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- 2021-06-16 发布
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章末综合测评(一) 计数原理
(时间 120 分钟,满分 150 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个
选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2016·银川一中检测)C910+C 810等于( )
A.45 B.55
C.65 D.以上都不对
【解析】 C910+C810=C110+C210=55,故选 B.
【答案】 B
2.5 位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则
不同的报名方法共有( )
A.10 种 B.20 种
C.25 种 D.32 种
【解析】 5 位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小
组,则不同的报名方法共有 25=32 种,故选 D.
【答案】 D
3.在(x2+3x+2)5 的展开式中 x 的系数为( )
A.140 B.240
C.360 D.800
【解析】 由(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5,知(x+1)5 的展开式中 x 的系数为
C45,常数项为 1,(x+2)5 的展开式中 x 的系数为 C45·24,常数项为 25.因此原式中 x
的系数为 C45·25+C45·24=240.
【答案】 B
4.某外商计划在 4 个候选城市投资 3 个不同的项目,且在同一个城市投资的
项目不超过 2 个,则该外商不同的投资方案有( )
A.16 种 B.36 种
C.42 种 D.60 种
【解析】 分两类.第一类:同一城市只有一个项目的有 A34=24 种;第二类:
一个城市 2 个项目,另一个城市 1 个项目,有 C23·C24·A22=36 种,则共有 36+24=
60 种.
【答案】 D
5.(2016·广州高二检测)5 人站成一排,甲乙之间恰有一个人的站法有( )
A.18 种 B.24 种
C.36 种 D.48 种
【解析】 首先把除甲乙之外的三人中随机抽出一人放在甲乙之间,有 3 种
可能,甲乙之间的人选出后,甲乙的位置可以互换,故甲乙的位置有 2 种可能,
最后,把甲乙及其中间的那个人看作一个整体,与剩下的两个人全排列是 A33=6,
所以 3×2×6=36(种),故答案为 C.
【答案】 C
6.关于(a-b)10 的说法,错误的是( )
A.展开式中的二项式系数之和为 1 024
B.展开式中第 6 项的二项式系数最大
C.展开式中第 5 项和第 7 项的二项式系数最大
D.展开式中第 6 项的系数最小
【解析】 由二项式系数的性质知,二项式系数之和为 210=1 024,故 A 正确;
当 n 为偶数时,二项式系数最大的项是中间一项,故 B 正确,C 错误;D 也是正
确的,因为展开式中第 6 项的系数是负数且其绝对值最大,所以是系数中最小的.
【答案】 C
7.
图 1
(2016·潍坊高二检测)如图 1,用五种不同的颜色给图中的 A,B,C,D,E,F
六个不同的点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同
的颜色,则不同的涂色方法共( )
A.1 240 种 B.360 种
C.1 920 种 D.264 种
【解析】 由于 A 和 E 或 F 可以同色,B 和 D 或 F 可以同色,C 和 D 或 E 可
以同色,所以当五种颜色都选择时,选法有 C13C12A 55种;当五种颜色选择四种时,
选法有 C45C13×3×A 44种;当五种颜色选择三种时,选法有 C35×2×A 33种,所以不
同的涂色方法共 C13C12A55+C45C13×3×A44+C35×2×A33=1 920.故选 C.
【答案】 C
8.某计算机商店有 6 台不同的品牌机和 5 台不同的兼容机,从中选购 5 台,
且至少有品牌机和兼容机各 2 台,则不同的选购方法有( )【导学号:97270029】
A.1 050 种 B.700 种
C.350 种 D.200 种
【解析】 分两类:(1)从 6 台不同的品牌机中选 3 台和从 5 台不同的兼容机
中选 2 台;
(2)从 6 台不同的品牌机中选 2 台和从 5 台不同的兼容机中选 3 台.
所以不同的选购方法有 C36C25+C26C35=350 种.
【答案】 C
9.设(1-3x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|的值为
( )
A.29 B.49 C.39 D.59
【解析】 由于 a0,a2,a4,a6,a8 为正,a1,a3,a5,a7,a9 为负,故令 x=
-1,得(1+3)9=a0-a1+a2-a3+…+a8-a9=|a0|+|a1|+…+|a9|,故选 B.
【答案】 B
10.(2016·山西大学附中月考)如果一条直线与一个平面平行,那么称此直线
与平面构成一个“平行线面组”,在一个长方体中,由两个顶点确定的直线与含
有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是( )
A.60 B.48
C.36 D.24
【解析】 在长方体中,对每一条棱都有两个面(侧面或底面)和一个对角面(对
不在同一个面上的一对互相平行的棱的截面)与它平行,可构成 3×12=36 个“平
行线面组”,对每一条面对角线,都有一个面与它平行,可组成 12 个“平行线面
组”,所以“平行线面组”的个数为 36+12=48,故选 B.
【答案】 B
11.(2016·吉林一中高二期末)某同学忘记了自己的 QQ 号的后六位,但记得
QQ 号后六位是由一个 1,一个 2,两个 5 和两个 8 组成的,于是用这六个数随意
排成一个六位数,输入电脑尝试,那么他找到自己的 QQ 号最多尝试次数为( )
A.96 B.180
C.360 D.720
【解析】 由这 6 个数字组成的六位数个数为 A66
A22A22
=180,即最多尝试次数为
180.故选 B.
【答案】 B
12.设(1+x)n=a0+a1x+…+anxn,若 a1+a2+…+an=63,则展开式中系数
最大项是( )
A.15x3 B.20x3
C.21x3 D.35x3
【解析】 令 x=0,得 a0=1,
再令 x=1,得 2n=64,所以 n=6,
故展开式中系数最大项是
T4=C36x3=20x3.故选 B.
【答案】 B
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在题中的横线
上)
13.某科技小组有女同学 2 名、男同学 x 名,现从中选出 3 名去参加展览.若
恰有 1 名女生入选时的不同选法有 20 种,则该科技小组中男生的人数为________.
【解析】 由题意得 C12·C2x=20,解得 x=5.
【答案】 5
14.(1.05)6 的计算结果精确到 0.01 的近似值是________.
【解析】 (1.05)6=(1+0.05)6=C06+C16×0.05+C26×0.052+C36×0.053+…=1
+0.3+0.037 5+0.002 5+…≈1.34.
【答案】 1.34
15.(2015·山东高考)观察下列各式:
C01=40;
C03+C13=41;
C05+C15+C25=42;
C07+C17+C27+C37=43;
……
照此规律,当 n∈N*时,
C02n-1+C12n-1+C22n-1+…+Cn-12n-1=________.
【解析】 观察每行等式的特点,每行等式的右端都是幂的形式,底数均为 4,
指数与等式左端最后一个组合数的上标相等,故有 C02n-1+C12n-1+C22n-1+…+Cn-12n-1
=4n-1.
【答案】 4n-1
16.(2014·安徽高考)设 a≠0,n 是大于 1 的自然数, 1+x
a n 的展开式为 a0+
a1x+a2x2+…+anxn.若点 Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如图 2 所示,则 a=________.
图 2
【解析】 由题意知 A0(0,1),A1(1,3),A2(2,4).
故 a0=1,a1=3,a2=4.
由 1+x
a n 的展开式的通项公式知 Tr+1=Crn
x
a r(r=0,1,2,…,n).故C1n
a
=3,C2n
a2
=4,解得 a=3.
【答案】 3
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤)
17.(本小题满分 10 分)已知
Cxn=C2xn ,
Cx+1n =11
3 Cx-1n , 试求 x,n 的值. 【导学号:
97270030】
【解】 ∵Cxn=Cn-xn =C2xn ,∴n-x=2x 或 x=2x(舍去),∴n=3x.
由 Cx+1n =11
3 Cx-1n ,得
n!
x+1!n-x-1!
=11
3 · n!
x-1!n-x+1!
,
整理得
3(x-1)!(n-x+1)!=11(x+1)!(n-x-1)!,
3(n-x+1)(n-x)=11(x+1)x.
将 n=3x 代入,整理得 6(2x+1)=11(x+1),
∴x=5,n=3x=15.
18.(本小题满分 12 分)利用二项式定理证明:49n+16n-1(n∈N*)能被 16 整
除.
【证明】 49n+16n-1=(48+1)n+16n-1
=C0n·48n+C1n·48n-1+…+Cn-1n ·48+Cnn+16n-1
=16(C0n·3×48n-1+C1n·3×48n-2+…+Cn-1n ·3+n).
所以 49n+16n-1 能被 16 整除.
19.(本小题满分 12 分)一个口袋内有 4 个不同的红球,6 个不同的白球,
(1)从中任取 4 个球,红球的个数不比白球少的取法有多少种?
(2)若取一个红球记 2 分,取一个白球记 1 分,从中任取 5 个球,使总分不少
于 7 分的取法有多少种?
【解】 (1)将取出 4 个球分成三类情况:
①取 4 个红球,没有白球,有 C 44种;
②取 3 个红球 1 个白球,有 C34C 16种;
③取 2 个红球 2 个白球,有 C24C 26种,
故有 C44+C34C16+C24C26=115 种.
(2)设取 x 个红球,y 个白球,
则 x+y=5,0≤x≤4,
2x+y≥7,0≤y≤6,
故 x=2,
y=3
或 x=3,
y=2
或 x=4,
y=1.
因此,符合题意的取法共有 C24C36+C34C26+C44C16=186 种.
20.(本小题满分 12 分)设(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,求下列各式的
值:
(1)a0+a1+a2+…+a10;
(2)a6.
【解】 (1)令 x=1,得 a0+a1+a2+…+a10=(2-1)10=1.
(2)a6 即为含 x6 项的系数,Tr+1=Cr10(2x)10-r·(-1)r=Cr10(-1)r210-r·x10-r,所以当
r=4 时,T5=C410(-1)426x6=13 440x6,即 a6=13 440.
21.(本小题满分 12 分)有 3 名男生、4 名女生,在下列不同条件下,求不同的
排列方法总数.
(1)排成前后两排,前排 3 人,后排 4 人;
(2)全体站成一排,甲不站排头也不站排尾;
(3)全体站成一排,女生必须站在一起;
(4)全体站成一排,男生互不相邻.
【解】 (1)共有 A77=5 040 种方法.
(2)甲为特殊元素.先排甲,有 5 种方法,其余 6 人有 A 66种方法,故共有 5×A66
=3 600 种方法.
(3)(捆绑法)将女生看成一个整体,与 3 名男生在一起进行全排列,有 A 44种方
法,再将 4 名女生进行全排列,有 A 44种方法,故共有 A44×A44=576 种方法.
(4)(插空法)男生不相邻,而女生不做要求,所以应先排女生,有 A 44种方法,
再在女生之间及首尾空出的 5 个空位中任选 3 个空位排男生,有 A 35种方法,故共
有 A44×A35=1 440 种方法.
22.(本小题满分 12 分)已知集合 A={x|1
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