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  • 2021-06-15 发布

2019年高考数学练习题汇总压轴提升练(三)

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压轴提升卷(三) ‎ ‎1.(本题满分12分)在平面直角坐标系中,点F1、F2分别为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线C的离心率为2,点在双曲线C上.不在x轴上的动点P与动点Q关于原点O对称,且四边形PF1QF2的周长为4.‎ ‎(1)求动点P的轨迹方程;‎ ‎(2)在动点P的轨迹上有两个不同的点M(x1,y1)、N(x2,y2),线段MN的中点为G,已知点(x1,x2)在圆x2+y2=2上,求|OG|·|MN|的最大值,并判断此时△OMN的形状.‎ 解:(1)设点F1、F2分别为(-c,0),(c,0)(c>0),‎ 由已知=2,所以c=‎2a,c2=‎4a2,b2=c2-a2=‎3a2,‎ 又因为点在双曲线C上,所以-=1,‎ 则b2-a2=a2b2,即‎3a2-a2=‎3a4,‎ 解得a2=,a=.‎ 所以c=1.‎ 连接PQ,因为OF1=OF2,OP=OQ,所以四边形PF1QF2为平行四边形,‎ 因为四边形PF1QF2的周长为4,‎ 所以|PF2|+|PF1|=2>|F‎1F2|=2.‎ 所以动点P的轨迹是以点F1、F2分别为左、右焦点,‎ 长轴长为2的椭圆(除去左右顶点).‎ 可得动点P的轨迹方程为:+y2=1(y≠0)‎ ‎(2)因为x+x=2,+y=1,+y=1,‎ 所以y+y=1,‎ 所以|OG|·|MN|=|MN|·|OG|=‎ ‎= ‎= ‎≤=.‎ 等号当且仅当3-2x1x2-2y1y2=3+2x1x2+2y1y2,即x1x2+y1y2=0,‎ 所以OM⊥ON,即△OMN为直角三角形 ‎2.(本题满分12分)设函数f(x)=aln(x+1),g(x)=ex-1,其中a∈R,e=2.718 …为自然对数的底数.‎ ‎(1)当x≥0时,f(x)≤g(x)恒成立,求a的取值范围;‎ ‎(2)求证:<<.(参考数据:ln 1.1≈0.095)‎ 解:(1)令H(x)=g(x)-f(x)=ex-1-aln(x+1)(x≥0),则H′(x)=ex-(x≥0),‎ ‎①若a≤1,则≤1≤ex,H′(x)≥0,H(x)在[0,+∞)上单调递增,H(x)≥H(0)=0,‎ 即f(x)≤g(x)在[0,+∞)上恒成立,所以a≤1满足题意;‎ ‎②若a>1,则H′(x)=ex-在[0,+∞)上单调递增,所以H′(x)≥H′(0)=1-a,1-a<0,‎ 又x→+∞时,H′(x)→+∞,所以∃x0∈(0,+∞)使H′(x0)=0,‎ 则H(x)在[0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,‎ 所以当x∈(0,x0)时,H(x)<H(0)=0,即当x∈(0,x0)时,f(x)>g(x),不满足题意,舍去;‎ 综合①②,知a的取值范围为(-∞,1].‎ ‎(2)由(1)知,当a=1时,ex>1+ln(x+1)对x>0恒成立,‎ 令x=,则e>1+ln 1.1≈1.095=,即>;‎ 由(1)知,当a>1时,则H(x)在[0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,‎ 则H(x0)<H(0)=0,即ex0-1-aln(x0+1)<0,又H′(x0)=0,‎ 即ex0=,‎ 令a=e>1,即x0=,则e<≈,‎ 故有<<.‎