2019年高考数学练习题汇总解答题通关练 7 2页

‎7.坐标系与参数方程 ‎1.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：(α为参数)，在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcos＝－1.‎ ‎(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)过点M(－1，0)且与直线l平行的直线l1交C于A，B两点，求点M到A，B两点的距离之积.‎ 解　(1)曲线C化为普通方程为＋y2＝1，‎ 由ρcos＝－1，得ρcos θ－ρsin θ＝－2，‎ 所以直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0.‎ ‎(2)直线l1的参数方程为(t为参数)，‎ 代入＋y2＝1化简得，2t2－t－2＝0，‎ 设A，B两点所对应的参数分别为t1，t2，‎ 则t1t2＝－1，‎ 所以|MA|·|MB|＝|t1t2|＝1.‎ ‎2.在平面直角坐标系xOy中，已知直线C1：(t是参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C2：ρ＝8sin θ.‎ ‎(1)求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)判断直线C1与曲线C2的位置关系，若相交，求出弦长.‎ 解　(1)由C1：(t是参数)消去t得x＋y－3＝0，‎ 所以直线C1的普通方程为x＋y－3＝0.‎ 把ρ＝8sin θ的两边同时乘ρ，得ρ2＝8ρsin θ，‎ 因为x2＋y2＝ρ2，y＝ρsin θ，‎ 所以x2＋y2＝8y，即x2＋(y－4)2＝16，‎ 所以曲线C2的直角坐标方程为x2＋(y－4)2＝16. ‎ ‎(2)由(1)知，曲线C2：x2＋(y－4)2＝16是圆心坐标为(0，4)，半径为4的圆，‎ 所以圆心(0，4)到直线x＋y－3＝0的距离d＝＝<4，‎ 所以直线C1与曲线C2相交，其弦长为2＝.‎ ‎3.(2018·河北省武邑中学期中)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)，‎ 以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ，曲线C3的极坐标方程为θ＝(ρ>0).‎ ‎(1)求曲线C1的极坐标方程和C3的直角坐标方程；‎ ‎(2)设C3分别交C1，C2于点P，Q，求△C1PQ的面积.‎ 解　(1)曲线C1的普通方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0，‎ 所以C1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＝0，即ρ＝4cos θ.‎ 曲线C3的直角坐标方程为y＝x(x>0).‎ ‎(2)依题意，设点P，Q的坐标分别为，，‎ 将θ＝代入ρ＝4cos θ，得ρ1＝2，‎ 将θ＝代入ρ＝2sin θ，得ρ2＝1，‎ 所以|PQ|＝|ρ1－ρ2|＝2－1，依题意得，点C1到曲线θ＝的距离为d＝|OC1|sin ＝1，‎ 所以＝|PQ|·d＝(2－1)＝－.‎ ‎4.已知曲线C1的参数方程是(θ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝4sin θ.‎ ‎(1)求曲线C1与C2交点的平面直角坐标；‎ ‎(2)A，B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△AOB的面积(O为坐标原点).‎ 解　(1)由得 所以(x＋2)2＋y2＝4，‎ 又由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，得x2＋y2＝4y，把两式作差得，y＝－x，代入x2＋y2＝4y得交点坐标为(0，0)，(－2，2).‎ ‎(2)如图，‎ 由平面几何知识可知，当A，C1，C2，B依次排列且共线时，|AB|最大，‎ 此时|AB|＝2＋4，O到AB的距离为，‎ ‎∴△OAB的面积为S＝(2＋4)·＝2＋2.‎