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- 2021-06-15 发布
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小题提速练(七)
一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.已知集合A={-2,0,2},B={x|x2+x-2=0},则A∪B=( )
A.∅ B.{-2}
C.{0,-1,-2} D.{-2,0,1,2}
解析:选D.由x2+x-2=0,解得x=-2或1,所以B={-2,1},A∪B={-2,0,1,2},故选D.
2.设i是虚数单位,z是复数z的共轭复数,若(1+i)z=2,则|z|=( )
A.1 B.
C.2 D.2
解析:选B.由(1+i)z=2得z==1-i,
∴z=1+i,|z|=|z|=,故选B.
3.设a,b表示不同的直线,α,β,γ表示不同的平面,则下列命题正确的是( )
A.若a⊥α,且a⊥b,则b∥α B.若γ⊥α,且γ⊥β,则α∥β
C.若γ∥α,且γ∥β,则α∥β D.若a∥α,且a∥β,则α∥β
解析:选C.若a⊥α,且a⊥b,则b∥α或b⊂α,故A不对;若r⊥α,且r⊥β,则α∥β或α,β相交,故B不对;若a∥α,且a∥β,则α∥β或α,β相交,故D不对;根据平面平行的传递性可知,C对.故选C.
4.已知角α满足2cos 2α=cos≠0,则sin 2α=( )
A. B.-
C. D.-
解析:选D.解法一:由2cos 2α=cos得,
2sin=cos,4sincos=cos,因为cos≠0,所以sin=,sin 2α=-cos=-1+2sin2=-1+=-,故选D.
解法二:由2cos 2α=cos可得,2(cos α-sin α)(cos α+sin α)=(cos α-sin α).因为cos≠0,所以cos α-sin α≠0,所以cos α+sin α=,将此式两边平方得1+sin
2α=,所以sin 2α=-,故选D.
5.已知函数f(x)=x-,若a=f(log26),b=-f,c=f(30.5),则a,b,c的大小关系为( )
A.c<b<a B.b<a<c
C.c<a<b D.a<b<c
解析:选A.因为f(x)=x-,所以f(x)为奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,
所以b=-f=f=f,且log26>log2>2>30.5,结合函数f(x)的单调性可知a>b>c,故选A.
6.一个四面体的三视图为三个如图所示的全等的等腰直角三角形,且直角边长都等于1,则该四面体的表面积是( )
A.2 B.
C.3+ D.
解析:选B.由三视图可知,该几何体是一个底面为直角边长为1的等腰直角三角形,直线顶点处的棱垂直于底面且长为1的三棱锥,即三条棱都等于1且两两垂直相交于一点的三棱锥,所以四个面中有三个为全等的等腰直角三角形,第四个面为边长等于的正三角形,所以该四面体的表面积等于3××1×1+×()2=,故选B.
7.已知am=2,an=3(a>0,a≠1),则loga12=( )
A. B.2mn
C.2m+n D.m+n
解析:选C.解法一:由am=2,an=3,则loga2=m,loga3=n,所以loga12=loga(4×3)=loga22+loga3=2loga2+loga3=2m+n.故选C.
解法二:由am=2,an=3可知,a2man=12,即a2m+n=12,loga12=logaa2m+n=2m+n.故选C.
8.已知f(x)=x5+ax3+bx+1,且f(-1)=8,则f(1)=( )
A.6 B.-6
C.8 D.-8
解析:选B.令g(x)=x5+ax3+bx,易知g(x)是R上的奇函数,
∴g(-1)=-g(1),又f(x)=g(x)+1,∴f(-1)=g(-1)+1,
∴g(-1)=7,∴g(1)=-7,f(1)=g(1)+1=-7+1=-6.故选B.
9.设变量x,y满足约束条件则目标函数z=的取值范围为( )
A.(-∞,-2)∪(2,+∞) B.[-1,1]
C.(-∞,-1]∪[1,+∞) D.(-2,2)
解析:选C.作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,z=表示可行域内的点与点(4,-4)连线的斜率,易求得临界位置的斜率为-1,1,由图易知z的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞).
10.某种最新智能手机市场价为每台6 000元,若一次采购数量x达到某数值,还可享受折扣.如图为某位采购商根据折扣情况设计的算法的程序框图,若输出的y=513 000元,则该采购商一次采购该智能手机的台数为( )
A.80 B.85
C.90 D.100
解析:选C.依题意可得
y=
当6 000x=513 000时,解得x=85.5,不合题意,舍去;当6 000×0.95x=513 000时,解得x=90;当6 000×0.85x=513 000时,解得x≈100.6,不合题意,舍去.故该采购商一次采购该智能手机90台.故选C.
11.已知三棱锥PABC中,AB=BC,AB⊥BC,点P在底面△ABC上的射影为AC的中点,若该三棱锥的体积为,那么当该三棱锥的外接球体积最小时,该三棱锥的高为( )
A.2 B.3
C.2 D.3
解析:选D.设三棱锥PABC外接球的球心为O,△ABC的外接圆圆心为O1,又AB⊥BC,所以O1为AC的中点.连接PO1,∵点P在底面△ABC上的射影为AC的中点,∴PO1⊥平面ABC.
∴P,O,O1三点共线.连接OB,O1B,如图.由已知三棱锥PABC的底面△ABC为等腰直角三角形,设AB=a,三棱锥高PO1=h,∴三棱锥PABC的体积V=×a2h=,即a2=,设OB=R,又OB2=BO+OO,∴R2=+(h-R)2,∴R==+,由球O的体积V球=πR3知,当R最小时,其外接球体积最小,由R=++≥,当且仅当==,即h=3时取等号,因而三棱锥PABC的高为3时,外接球体积最小,故选D.
12.已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=,则椭圆和双曲线的离心率之积的范围是( )
A.(1,+∞) B.(0,1)
C.(0,) D.(,+∞)
解析:选A.解法一:不妨设椭圆:+=1(a1>b1>0),离心率为e1,半焦距为c,满足c2=a-b;
双曲线:-=1(a2>0,b2>0),离心率为e2,半焦距为c,满足c2=a+b.不妨设P是它们在第一象限的公共点,点F1,F2分别为它们的左、右焦点,则由椭圆与双曲线的定义得:
eq lc{(avs4alco1(|PF1|+|PF2|=2a1,,|PF1|-|PF2|=2a2))⇒
在△F1PF2中,由余弦定理可得=-,整理得4c2=3a+a,即3+=4,即3+=4,则=4-3,由得,令t=,则t==∈,
∴·=·=-3t2+4t=-3+∈(0,1),ee∈(1,+∞),即e1e2的取值范围为(1,+∞).
解法二:不妨设椭圆+=1(a1>b1>0),离心率为e1,半焦距为c,满足c2=a-b;双曲线-=1(a2>0,b2>0),离心率为e2,半焦距为c,满足c2=a+b,不妨设P是它们在第一象限的公共点,点F1,F2分别为它们的左、右焦点,|PF1|=m,|PF2|=n,则m>n>0,在△F1PF2中,由余弦定理可得m2+n2+mn=4c2,则由椭圆与双曲线的定义得∴·=====
1-,令t=+2,则t>3,
∴·=1-=1-,
∵函数f(t)=1-在(3,+∞)上单调递增,
∴·∈(0,1),即e1e2的取值范围为(1,+∞).
二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.)
13.设向量a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m).若(a+c)⊥b,则|a|=________.
解析:由题意得,a+c=(3,3m),由(a+c)⊥b得3(m+1)+3m=0,所以m=-,a=(1,-1),所以|a|=.
答案:
14.某老师在一个盒子里装有5张分别标有数字1,2,3,4,5
的卡片,现让某孩子从盒子里任取2张卡片,则他取出的2张卡片上的数字之积是偶数的概率为________.
解析:从盒子里任取2张卡片的所有基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10个,其中2张卡片上的数字之积是偶数的基本事件有(1,2),(1,4),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(4,5),共7个,所以取出的2张卡片上的数字之积是偶数的概率P=.
答案:
15.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为π,将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后,所得图象关于直线x=-对称,则f(x)=________________.
解析:解法一:由函数f(x)的最小正周期为π可知ω=2,将f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移个单位长度后得到g(x)=sin的图象,
又g(x)=sin的图象关于直线x=-对称,所以2×++φ=kπ+,k∈Z,所以φ=kπ+,k∈Z.因为0<φ<π,所以φ=,所以f(x)=sin.
解法二:由函数f(x)的最小正周期为π可知ω=2,将f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移个单位长度后得到g(x)=sin的图象,
又g(x)=sin的图象关于直线x=-对称,所以g=g,即sin φ=sin.因为0<φ<π,所以φ=,f(x)=sin.
答案:sin
16.已知点M(-4,0),椭圆+=1(0<b<2)的左焦点为F,过F作直线l(l的斜率存在)交椭圆于A,B两点.若直线MF恰好平分∠AMB,则椭圆的离心率为________.
解析:如图,作点B关于x轴的对称点C,则点C在直线AM上.设l:y=k(x+c),A(x1,y1),B(x2,y2),联立得消去y得(4k2+b2)x2+8k2cx+4k2c2-4b2=0,则x1+x2=,x1x2=,由角平分线的性质定理知=,所以=(*),可得2x1x2+(4+c)(x1+x2)+8c=0,故8b2(c-1)=0,所以c=1,故离心率e==.
答案:
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