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- 2021-06-16 发布
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第8讲 函数与方程
一、选择题
1.“a<-2”是“函数f(x)=ax+3在区间[-1,2]上存在零点x0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 当a<-2时,函数f(x)=ax+3在区间[-1,2]上单调递减,此时
f(-1)=3-a>0,f(2)=3+2a<0,所以函数f(x)=ax+3在区间[-1,2]上存在零点x0;当函数f(x)=ax+3在区间[-1,2]上存在零点x0时,
有f(-1)f(2)<0,即2a2-3a-9>0,
解得a>3或a<-.
答案 A
2.下列函数图像与x轴均有公共点,其中能用二分法求零点的是( )
解析 能用二分法求零点的函数必须在含零点的区间(a,b)内连续,并且有f(a)·f(b)<0.A、B、D中函数不符合.
答案 C
3.函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是 ( ).
A.(1,3) B.(1,2)
C.(0,3) D.(0,2)
解析 由条件可知f(1)f(2)<0,即(2-2-a)(4-1-a)<0,即a(a-3)<0,解之得00可得其中一个零点x0∈______,第二次应计算________.
解析 ∵f(x)=x3+3x-1是R上的连续函数,且f(0)<0,f(0.5)>0,则f(x)在x∈(0,0.5)上存在零点,且第二次验证时需验证f(0.25)的符号.
答案 (0,0.5) f(0.25)
8.函数f(x)=则函数y=f[f(x)]+1的所有零点所构成的集合为________.
解析 本题即求方程f[f(x)]=-1的所有根的集合,先解方程f(t)=-1,即或得t=-2或t=.再解方程f(x)=-2和f(x)=.
即或和或
得x=-3或x=和x=-或x=.
答案
9.已知函数f(x)=ex-2x+a有零点,则a的取值范围是________.
解析 由原函数有零点,可将问题转化为方程ex-2x+a=0有解问题,即方程a=2x-ex有解.令函数g(x)=2x-ex,则g′(x)=2-ex,令g′(x)=0,得x=ln 2,所以g(x)在(-∞,ln 2)上是增函数,在(ln 2,+∞)上是减函数,所以g(x)的最大值为:g(ln 2)=2ln 2-2.因此,a的取值范围就是函数g(x)的值域,所以,a∈(-∞,2ln 2-2].
答案 (-∞,2ln 2-2]
10.若直角坐标平面内两点P,Q满足条件:①P、Q都在函数f(x)的图象上;②
P、Q关于原点对称,则称点对(P、Q)是函数f(x)的一个“友好点对”(点对(P、Q)与点对(Q,P)看作同一个“友好点对”).已知函数f(x)=则f(x)的“友好点对”的个数是________.
解析 设P(x,y)、Q(-x,-y)(x>0)为函数f(x)的“友好点对”,则y=,-y=2(-x)2+4(-x)+1=2x2-4x+1,∴+2x2-4x+1=0,在同一坐标系中作函数y1=、y2=-2x2+4x-1的图象,y1、y2的图象有两个交点,所以f(x)有2个“友好点对”,故填2.
答案 2
三、解答题
11.设函数f(x)=(x>0).
(1)作出函数f(x)的图象;
(2)当00).
(1)若g(x)=m有零点,求m的取值范围;
(2)确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.
解 (1)法一:∵g(x)=x+≥2=2e,
等号成立的条件是x=e,
故g(x)的值域是[2e,+∞),
因而只需m≥2e,则g(x)=m就有零点.
法二:作出g(x)=x+(x>0)的大致图象如图:
可知若使g(x)=m有零点,
则只需m≥2e.
法三:由g(x)=m得
x2-mx+e2=0.
此方程有大于零的根,
故等价于,
故m≥2e.
(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,即g(x)与f(x) 的图象有两个不同的交点,作出g(x)=x+(x>0)的大致图象.
∵f(x)=-x2+2ex+m-1
=-(x-e)2+m-1+e2.
其图象的对称轴为x=e,开口向下,最大值为m-1+e2.
故当m-1+e2>2e,
即m>-e2+2e+1时,
g(x)与f(x)有两个交点,
即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.
∴m的取值范围是(-e2+2e+1,+∞)
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