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- 2021-06-15 发布
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(一)三角函数与解三角形
1.(2018·南京模拟)在平面直角坐标系xOy中,锐角α,β的顶点为坐标原点O,始边为x轴的正半轴,终边与单位圆O的交点分别为P,Q.已知点P的横坐标为,点Q的纵坐标为.
(1)求cos 2α的值;
(2)求2α-β的值.
解 (1)因为点P的横坐标为,P在单位圆上,α为锐角,
所以cos α=,
所以cos 2α=2cos2α-1=.
(2)因为点Q的纵坐标为,
所以sin β=.
又因为β为锐角,所以cos β=.
因为cos α=,且α为锐角,
所以sin α=,
因此sin 2α=2sin αcos α=,
所以sin(2α-β)=sin 2αcos β-cos 2αsin β
= ×-×=.
因为α为锐角,所以0<2α<π.
又cos 2α>0,所以0<2α<,
又β为锐角,所以-<2α-β<,
所以2α-β=.
2.已知函数f(x)=sin2x+2sin xcos x+sin·sin,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期和值域;
(2)若x=x0为f(x)的一个零点,求sin 2x0的值.
解 (1)易得f(x)=sin2x+sin 2x+(sin2x-cos2x)
=+sin 2x-
=sin 2x-cos 2x+=2sin+,
所以f(x)的最小正周期为π,值域为.
(2)由f(x0)=2sin+=0,得
sin=-<0,
又由0≤x0≤,得-≤2x0-≤,
所以-≤2x0-<0,故cos=,
此时sin 2x0=sin
=sincos +cossin
=-×+×=.
3.(2018·江苏省泰州中学月考)已知f(x)=sin-cos x.
(1)求f(x)在上的最小值;
(2)已知a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C的对边,b=5,cos A=,且f(B)=1,求a的长.
解 (1)f(x)=-cos x
=sin x+cos x=sin.
∵0≤x≤π,∴≤x+≤,
∴当x=π时,f(x)min=-.
(2)∵当x+=2kπ+,k∈Z时,f(x)有最大值1,
又f(B)=1,B是三角形的内角,∴B=,
∵cos A=,A是三角形的内角,∴sin A=.
由=,得a=8.
4.已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin-cos C=.
(1)求角C的大小;
(2)若c=2,求当△ABC的周长最大时三角形的面积.
解 (1)sin-cos C=sin C+cos C-cos C
=sin C-cos C=sin,
所以sin=,
因为C∈(0,π),所以C-∈,
所以C-=,即C=.
(2)因为C=,c=2,由余弦定理得,
(2)2=a2+b2-2abcos C,即12=(a+b)2-3ab,
因为ab≤2,所以(a+b)2≤48,0
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