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- 2021-06-16 发布
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§3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域
课时目标
1.了解二元一次不等式表示的平面区域.
2.会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域.
1.二元一次不等式(组)的概念
含有两个未知数,并且未知数的次数是 1 的不等式叫做二元一次不等式.
由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组.
2.二元一次不等式表示的平面区域
在平面直角坐标系中,二元一次不等式 Ax+By+C>0 表示直线 Ax+By+C=0 某一侧
所有点组成的平面区域,把直线画成虚线以表示区域不包括边界.
不等式 Ax+By+C≥0 表示的平面区域包括边界,把边界画成实线.
3.二元一次不等式(组)表示平面区域的确定
(1)直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点的坐标(x,y)代入 Ax+By+C 所得的符号都相同.
(2)在直线 Ax+By+C=0 的一侧取某个特殊点(x0,y0),由 Ax0+By0+C 的符号可以断
定 Ax+By+C>0 表示的是直线 Ax+By+C=0 哪一侧的平面区域.
一、选择题
1.如图所示,表示阴影部分的二元一次不等式组是( )
A.
y≥-2
3x-2y+6>0
x<0
B.
y≥-2
3x-2y+6≥0
x≤0
C.
y>-2
3x-2y+6>0
x≤0
D.
y>-2
3x-2y+6<0
x<0
答案 C
解析 可结合图形,根据确定二元一次不等式组表示的平面区域的方法逆着进行.由图
知所给区域的三个边界中,有两个是虚的,所以 C 正确.
2.已知点(-1,2)和(3,-3)在直线 3x+y-a=0 的两侧,则 a 的取值范围是( )
A.(-1,6) B.(-6,1)
C.(-∞,-1)∪(6,+∞) D.(-∞,-6)∪(1,+∞)
答案 A
解析 由题意知,(-3+2-a)(9-3-a)<0,
即(a+1)(a-6)<0,∴-10 的点(x,y)所在的区域为( )
答案 B
解析 不等式(x-y)(x+2y-2)>0 等价于不等式组
(Ⅰ)
x-y>0,
x+2y-2>0
或不等式组(Ⅱ)
x-y<0,
x+2y-2<0.
分别画出不等式组(Ⅰ)和(Ⅱ)所表示的平面区域,再求并
集,可得正确答案为 B.
4.不等式组
4x+3y≤12,
x-y>-1,
y≥0
表示的平面区域内整点的个数是( )
A.2 个 B.4 个 C.6 个 D.8 个
答案 C
解析 画出可行域后,可按 x=0,x=1,x=2,x=3 分类代入检验,符合要求的点有(0,0),
(1,0),(2,0),(3,0),(1,1),(2,1)共 6 个.
5.在平面直角坐标系中,不等式组
x+y≥0,
x-y+4≥0,
x≤a
(a 为常数)表示的平面区域的面
积是 9,那么实数 a 的值为( )
A.3 2+2 B.-3 2+2
C.-5 D.1
答案 D
解析 区域如图,
易求得 A(-2,2),B(a,a+4),
C(a,-a).
S△ABC=1
2|BC|·|a+2|=(a+2)2=9,由题意得 a=1.
6.若不等式组
x≥0,
x+3y≥4,
3x+y≤4
所表示的平面区域被直线 y=kx+4
3
分为面积相等的两部
分,则 k 的值是( )
A.7
3 B.3
7 C.4
3 D.3
4
答案 A
解析 不等式组表示的平面区域如图所示.
由于直线 y=kx+4
3
过定点 0,4
3 .因此只有直线过 AB 中点时,直线 y=kx+4
3
能平分平面
区域.
因为 A(1,1),B(0,4),所以 AB 中点 M
1
2
,5
2 .
当 y=kx+4
3
过点
1
2
,5
2 时,5
2
=k
2
+4
3
,
所以 k=7
3.
二、填空题
7.△ABC 的三个顶点坐标为 A(3,-1),B(-1,1),C(1,3),则△ABC 的内部及边界所
对应的二元一次不等式组是________________.
答案
x+2y-1≥0
x-y+2≥0
2x+y-5≤0
解析
如图直线 AB 的方程为 x+2y-1=0(可用两点式或点斜式写出).
直线 AC 的方程为 2x+y-5=0,
直线 BC 的方程为 x-y+2=0,
把(0,0)代入 2x+y-5=-5<0,
∴AC 左下方的区域为 2x+y-5<0.
∴同理可得△ABC 区域(含边界)为
x+2y-1≥0
x-y+2≥0
2x+y-5≤0
.
8.已知 x,y 为非负整数,则满足 x+y≤2 的点(x,y)共有________个.
答案 6
解析 由题意点(x,y)的坐标应满足
x∈N
y∈N
x+y≤2
,由图可知,整数点有(0,0),(1,0),
(2,0)(0,1)(0,2)(1,1)6 个.
9.原点与点(1,1)有且仅有一个点在不等式 2x-y+a>0 表示的平面区域内,则 a 的取值
范围为________.
答案 -10
a+1≤0
.无解.
②原点(0,0)不在该区域内,点(1,1)在该区域内,
则 a≤0
a+1>0
,∴-11,y=ax 恰好经过 A 点时,由 a2=9,得 a=3.
要满足题意,
需满足 a2≤9,解得 14
3
时,表示区域是△AOB;
当 x+y=a 过 B(1,0)时表示的区域是△DOB,此时 a=1;
当 0
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