2x＋y的取值范围为________．‎ ‎【解析】 作出满足不等式组的平面区域，如图中阴影部分所示，平移直线2x＋y＝0，‎ 经过点(1，0)时，2x＋y取得最大值2×1＋0＝2，经过点(－1，0)时，2x＋y取得最小值2×(－1)＋0＝－2，所以2x＋y的取值范围为[－2，2]．‎ ‎【答案】 [－2，2]‎ ‎10．(2016·郑州第二次质量预测)已知实数x，y满足设b＝x－2y，若b的最小值为－2，则b的最大值为________．‎ ‎【解析】 画出可行域，如图阴影部分所示．由b＝x－2y得，y＝x－.易知在点(a，a)处b取最小值，故a－2a＝－2，可得a＝2.在点(2，－4)处b取最大值，于是b的最大值为2＋8＝10.‎ ‎【答案】 10‎ B组　专项能力提升 ‎(时间：15分钟)‎ ‎11．(2016·黑龙江哈六中月考)设z＝x＋y，其中实数x，y满足若z的最大值为6，则z的最小值为(　　)‎ A．－3 B．－2‎ C．－1 D．0‎ ‎【解析】 作出不等式组对应的平面区域，‎ 如图所示．‎ 由z＝x＋y，得y＝－x＋z.‎ 平移直线y＝－x＋z，由图象可知当直线y＝－x＋z经过点A时，直线y＝－x＋z在y轴上的截距最大，此时z最大为6，即x＋y＝6.‎ 当直线y＝－x＋z经过点B时，直线y＝－x＋z在y轴上的截距最小，此时z最小．‎ 由得即A(3，3)．‎ ‎∵直线y＝k过点A，∴k＝3.‎ 由得即B(－6，3)．此时z的最小值为－6＋3＝－3，故选A.‎ ‎【答案】 A ‎12．(2016·河北衡水中学四调)设x，y满足不等式组若z＝ax＋y的最大值为2a＋4，最小值为a＋1，则实数a的取值范围为(　　)‎ A．[－1，2] B．[－2，1]‎ C．[－3，－2] D．[－3，1]‎ ‎【解析】 由z＝ax＋y得y＝－ax＋z，直线y＝－ax＋z是斜率为－a，在y轴上的截距为z的直线，作出不等式组对应的平面区域，如图，则A(1，1)，B(2，4)．‎ ‎∵z＝ax＋y的最大值为2a＋4，最小值为a＋1，∴直线z＝ax＋y过点B时，z取得最大值2a＋4，过点A时取得最小值a＋1.‎ 若a＝0，则y＝z，此时满足条件．‎ 若a＞0，则目标函数线的斜率k＝－a＜0，‎ 要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，则目标函数线的斜率满足－a≥kBC＝－1，即0＜a≤1.‎ 若a＜0，则目标函数线的斜率k＝－a＞0，要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，则目标函数线的斜率满足－a≤kAC＝2，即－2≤a＜0.综上，－2≤a≤1，故选B.‎ ‎【答案】 B ‎13．(2016·浙江)在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域中的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|＝(‎ ‎　　)‎ A．2 B．4‎ C．3 D．6‎ ‎【解析】 由不等式组画出可行域，如图中的阴影部分所示．因为直线x＋y－2＝0与直线x＋y＝0平行，所以可行域内的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段的长|AB|即为|CD|.易得C(2，－2)，D(－1，1)，所以|AB|＝|CD|＝＝3.故选C.‎ ‎【答案】 C ‎14．(2016·郑州第一次质量预测)已知点P(x，y)的坐标满足条件那么点P到直线3x－4y－13＝0的距离的最小值为(　　)‎ A. B．2‎ C. D．1‎ ‎【解析】 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线3x－4y－13＝0，结合图形可知，在该平面区域内所有的点中，到直线3x－4y－13＝0的距离最近的点是(1，0)．又点(1，0)到直线3x－4y－13＝0的距离等于＝2，即点P到直线3x－4y－13＝0的距离的最小值为2.‎ ‎【答案】 B ‎15．(2016·江苏)已知实数x，y满足则x2＋y2的取值范围是________．‎ ‎【解析】 画出不等式组表示的可行域如图：‎ 由x－2y＋4＝0及3x－y－3＝0得A(2，3)，由x2＋y2表示可行域内的点(x，y)与点(0，0)的距离的平方可得(x2＋y2)max＝22＋32＝13，(x2＋y2)min＝d2＝＝，其中d表示点(0，0)到直线2x＋y－2＝0的距离，所以x2＋y2的取值范围为.‎ ‎【答案】 ‎16．(2016·山东淄博模拟)电视台应某企业之约播放两套连续剧．其中，连续剧甲每次播放时间为80 min，广告时间为1 min，收视观众为60万；连续剧乙每次播放时间为40 min，广告时间为1 min，收视观众为20万．已知此企业与电视台达成协议，要求电视台每周至少播放6 min广告，而电视台每周播放连续剧的时间不能超过320 min.问两套连续剧各播多少次，才能获得最高的收视率？‎ ‎【解析】 设每周播放连续剧甲x次，播放连续剧乙y次，收视率为z.‎ 则目标函数为z＝60x＋20y，‎ 约束条件为 作出表示的可行域如图．‎ 作出直线y＝－3x并平移，由图可知，当直线过点A时纵截距最大．‎ 解方程组得点A的坐标为(2，4)，满足x∈N，y∈N，所以zmax＝60×2‎ ‎＋20×4＝200.‎ 所以电视台每周应播放连续剧甲2次，播放连续剧乙4次，才能获得最高的收视率．‎