高中数学基础知识大全(全国新课标版) 12页

高中数学基础知识大全（新课标版） 第一部分 集合 1.理解集合中元素的意义．．．．．是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲 线上的点？… 2 .数形结合．．．．是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数 问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决 3.(1) 元素与集合的关系： Ux A x C A   , Ux C A x A   . （2）德摩根公式： ( ) ; ( )U U U U U UC A B C A C B C A B C A C B     . （3） A B A A B B    U UA B C B C A    UA C B   UC A B R  注意：讨论的时候不要遗忘了 A 的情况. （4）集合 1 2{ , , , }na a a 的子集个数共有 2n 个；真子集有 2n –1 个；非空子集有 2n –1 个； 非空真子集有 2n –2 个. 4． 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 第二部分 函数 1．映射：注意: ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一或多对一. 2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；⑤换元法 ； ⑥利用均值不等式 22 22 babaab  ； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、 绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（ xa 、 xsin 、 xcos 等）；⑨平方法；⑩ 导数法 3．复合函数的有关问题: （1）复合函数定义域求法： ① 若 f(x)的定义域为［a，b］,则复合函数 f[g(x)]的定义域由不等式 a ≤ g(x) ≤ b 解出 ② 若 f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于 x∈[a,b]时，求 g(x)的值域. （2）复合函数单调性的判定： ①首先将原函数 )]([ xgfy  分解为基本函数：内函数 )(xgu  与外函数 )(ufy  ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性 ③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性. 4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。 5．函数的奇偶性: ⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．．．． ⑵ )(xf 是奇函数 )()( xfxf  ； )(xf 是偶函数 )()( xfxf  . ⑶奇函数 )(xf 在 0 处有定义，则 0)0( f ⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性 ⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性 6．函数的单调性: ⑴单调性的定义： ① )(xf 在区间 M 上是增函数 ,, 21 Mxx  当 21 xx  时有 1 2( ) ( )f x f x ； ② )(xf 在区间 M 上是减函数 ,, 21 Mxx  当 21 xx  时有 1 2( ) ( )f x f x ； ⑵单调性的判定：①定义法：一般要将式子 )()( 21 xfxf  化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；②复合 函数法③图像法 注：证明单调性主要用定义法。 7．函数的周期性： (1)周期性的定义：对定义域内的任意 x ，若有 )()( xfTxf  （其中T 为非零常数），则称函数 )(xf 为周期 函数，T 为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最 小正周期。 （2）三角函数的周期：① 2:sin  Txy ；② 2:cos  Txy ；③  Txy :tan ； ④ || 2:)cos(),sin(    TxAyxAy ；⑤ ||:tan    Txy (3)与周期有关的结论： )()( axfaxf  或 )0)(()2(  axfaxf  )(xf 的周期为 a2 8．基本初等函数的图像与性质： ㈠.⑴指数函数： )1,0(  aaay x ；⑵对数函数: )1,0(log  aaxy a ； ⑶幂函数： xy  （ )R ；⑷正弦函数: xy sin ；⑸余弦函数： xy cos ； （6）正切函数： xy tan ；⑺一元二次函数： 02  cbxax （a≠0）；⑻其它常用函数： 1 正比例函数： )0(  kkxy ；②反比例函数： )0(  kx ky ；③函数 )0(  ax axy ㈡.⑴分数指数幂： m n mna a ； 1m n m n a a   （以上 0, ,a m n N   ，且 1n  ）. ⑵.① bNNa a b  log ； ②   NMMN aaa logloglog  ； ③ NMN M aaa logloglog  ； ④ log logm n aa nb bm  . ⑶.对数的换底公式: loglog log m a m NN a  .对数恒等式: loga Na N . 9．二次函数： ⑴解析式：①一般式： cbxaxxf  2)( ；②顶点式： khxaxf  2)()( ， ),( kh 为顶点； ③零点式： ))(()( 21 xxxxaxf  （a≠0）. ⑵二次函数问题解决需考虑的因素： ①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。 二次函数 cbxaxy  2 的图象的对称轴方程是 a bx 2  ，顶点坐标是        a bac a b 4 4 2 2 ， 。 10．函数图象： ⑴图象作法 ：①描点法 （特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法 ③导数法 ⑵图象变换： 1 平移变换：ⅰ) )()( axfyxfy  ， )0( a ———左“+”右“－”； ⅱ) )0(,)()(  kkxfyxfy ———上“+”下“－”； 2 对称变换：ⅰ) )(xfy    )0,0( )( xfy  ；ⅱ) )(xfy   0y )(xfy  ； ⅲ) )(xfy   0x )( xfy  ； ⅳ) )(xfy   xy ( )x f y ； 3 翻折变换： ⅰ) |)(|)( xfyxfy  ———（去左翻右）y 轴右不动，右向左翻（ )(xf 在 y 左侧图象去掉）； ⅱ) |)(|)( xfyxfy  ———（留上翻下）x 轴上不动，下向上翻（| )(xf |在 x 下面无图象）； 12．函数零点的求法： ⑴直接法（求 0)( xf 的根）；⑵图象法；⑶二分法. (4)零点定理：若 y=f(x)在[a,b]上满足 f(a)·f(b)<0 , 则 y=f(x)在（a,b)内至少有一个零点。 第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形 1．⑴角度制与弧度制的互化： 弧度 180 ， 1801  弧度，1弧度 )180(  '1857 ⑵弧长公式： Rl  ；扇形面积公式： 2 2 1 2 1 RlRS  。 2．三角函数定义:角 终边上任一点（非原点）P ),( yx ,设 rOP || 则： ,cos,sin r x r y   x ytan 3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；（简记为“全 s t c”） 4．诱导公式记忆规律：“奇变偶不变，符号看象限” 5．⑴ )sin(   xAy 对称轴：令 2x k      ，得 ;x 对称中心： ))(0,( Zkk    ； ⑵ )cos(   xAy 对称轴：令  kx  ，得    kx ；对称中心： ))(0,2( Zk k     ； ⑶周期公式:①函数 sin( )y A x   及 cos( )y A x   的周期  2T (A、ω、 为常数， 且 A≠0).②函数    xAy tan 的周期  T (A、ω、 为常数，且 A≠0). 6．同角三角函数的基本关系： xx xxx tancos sin;1cossin 22  7．三角函数的单调区间及对称性： ⑴ siny x 的单调递增区间为 2 ,22 2k k k Z        ,单调递减区间为 32 ,22 2k k k Z        ，对称轴为 ( )2x k k Z   ,对称中心为 ,0k ( )k Z . ⑵ cosy x 的单调递增区间为 2 ,2k k k Z    ,单调递减区间为 2 ,2k k k Z    ， 对称轴为 ( )x k k Z  ,对称中心为 ,02k     ( )k Z . ⑶ tany x 的单调递增区间为 ,2 2k k k Z        ，对称中心为      0,2 k  Zk  . 8．两角和与差的正弦、余弦、正切公式： ①sin( ) sin cos cos sin        ； cos( ) cos cos sin sin        ； tan tantan( ) 1 tan tan         . ② 2 2sin( )sin( ) sin sin         ； 2 2cos( )cos( ) cos sin         . ③ sin cosa b  = 2 2 sin( )a b    (其中,辅助角 所在象限由点 ( , )a b 所在的象限 决定, tan b a   ). 9．二倍角公式：①  cossin22sin  . 2(sin cos ) 1 2sin cos 1 sin 2         ② 2 2 2 2cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin          （升幂公式）. 2 21 cos2 1 cos2cos ,sin2 2      （降幂公式）. 10．正、余弦定理： ⑴正弦定理： RC c B b A a 2sinsinsin  （ R2 是 ABC 外接圆直径 ） 注：① CBAcba sin:sin:sin::  ；② CRcBRbARa sin2,sin2,sin2  ； ③ CBA cba C c B b A a sinsinsinsinsinsin   。 ⑵余弦定理： Abccba cos2222  等三个； bc acbA 2cos 222  等三个。 11.几个公式:⑴三角形面积公式：① 1 1 1 2 2 2a b cS ah bh ch   （ a b ch h h、 、 分别表示 a、b、c 边上的高）；② 1 1 1sin sin sin2 2 2S ab C bc A ca B   .③ 2 21 (| | | |) ( )2OABS OA OB OA OB        ⑵内切圆半径 r= cba S ABC  2 ； 外接圆直径 2R= ;sinsinsin C c B b A a  第四部分 平面向量 1.平面上两点间的距离公式: ,A Bd 2 2 2 1 2 1( ) ( )x x y y    ，其中 A 1 1( , )x y ，B 2 2( , )x y . 2.向量的平行与垂直： 设 a = 1 1( , )x y ,b = 2 2( , )x y ，且b  0 ，则： ① a ∥b  b =λ a 1 2 2 1 0x y x y   ； ② a  b ( a  0 )  a ·b =0 1 2 1 2 0x x y y   . 3.a·b=|a||b|cos= x 1 x2+y1y2； 注：①|a|cos叫做 a 在 b 方向上的投影；|b|cos叫做 b 在 a 方向上的投影； ②a·b 的几何意义：a·b 等于|a|与|b|在 a 方向上的投影|b|cos的乘积。 4.cos= |||| ba ba  ； 5.三点共线的充要条件：P，A，B 三点共线  x y 1OP xOA yOB     且 。 第五部分 数列 1．定义： BnAnSbknaNnnaaa ndaaNnddaaa nnnnn nnn       2 11 1n1n *),2(2 )2(,()1( ）为常数｝等差数列｛ ⑵等比数列 )Nn2,(n)0(} 1n1-n 2 n 1n n     aaaqqa aa n ｛ 2．等差、等比数列性质： 等差数列 等比数列 通项公式 dnaan )1(1  1 1  n n qaa 前 n 项和 dnnnaaanS n n 2 )1( 2 )( 1 1  q qaa q qaSq naSq n n n n      1 1 )1(1.2 ;1.1 1 1 1 时， 时， 性质 ①an=am+ (n－m)d, ①an=amqn-m; ②m+n=p+q 时 am+an=ap+aq ②m+n=p+q 时 aman=apaq ③ ,,, 232 kkkkk SSSSS  成 AP ③ ,,, 232 kkkkk SSSSS  成 GP ④ ,,, 2mkmkk aaa  成 AP, mdd ' ④ ,,, 2mkmkk aaa  成 GP, mqq ' 3．常见数列通项的求法： ⑴定义法（利用 AP,GP 的定义）；⑵累加法（ nnn caa 1 型）；⑶公式法： ⑷累乘法（ n n n ca a 1 型）；⑸待定系数法（ bkaa nn 1 型）转化为 )(1 xakxa nn  （6）间接法（例如： 4114 1 11    nn nnnn aaaaaa ）；（7）（理科）数学归纳法。 4．前 n 项和的求法：⑴分组求和法；⑵错位相减法；⑶裂项法。 5．等差数列前 n 项和最值的求法： ⑴ nS 最大值                  0 0 0 0 11 n n n n n a aSa a 最小值或 ；⑵利用二次函数的图象与性质。 第六部分 不等式 1．均值不等式： )0,(22 22  bababaab 注意：①一正二定三相等；②变形： ),(2)2( 22 2 Rbababaab  。 2．极值定理：已知 yx, 都是正数，则有： (1)如果积 xy 是定值 p ，那么当 yx  时和 yx  有最小值 p2 ； (2)如果和 yx  是定值 s ，那么当 yx  时积 xy 有最大值 2 4 1 s . 3.解一元二次不等式 2 0( 0)ax bx c   或 :若 0a ,则对于解集不是全集或空集时,对应的 解集为“大两边，小中间”.如:当 21 xx  ,   2121 0 xxxxxxx  ；    1221 0 xxxxxxxx  或 . 4.含有绝对值的不等式：当 0a 时，有：① axaaxax  22 ； ② 2 2x a x a x a     或 x a  . 5*.分式不等式： （1）         00  xgxfxg xf ； （2）         00  xgxfxg xf ； （3）               0 00 xg xgxf xg xf ； （4）               0 00 xg xgxf xg xf . 6*.指数不等式与对数不等式 (1)当 1a  时, ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x   ； ( ) 0 log ( ) log ( ) ( ) 0 ( ) ( ) a a f x f x g x g x f x g x       . an= S1 (n=1) Sn－Sn-1 (n≥2) (2)当 0 1a  时, ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x   ； ( ) 0 log ( ) log ( ) ( ) 0 ( ) ( ) a a f x f x g x g x f x g x       3．不等式的性质： ⑴ abba  ；⑵ cacbba  , ；⑶ cbcaba  ； dcba  , dbca  ；⑷ bdaccba  0, ； bcaccba  0, ； ,0 ba 0c d  ac bd  ;⑸ )(00  Nnbaba nn ;⑹  0ba )(  Nnba nn 第七部分 概率 1．事件的关系： ⑴事件 B 包含事件 A：事件 A 发生，事件 B 一定发生，记作 BA  ； ⑵事件 A 与事件 B 相等：若 ABBA  , ，则事件 A 与 B 相等，记作 A=B； ⑶并（和）事件：某事件发生，当且仅当事件 A 发生或 B 发生，记作 BA  （或 BA  ）； ⑷并（积）事件：某事件发生，当且仅当事件 A 发生且 B 发生，记作 BA  （或 AB ） ； ⑸事件 A 与事件 B 互斥：若 BA  为不可能事件（  BA ），则事件 A 与互斥； ⑹对立事件： BA  为不可能事件， BA  为必然事件，则 A 与 B 互为对立事件。 2．概率公式： ⑵古典概型： 基本事件的总数 包含的基本事件的个数AAP )( ； ⑶几何概型： 等）区域长度（面积或体积试验的全部结果构成的 积等）的区域长度（面积或体构成事件AAP )( ； 第八部分 统计与统计案例 1．抽样方法： ⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为 N，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量 为 n 的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。 注：①每个个体被抽到的概率为 N n ； ②常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数表法。 ⑵系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的规则，从 每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。 注：步骤：①编号；②分段；③在第一段采用简单随机抽样方法确定起始的个体编号；④按预 先制定的规则抽取样本。 ⑶分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的情况， 将总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。 注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数 N n 注:以上三种抽样的共同特点是：在抽样过程中每个个体被抽取的概率相等 2．频率分布直方图与茎叶图：⑴用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布直方图。⑵当数据是两 位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字， 它的中间部分像植物的茎，两边像植物茎上长出来的叶子，这种表示数据的图叫做茎叶图。 3．总体特征数的估计： ⑴样本平均数    n i in xnxxxnx 1 21 1)(1 ； ⑵样本方差 ])()()[(1 22 2 2 1 2 xxxxxx n S n  2 1 )(1 xxn n i i    ； ⑶样本标准差 ])()()[(1 22 2 2 1 xxxxxxnS n  = 2 1 )(1 xxn n i i   第九部分 算法初步 1．程序框图： ⑴图形符号： ① 终端框（起止框）；② 输入、输出框； ③ 处理框（执行框）；④ 判断框；⑤ 流程线 ； ⑵程序框图分类: ①顺序结构： ②条件结构： ③循环结构： r =0? 否 求 n 除以 i 的余数 输入 n 是 n 不是质数 n 是质数 i=i+1 i=2 i  n 或 r=0? 否 是 注：循环结构分为：Ⅰ．当型（while 型） ——先判断条件，再执行循环体； Ⅱ．直到型（until 型）——先执行一次循环体，再判断条件。 2．基本算法语句： ⑴输入语句 INPUT “提示内容”；变量 ；输出语句：PRINT “提示内容”；表达式 赋值语句： 变量=表达式 ⑵条件语 句：① ② IF 条件 THEN IF 条件 THEN 语句体 语句体 1 END IF ELSE 语句体 2 END IF ⑶循环语句：①当型： ②直到型: WHILE 条件 DO 循环体 循环体 WEND LOOP UNTIL 条件 新课标数学部分公式及结论 2.从集合  naaaaA ,,,, 321  到集合  mbbbbB ,,,, 321  的映射有 nm 个. 3.函数的的单调性： (1)设   2121 ,,, xxbaxx  那么  1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0x x f x f x     baxfxx xfxf ,)(0)()( 21 21 在  上是增函数；  1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0x x f x f x     baxfxx xfxf ,)(0)()( 21 21 在  上是减函数. (2)设函数 )(xfy  在某个区间内可导，如果 0)(  xf ，则 )(xf 为增函数；如果 0)(  xf ， 则 )(xf 为减函数. 4*.函数 ( )y f x 的图象的对称性: ① ( )y f x 的图象关于直线 x a 对称 ( ) ( )f a x f a x    (2 ) ( )f a x f x   ； ② ( )y f x 的图象关于直线 2 a bx  对称 ( ) ( )f a x f b x    ( ) ( )f a b x f x    ； ③ ( )y f x 的图象关于点 ( ,0)a 对称         02  xafxafxafxf ， ( )y f x 的图象关于点 ( , )a b 对称          bxafxafxafbxf 222  . 6．奇偶函数的图象特征： 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原 点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于 y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 7．多项式函数 1 1 0( ) n n n nP x a x a x a     的奇偶性： 多项式函数 ( )P x 是奇函数  ( )P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数 ( )P x 是偶函数  ( )P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 8. 若将函数 )(xfy  的图象右移 a 、上移b 个单位，得到函数 baxfy  )( 的图象； 9. 几个常见的函数方程： (1)正比例函数 ( )f x cx , ( ) ( ) ( ), (1)f x y f x f y f c    . (2)指数函数 ( ) xf x a , ( ) ( ) ( ), (1) 0f x y f x f y f a    . (3)对数函数 ( ) logaf x x , ( ) ( ) ( ), ( ) 1( 0, 1)f xy f x f y f a a a     . (4)幂函数 ( )f x x , '( ) ( ) ( ), (1)f xy f x f y f   . (5)余弦函数 ( ) cosf x x ,正弦函数 ( ) sing x x ， ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x y f x f y g x g y   ，f(0)=1. 10*.几个函数方程的周期(约定 a>0) （1） )()( axfxf  ，则 )(xf 的周期 T=a； （2） )()( xfaxf  ，或 )0)(()( 1)(  xfxfaxf ，或 1( ) ( )f x a f x   ( ( ) 0)f x  , 则 )(xf 的周期 T=2a； 11.①等差数列 na 的通项公式:  dnaan 11  ,或 dmnaa mn )(  mn aad mn   . ②前 n 项和公式: 1( ) 2 n n n a as  1 ( 1) 2 n nna d  2 1 1( )2 2 d n a d n   . 12.设数列 na 是等差数列， 奇S 是奇数项的和， 偶S 是偶数项的和， nS 是前 n 项的和，则 ①前 n 项的和 偶奇 SSSn  ； ②当 n 为偶数时， d2 nS  奇偶S ，其中 d 为公差； ③当 n 为奇数时，则 中偶奇 aS  S ， 中奇 a2 1nS  ， 中偶 a2 1nS  ， 1 1 S S   n n 偶 奇 ， n  偶奇 偶奇 偶奇 SS SS SS Sn （其中 中a 是等差数列的中间一项） 13.若等差数列 na 和 nb 的前 12 n 项的和分别为 12 nS 和 12 nT ，则 12 12   n n n n T S b a . 14.数列  na 是等比数列， nS 是其前 n 项的和， *Nk  ，那么（ kk SS 2 ） 2 = kS · kk SS 23  . 15.分期付款(按揭贷款)： 每次还款 (1 ) (1 ) 1 n n ab bx b    元(贷款 a 元, n 次还清,每期利率为b ). 16.裂项法：①   1 11 1 1  nnnn ； ②          12 1 12 1 2 1 1212 1 nnnn ； ③   11 bababa   ；④    ! 1 1 ! 1 ! 1  nnn n . 17*．常见三角不等式: （1）若 (0, )2x  ，则sin tanx x x  . (2) 若 (0, )2x  ，则1 sin cos 2x x   . (3) | sin | | cos | 1x x  . 18.正弦、余弦的诱导公式： 2 1 2 ( 1) sin ,sin( )2 ( 1) s , n n nn co n           为偶数 为奇数 ； 2 1 2 ( 1) s ,s( )2 ( 1) sin , n n co nnco n           为偶数 为奇数 . 即:“奇变偶不变,符号看象限”.如  sin2cos       ,    coscos  . 19*.万能公式: 2 2tansin 2 1 tan    ； 2 2 1 tancos2 1 tan     ； 2 2tantan 2 1 tan    （正切倍角公式）. 20*.半角公式: sin 1 costan 2 1 cos sin        . 21.三角函数变换: ①相位变换: xy sin 的图象        个单位平移或向右向左  00   xy sin 的图象； ②周期变换: xy sin 的图象        倍到原来的或缩短横坐标伸长   1110 xy sin 的图象； ③振幅变换: xy sin 的图象        倍到原来的或缩短纵坐标伸长 AAA 101 xAy sin 的图象. 22.在△ABC 中，有 ① ( ) 2 2 2 C A BA B C C A B             2 2 2( )C A B    ； ② BAba sinsin  （注意是在 ABC 中）. 24.若OA xOB yOB    ，则 A 、 B 、C 共线的等价条件是 1 yx . 25.三角形的重心坐标公式: △ABC 三个顶点的坐标分别为 1 1A(x ,y )、 2 2B(x ,y )、 3 3C(x ,y ), 则其重心的坐标是 1 2 3 1 2 3( , )3 3 x x x y y yG     . 28*. 三角形四“心”向量形式的充要条件： 设O 为 ABC 所在平面上一点，角 , ,A B C 所对边长分别为 , ,a b c ，则： （1）O 为 ABC 的外心 2 2 2 OA OB OC     . （2）O 为 ABC 的重心 0OA OB OC       . （3）O 为 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA           . （4）O 为 ABC 的内心 0aOA bOB cOC       . 29.常用不等式： (1) ,a b R  2 2 2a b ab  2 22 baab  (当且仅当 a＝b 时取“=”号)． (2) ,a b R  2 a b ab  2 2       baab (当且仅当 a＝b 时取“=”号)． (5) 2 21 ( 0, 0)1 1 2 2 a b a bab a b a b        . （6）柯西不等式： 2 2 2 2 2( )( ) ( ) , , , , .a b c d ac bd a b c d R    