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- 2021-06-15 发布
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10＋7满分练(4)
1．已知为纯虚数，a∈R，则(a＋i)i2 019的虚部为( )
A．－1 B．1
C．－2 D．2
答案 C
解析 ∵a∈R，且复数z＝＝＝＝＋i为纯虚数，∴a＝2，
∴(a＋i)i2 019＝(2＋i)·(－i)＝1－2i，
∴(a＋i)i2 019的虚部为－2.
2．已知全集U＝R，集合A＝{x||x－1|<1}，B＝，则A∩(∁UB)等于( )
A．{x|10”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 当存在正数λ，使得m＝λn时，向量m，n为同向共线向量，所以m·n>0
，充分性成立；当m·n>0时，得到向量m，n的夹角小于90°，不一定得到向量m，n为同向共线向量，即不一定得到存在正数λ，使得m＝λn，所以必要性不成立．综上所述，“存在正数λ，使得m＝λn”是“m·n>0”的充分不必要条件，故选A.
5．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为1，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个三角形，这些三角形的面积之和为( )
A．1 B. C. D.
答案 C
解析 由三视图得该几何体为一个底面是直角边长为1的等腰直角三角形，高为1的直三棱柱和一个底面是直角边长为1的等腰直角三角形，高为1的三棱锥的组合体，则其表面中共有2个三角形，其中1个是直角边长为1的等腰直角三角形，1个是边长为的等边三角形，则这2个三角形的面积之和为×1×1＋×()2＝，故选C.
6．甲、乙、丙、丁四个人到重庆旅游，朝天门、解放碑、瓷器口三个景点，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到瓷器口的方案有( )
A．60种 B．54种 C．48种 D．24种
答案 D
解析 分两类求解．①甲单独一人时，则甲只能去另外两个景点中的一个，其余三人分为两组然后分别去剩余的两个景点，故方案有CCA＝12(种)；②甲与另外一人为一组到除瓷器口之外的两个景点中的一个，其余两人各去一个景点，故方案有CCA＝12(种)．由分类加法计数原理，可得总的方案数为24.
7．已知函数f(x)＝3sin(3x＋φ)，x∈[0，π]，则y＝f(x)的图象与直线y＝2的交点最多有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
答案 C
解析 易得函数f(x)的周期为T＝，在平面直角坐标系内画出函数f(x)的图象，则要使函数
f(x)在[0，π]内与直线y＝2的交点个数最多，则应有函数f(x)的图象经过点(0,2)，对于图1，易得点A的横坐标为xA＝，点A关于点B的对称点是C，点C关于对称轴l的对称点D的横坐标为π，则由图易得此时函数f(x)的图象与直线y＝2在[0，π]内有4个交点．
图1
对于图2，易得点E的横坐标xE＝，EF>＝，则由图易得此时函数f(x)的图象与直线y＝2在[0，π]内有3个交点．
图2
综上所述，函数f(x)的图象与直线y＝2的交点最多有4个，故选C.
8．抛物线y2＝4x的焦点为F，其准线为直线l，过点M(4,4)作直线l的垂线，垂足为H，则∠FMH的角平分线所在直线的斜率是( )
A．1 B.
C. D.
答案 B
解析 由题意可知点M在抛物线上，则|MH|＝|MF|，∴△MHF为等腰三角形，H(－1,4)，F(1,0)，
∴线段HF的中点为D(0,2)，且MD平分∠HMF，
∴kMD＝＝，故选B.
9．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，过棱C1D1上一点的直线分别交直线AA1，BC于点M，N，则线段MN的最小长度为( )
A．2 B．4
C. D．3
答案 D
解析 如图，在棱C1D1上任取一点P，则点P与直线BC确定平面PBC，故平面PBC交直线AA1于点M，直线MP交直线BC于点N，设AM＝x，BN＝y，则x>1，y>1，连接MB交A1B1于点Q，连接PQ，根据面面平行的性质定理可得PQ∥BN，由三角形相似，得＝，即x＋y＝xy，所以＋＝1，所以|MN|2＝x2＋y2＋1＝2(x2＋y2)＋1＝＋＋＋3≥9，当且仅当x＝y＝2时取等号，即线段MN的最小长度为3，故选D.
10．已知函数f(x)＝2x－e2x(e为自然对数的底数)，g(x)＝mx＋1(m∈R)，若对于任意的x1∈[－1,1]，总存在x0∈[－1,1]，使得g(x0)＝f(x1)成立，则实数m的取值范围为( )
A．(－∞，1－e2]∪[e2－1，＋∞)
B．[1－e2，e2－1]
C．(－∞，e－2－1]∪[1－e－2，＋∞)
D．[e－2－1,1－e－2]
答案 A
解析 ∵f′(x)＝2－2e2x，∴f(x)在区间[－1,0)上为增函数，在区间[0,1]上为减函数．
∵f(－1)－f(1)＝(－2－e－2)－(2－e2)＝e2－e－2－4>0，∴f(－1)>f(1)，又f(0)＝－1，则函数f(x)在区间[－1,1]上的值域为[2－e2，－1]．
当m>0时，函数g(x)在区间[－1,1]上的值域为[－m＋1，m＋1]．
依题意可知，得m≥e2－1，
当m＝0时，函数g(x)在区间[－1,1]上的值域为{1}，不符合题意；
当m<0时，函数g(x)在区间[－1,1]上的值域为[m＋1，－m＋1]．
依题意可知，得m≤1－e2.
综上可知，实数m的取值范围为(－∞，1－e2]∪[e2－1，＋∞)．故选A.
11．计算－()－2＝________，(log32＋8)·log49＝________.
答案 － －2
解析 －()－2＝－＝－；(log32＋8)·log49＝log3·＝log3＝－2.
12．随机变量X的分布列如表所示，则E(X)＝_____，若Y＝2X＋1，则E(Y)＝_____.
X
－2
0
1
P
答案 － －
解析 由表可知，E(X)＝－2×＋0×＋1×
＝－.若Y＝2X＋1，则E(Y)＝2E(X)＋1＝－＋1＝－.
13．已知x，y满足约束条件x，y∈R，则x2＋y2的最大值为_______．
答案 8
解析 画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)．x2＋y2表示可行域内的点(x，y)到原点距离的平方．
由图形可得，可行域内的点A或点B到原点的距离最大，且A(2，－2)，B(2,2)，又OA＝OB＝2，
∴(x2＋y2)max＝8.
14．已知多项式(x2－2x＋2)x7＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9，则a1＝________，a0＋a1＋a4＋a5＋a8＋a9＝________.
答案 7 128
解析 由右式知(x2－2x＋2)x7按t＝x－1展开，由二项式定理得，当k＝0,1时，(t2＋1)(1＋t)7的通项为Ctk；当k＝2,3，…，7时，(t2＋1)·(1＋t)7的通项为(C＋C)tk；当k＝8,9时，(t2＋1)·(1＋t)7的通项为Ctk.故a1＝7，a0＋a1＋a4＋a5＋a8＋a9＝C＋C＋…＋C＋C＝27＝128.
15．在△ABC中，AB＝2AC，点D为角A的平分线上一点，且AD＝3，DC⊥AD.若BD＝CD，则∠BAC＝______，△BCD的面积是________．
答案 60°
解析 如图，设AC＝x，CD＝y，∠CAD＝θ，则在Rt△ACD中，y＝3tan θ，x＝，在△ABD
中，由余弦定理得4x2＋9－12xcos θ＝7y2，解得θ＝30°，故∠BAC＝2θ＝60°.AC＝x＝2，AB＝2x＝4，根据余弦定理可得BC＝6，因为BC2＋AC2＝AB2，所以∠ACB＝90°，作DE⊥AC交AC于点E，则EC＝，所以△BCD的面积为S＝BC·CE＝.
16．若有关于x的不等式ex(x2＋ax＋a)≤ea在[a，＋∞)上有解，则正数a的取值范围是________．
答案
解析 令f(x)＝ex(x2＋ax＋a)，x∈[a，＋∞)，不等式ex(x2＋ax＋a)≤ea在[a，＋∞)上有解，即f(x)min≤ea.
f′(x)＝ex[x2＋(a＋2)x＋2a]＝ex(x＋2)(x＋a)，a>0，则f′(x)>0在[a，＋∞)上恒成立，则f(x)在[a，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(a)＝ea(2a2＋a)≤ea，所以2a2＋a－1≤0，解得－1≤a≤，又a>0，则0
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