高中数学易错、易混、易忘题(整理) 15页

高中数学易错、易混、易忘题分类汇编 “会而不对，对而不全”一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素，成为学生挥之不去的痛，如何 解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用。本文结合笔者的多年高三教学经验精心挑选学 生在考试中常见的 66 个易错、易混、易忘典型题目，这些问题也是高考中的热点和重点，做到力避偏、 怪、难，进行精彩剖析并配以近几年的高考试题作为相应练习，一方面让你明确这样的问题在高考中确实 存在，另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者精心设计的陷阱，以达到授人以渔的目的，助你在高考 中乘风破浪，实现自已的理想报负。 1、设  2| 8 15 0A x x x    ，  | 1 0B x ax   ，若 A B B ，求实数 a 组成的集合的子 集有多少个？ 【练 1】已知集合  2| 4 0A x x x   、   22| 2 1 1 0B x x a x a      ，若 BA ， 则实数 a 的取值范围是 。答案： 1a  或 1a  。 例 2、已知   2 2214 yx    ,求 22xy 的取值范围 【练 2】（ 05 高考重庆卷）若动点（x,y）在曲线 22 2 14 xy b 0b  上变化，则 2 2xy 的最大值为 （） （A）     2 4 0 44 24 b b bb       （B）     2 4 0 24 22 b b bb       （C） 2 44 b  （D） 2b 例3、   21 12 x x afx   是 R 上的奇函数，（1）求 a 的值（2）求的反函数  1fx 【练 3】（2004 全国理）函数    1 1 1f x x x    的反函数是（） A、  2 2 2 1y x x x    B、  2 2 2 1y x x x    C、  2 21y x x x   D、  2 21y x x x   例 4、已知函数   12 1 xfx x   ，函数  y g x 的图像与  1 1y f x的图象关于直线 yx 对 称，则  y g x 的解析式为（） A、   32xgx x  B、   2 1 xgx x   C、   1 2 xgx x   D、   3 2gx x  【练 4】（ 2004 高考福建卷）已知函数 y=log2x 的反函数是 y=f-1(x)，则函数 y= f-1(1-x)的图象是（） 例5、 判断函数  2lg 1 () 22 x fx x    的奇偶性。 【练 5】判断下列函数的奇偶性： ①   2244f x x x    ②     11 1 xf x x x   ③   1 sin cos 1 sin cos xxfx xx   例6、 函数   22 21 2 11log 22 x xf x x x       或 的反函数为  1fx ，证明 是奇函数且在 其定义域上是增函数。 【练 6】（ 1）（ 99 全国高考题）已知 () 2 xxeefx  ，则如下结论正确的是（） A、  fx是奇函数且为增函数 B、 是奇函数且为减函数 C、 是偶函数且为增函数 D、 是偶函数且为减函数 （2）（ 2005 天津卷）设  1fx 是函数      1 12 xxf x a a a   的反函数，则使  1 1fx  成立的 x 的取值范围为（）A、 2 1( , )2 a a   B、 2 1( , )2 a a  C、 2 1( , )2 a aa  D、 ( , )a  例 7、试判断函数    0, 0bf x ax a bx    的单调性并给出证明。 【练 7】（ 1） （潍坊市统考题）    1 0xf x ax aax    （1）用单调性的定义判断函数  fx在  0, 上的单调性。（2）设 在 01x的最小值为  ga，求  y g a 的解析式。 （2） （2001 天津）设 0a  且   x x eafx a e为 R 上的偶函数。（1）求 a 的值（2）试判断函数在  0, 上的单调性并给出证明。 例 8、（ 2004 全国高考卷）已知函数   3231f x ax x x    上是减函数，求 a 的取值范围。 【练 8】（ 1）（ 2003 新课程）函数 2y x bx c     0,x  是是单调函数的充要条件是（） A、 0b  B、 0b  C、 0b  D、 0b  （2）是否存在这样的 K 值，使函数   2 4 3 221232f x k x x kx x     在  1,2 上递减，在 2, 上递增？ 例 9、 已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ a 1 )2+(b+ b 1 )2 的最小值。 【练 9】（ 97 全国卷文 22 理 22）甲、乙两地相距 s km , 汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过 c km/h , 已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 v（km/h）的平 方成正比，比例系数为 b;固定部分为 a 元。 （1） 把全程运输成本 y（元）表示为速度 v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域； （2） 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 例 10、是否存在实数 a 使函数   2 log ax x afx  在 2,4 上是增函数？若存在求出 a 的值，若不存在， 说明理由。 【练 10】（ 1）（黄岗三月分统考变式题）设 0a  ，且 1a  试求函数 2log 4 3ay x x   的的单调 区间。 （2）（ 2005 高考天津）若函数      3log 0, 1af x x ax a a    在区间 1( ,0)2 内单调递增，则 a 的 取值范围是（）A、 1[ ,1)4 B、 3[ ,1)4 C、 9( , )4  D、 9(1, )4 例 11、已知 1sin sin 3xy求 2sin cosyx 的最大值 【练 11】（ 1）（高考变式题）设 a>0，000 求 f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a 2 的最大值 和最小值。 （2）不等式 x >ax＋ 3 2 的解集是(4,b)，则 a＝________，b＝_______。 例 12、（ 2005 高考北京卷）数列 na 前 n 项和 ns 且 11 11, 3nna a s。（ 1）求 234,,a a a 的值及数列 的通项公式。 【练 12】（ 2004 全国理）已知数列 满足    1 1 2 3 11, 2 3 1 2nna a a a a n a n        则数列 的通项为 。 例 13、等差数列 na 的首项 1 0a  ，前 n 项和 ns ，当 lm 时， mlss 。问 n 为何值时 ns 最大? 【练 13】（ 2001 全国高考题）设 na 是等差数列， ns 是前 n 项和，且 56ss ， 6 7 8s s s，则下列 结论错误的是（）A、 0d  B、 7 0a  C、 95ss D、 6s 和 7s 均为 的最大值。 例 14、已知关于的方程 2 30x x a   和 2 30x x b   的四个根组成首项为 3 4 的等差数列，求 ab 的值。 【练 14】（ 2003 全国理天津理）已知方程 2 20x x m   和 2 20x x n   的四个根组成一个首项 为 1 4 的等差数列，则 mn =（） A、1 B、 C、 1 2 D、 3 8 例 15、数列 }{ na 中， 11 a ， 22 a ，数列 }{ 1 nn aa 是公比为 q （ 0q ）的等比数列。 （I）求使 32211   nnnnnn aaaaaa 成立的 的取值范围；（II）求数列 的前 n2 项的和 nS2 ． 【练 15】（ 2005 高考全国卷一第一问）设等比数列 na 的公比为 q，前 n 项和 0ns  （1）求 q 的取值 范围。 例 16、．（2003 北京理）已知数列 na 是等差数列，且 1 1 2 32, 12a a a a    （1）求数列 的通项公式（2）令  n nnb a x x R求数列 nb 前项和的公式。 【练 16】（ 2005 全国卷一理）已知 1 2 2 1n n n n n nu a a b a b ab b         , 0, 0n N a b   当 ab 时，求数列 na 的 前 n 项和 ns 例 17、求 nS  321 1 21 1 1 1 … n 321 1 ． 【练 17】（ 2005 济南统考）求和 12 12 2 2  nS ＋ 14 14 2 2   ＋ 16 16 2 2   ＋…＋ 1)2( 1)2( 2 2   n n ． 例 18、（ 2004 年高考数学江苏卷，20）设无穷等差数列{an}的前 n 项和为 Sn. (Ⅰ)若首项 1a 3 2 ，公差 1d ，求满足 2)(2 kk SS  的正整数 k； (Ⅱ)求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数 k 都有 2)(2 kk SS  成立. 【练 18】（ 1）（ 2000 全国）已知数列 nc ,其中 23nn nc ,且数列 1nnc pc  为等比数列.求常数 p 例 19、已知双曲线 224xy，直线  1y k x，讨论直线与双曲线公共点的个数 【练 19】（ 1）（ 2005 重庆卷）已知椭圆 1c 的方程为 2 2 14 x y，双曲线 2c 的左右焦点分别为 的左右 顶点，而 的左右顶点分别是 的左右焦点。（1）求双曲线的方程（2）若直线 :2l y kx 与椭 圆 及双曲线 恒有两个不同的交点，且与 的两个交点 A 和 B 满足 6lOA OB，其中 O 为原 点，求 k 的取值范围。 （2）已知双曲线C： ，过点P（1，1）作直线l, 使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共 有____条。 （1） （2） 例 20、已知 2tan  ，求（1）   sincos sincos   ；（ 2）  22 cos2cos.sinsin  的值. 【练 20】．（2004 年湖北卷理科） 已知 )32sin(],,2[,0cos2cossinsin6 22   求 的值. 例 21、如果能将一张厚度为 0.05mm 的报纸对拆,再对拆....对拆 50 次后,报纸的厚度是多少?你相信这时 报纸的厚度可以在地球和月球之间建一座桥吗?(已知地球与月球的距离约为 84 10 米) 【练 21】（ 2001 全国高考）从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅 游产业，根据规划，本年度投入 800 万元，以后每年投入将比上年减少 5 1 ，本年度当地旅游业收入估计为 400 万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 4 1 . (1)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an 万元，旅游业总收入为 bn 万元，写出 an,bn 的表达式； (2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入 例 21、下列命题正确的是（） A、 、  都是第二象限角，若 sin sin ，则 tan tan B、 、 都是第三象限角，若 cos cos ，则 C、 、 都是第四象限角，若 ，则 D、 、 都是第一象限角，若 ，则 。 【练 22】（2000 全国高考）已知 ，那么下列命题正确的是（） A、 若 、都是第一象限角，则 B、若 、都是第二象限角，则 B、 若 、都是第三象限角，则 D、若 、都是第四象限角，则 例 23．要得到函数 sin 2 3yx 的图象，只需将函数 1sin 2yx 的图象（） A、 先将每个 x 值扩大到原来的 4 倍，y 值不变，再向右平移 3  个单位。 B、 先将每个 x 值缩小到原来的 1 4 倍，y 值不变，再向左平移 个单位。 C、 先把每个 x 值扩大到原来的 4 倍，y 值不变，再向左平移个 6  单位。 D、 先把每个 x 值缩小到原来的 倍，y 值不变，再向右平移 个单位 【练 23】（2005 全国卷天津卷）要得到的图象，只需将函数的图象上所有的点的 A、 横坐标缩短为原来的 1 2 倍（纵坐标不变），再向左平移 个单位长度。B、横坐标缩短为原来的 倍 （纵坐标不变），再向左平移 个单位长度。C、横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），再向左 平移 个单位长度。D、横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），再向右平移 个单位长度。 例 24、已知  0, ， 7sin cos 13求 tan 的值。 【练 24】（1994 全国高考）已知  1sin cos , 0,5      ，则 cot 的值是 。 例 25、若 5 10sin ,sin5 10，且 、  均为锐角，求 的值。 【练 25】（1）在三角形 ABC 中，已知 35sin ,cos5 13AB，求三角形的内角 C 的大小。 （2）（2002 天津理，17）已知 cos（α ＋ 4  ）＝ 2,5 3  ≤α ＜ 2 3 ，求 cos（2α ＋ 4  ）的值. 例 26、如果函数 sin 2 cos2y x a x 的图象关于直线 8x  对称，那么 a 等于（ ） A. 2 B.－ C.1 D.－1 【练 26】（ 1）（ 2003 年高考江苏卷 18）已知函数 )0,0)(sin()(   xxf 上 R 上的偶函数， 其图象关于点 )0,4 3( M 对称，且在区间 ]2,0[  上是单调函数，求 和ω 的值. （2）（ 2005 全国卷 一第 17 题第 一问） 设函 数的     sin 2f x x         ，  y f x 图象的一条对称轴是直线 8x  ，求 例 27、在 ABC 中， 30 , 2 3, 2B AB AC   。求 的面积 【练 27】（ 2001 全国）如果满足 60ABC ， 2AC  ， BC k 的三角表恰有一个那么 k 的取值 范围是（）A、83B、 0 12k C、 12k  D、 0 12k 或 83k  例 28、（ 1）（ 2005 湖南高考）已知在△ABC 中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角 A、 B、C 的大小. 2、（北京市东城区 2005 年高三年级四月份综合练习）在△ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边， 且 .2cos cos ca b C B  （Ⅰ）求角 B 的大小（Ⅱ）若 4,13  cab ，求△ABC 的面积. 【练 28】（ 1）（2004 年北京春季高考）在 ABC 中，a，b，c 分别是   A B C， ， 的对边长，已知 a，b，c 成等比数列，且 a c ac bc2 2   ，求 A 的大小及 b B c sin 的值。 （2）（2005 天津）在△ABC 中，∠A、∠B、∠C 所对的边长分别为 a、b、c，设 a、b、c 满足条 件 2 2 2b c bc a   和 1 32 c b  。求∠A 和 tan B 的值。 例 29、解关于 x 的不等式 2 )1(   x xa ＞1(a≠1). 【练 29】（ 2005 年江西高考）已知函数 2 ( ) ( ,xf x a bax b  为常数）,且方程 ( ) 12 0f x x   有两 个实根为 123, 4.xx （1）求函数 ()fx的解析式；（2）设 1k  ,解关于 x 的不等式： ( 1)() 2 k x kfx x   例 30、已知函数      22lg 3 2 2 1 5f x m m x m x     （1）如果函数  fx的定义域为 R 求实数 m 的取值范围。（2）如果函数 的值域为 R 求实数 m 的取值范围。 【练 30】已知函数      221 2 1 2f x a x a x     的定义域和值域分别为 R 试分别 确定满足条件的 a 的取值范围。 例 31、已知 a＞0，b＞0，且 a+b=1.求证：(a+ a 1 )(b+ b 1 )≥ 4 25. 【练 31】（ 2002 北京文）数列  nx 由下列条件确定：          Nnx axxax n nn ,2 1,0 11 （1） 证明：对于 2n  总有 nxa ,（2）证明：对于 ，总有 1nnxx . 例 32、已知二次函数 ()fx满足 ( 1) 0f ，且 21( ) ( 1)2x f x x   对一切实数 x 恒成立. (1) 求 (1)f ； (2) 求 的解析式； (3) 求证： 1 12 ( ) 2 n i n f k n   ( ).nN 【练 32】（ 2005 潍 坊 三 月 份 统 考 ） 已 知 二 次 函 数 2()f x ax bx c   ( , , )a b c R ，满足 ( 1) 0f ；且对任意实数 x 都有 ( ) 0f x x；当 (0,2)x  时有 2( 1)( ) ,4 xfx  （1）求 (1)f 的值；（2）证明 0, 0;ac（3）当 [ 1,1]x  时，函数 ()gx ( ) ( )f x mx m R是 单调的，求证： 0m  或 1.m  例 33、记   2f x ax bx c   ，若不等式   0fx 的解集为  1,3 ，试解关于 t 的不等式    282f t f t   。 【练 33】（ 1）（ 2005 辽宁 4 月份统考题）解关于 x 的不等式 ]1)2([log)1(log 42  xax )1( a （2） （2005 全国卷Ⅱ）设函数  fx |1||1|2  xx ,求使 ≥的 22 的 x 取值范围。 例 34、自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强 度对鱼群总量的影响。用 nx 表示某鱼群在第 n 年年初的总量，n∈N＊，且 1x ＞0。不考虑其它因素，设在 第 n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与 成正比，死亡量与 2 nx 成正比，这些比例系数依次为正常数 a，b， c。（ Ⅰ）求 1nx  与 的关系式；（Ⅱ）猜测：当且仅当 ，a，b，c 满足什么条件时，每年年初鱼群的 总量保持不变？（不要求证明）（Ⅲ）设 a＝2，b＝1，为保证对任意 ∈（0,2），都有 ＞0， *nN ， 则捕捞强度 b 的最大允许值是多少？证明你的结论。 【练 34】（2005 年全国卷Ⅰ统一考试理科数学） （Ⅰ）设函数 )10( )1(log)1(log)( 22  xxxxxxf ，求 )(xf 的最小值； （Ⅱ）设正数 npppp 2321 ,,,,  满足 12321  npppp  ，证明 npppppppp nn  222323222121 loglogloglog  例 35、下列命题： ① 422 ||)()( aaa  ② bcacba  )()( ③ | a ·b |=| |·| |④若 a ∥ bb , ∥ ,c 则 ∥ c ⑤ ∥ b ，则存在唯一实数λ ，使 ab  ⑥若 cbca  ，且 ≠ o ，则 ba  ⑦设 21 ,ee 是平面内两向量，则对于平面内任何一向量 ，都存在唯一一组实数 x、y，使 21 eyexa  成立。⑧ 若| + |=| － |则 · =0。⑨ · =0，则 = 0 或 = 真命题个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．3 个以上 【练 35】（ 1）（ 2002 上海春，13）若 a、b、c 为任意向量，m∈R，则下列等式不一定．．．成立的是（ ） A.（a+b）+c=a+（b+c）B.（a+b）· c=a·c+b·c C.m（a+b）=ma+mb D.（a·b）c=a（b·c） （2）(2000 江西、山西、天津理，4)设 a、b、c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则 ①（a·b）c－（ c·a）b=0 ②|a|－|b|<|a－b| ③（b·c）a－（ c·a）b 不与 c 垂直④（3a+2b） （3a－2b）=9|a|2－4|b|2 中，是真命题的有（ ） A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 例 36、四边形 ABCD 中， AB ＝ａ， BC ＝ｂ， CD ＝с ， DA＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с ＝с ·ｄ ＝ｄ·ａ，试问四边形 ABCD 是什么图形? 【练 36】（ 1）（ 2003 高考江苏）O 是平面上一 定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 ).,0[ |||| (   AC AC AB ABOAOP 则 P 的轨迹一定通过△ABC 的 （ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 （2）（ 2005 全国卷文科）点 O 是三角形 ABC 所在平面内的一点，满足 OAOCOCOBOBOA  ， 则点 O 是 ABC 的（ ） （A）三个内角的角平分线的交点 （B）三条边的垂直平分线的交点 （C）三条中线的交点 （D）三条高的交点 （ 3 ）（ 2005 全 国 卷 Ⅰ ） ABC 的 外 接 圆 的 圆 心 为 O ， 两 条 边 上 的 高 的 交 点 为 H ， )( OCOBOAmOH  ，则实数 m = 例 37、已知 ABC 中, 5, 8, 7a b c   ,求 BC CA 【练 37】（ 2004 上海春招）在 ΔABC 中，有如下命题，其中正确的是（） （1）AB AC BC（2） 0AB BC CA   （3）若     0AB AC AB AC    ，则 ΔABC 为等腰三角形（4）若 0AC AB，则 ΔABC 为锐角三角形。 A、（ 1）（ 2） B、（ 1）（ 4） C、（ 2）（ 3） D、（ 2）（ 3）（ 4） 例 38、已知 a、b 都是非零向量，且 a + 3b 与 7a  5b 垂直，a  4b 与 7a  2b 垂直，求 a 与 b 的夹角。 【练 38】（ 1）（ 2005 高考江西卷）已知向量 (1,2), ( 2, 4),| | 5,a b c    若 5( ) ,2a b c   则 a 与 c 的夹角为（ ）A．30° B．60° C．120° D．150° （2）（2005 浙江卷）已知向量 a ≠ e ，| |＝1，对任意 t∈R，恒有| －t |≥| － |，则 (A) ⊥ (B) ⊥( － ) (C) ⊥( － ) (D) ( ＋ )⊥( － ) 例 39、 )2,(),,0(),0,1(),sin,cos1(),sin,cos1(   cba  ，a 与 c 的夹角为θ 1， b  与 的夹角为θ 2，且 2sin,321   求 的值. 【练 39】（ 1）（ 2005 高考江西）已知向量 (2cos ,tan( )), ( 2 sin( ),tan( ))2 2 4 2 4 2 4 x x x xab        , 令 ()f x a b  是否存在实数 [0, ]x  ,使 ( ) '( ) 0f x f x（其中 '( )fx是 ()fx的导函数）？ 若存在,则求出 x 的值；若不存在,则证明之 （ 2 ）（ 2005 山 东 卷 ） 已 知 向 量 (cos ,sin )m  和    2 sin ,cos , ,2n        ，且 82,5mn 求cos 28 的值. 例 40、ΔABC 内接于以 O 为圆心，1 为半径的圆，且 3 →OA＋4 →OB＋5 →OC=→0 。①求数量积， →OA· →OB ， →OB· →OC ， →OC· →OA ；②求 ΔABC 的面积。 【练 40】（ 1）（2005 全国卷Ⅲ）△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a,b,c，已知 a,b,c 成等比数列， 且 cosB＝ 3 4 。（ 1）求 cotA+cotC 的值；（2）设 3 2BA BC，求 ac 的值。 （2）已知向量 a  =（2，2），向量  b 与向量  a 的夹角为 4 3 ，且 · =－2，①求向量 ； ②若 )2cos2,(cos,)0,1( 2 CActbt   且 ，其中 A、C 是△ABC 的内角，若三角形的三内角 A、 B、C 依次成等差数列，试求|  b +  c |的取值范围. 例 41、已知二次函数 f(x)对任意 x∈R，都有 f(1－x)=f(1＋x)成立，设向量→a =(sinx,2)，→b =(2sinx,1 2)，→c =(cos2x,1)，→d =(1,2)，当 x∈[0,π ]时，求不等式 f(→a ·→b )＞f(→c ·→d ) 的解集. 【练 41】若 ()fx在定义域（－1，1）内可导,且 ' ( ) 0fx ，点 A(1, f ( a ));B( (－ ),1)，对任意 ∈ (－1，1)恒有 OA OB 成立，试在  , 内求满足不等式 (sin x cos )+ (cos2 )>0 的 的取值 范围. 例 42、（ 03 年新课程高考）已知常数 a>0，向量 c=（0，a）， i=（1，0）， 经过原点 O 以 c+λ i 为方 向向量的直线与经过定点 A（0，a）以 i－2λ c 为方向向量的直线相交于点 P，其中λ ∈R.试问：是否 存在两个定点 E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出 E、F 的坐标；若不存在，说明理由. 【练 42】（ 1）（ 2005 全国卷 1）已知椭圆的中心为坐标原点 O，焦点在 x 轴上，斜率为 1 且过椭圆右焦点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点， OBOA 与 )1,3( a 共线。（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设 M 为椭 圆上任意一点，且 ),( ROBOAOM   ，证明 22   为定值。 （2） （02 年新课程高考天津卷）已知两点 M（-1，0）， N（1，0），且点 P 使 MP ·MN ， PM ·PN , NM ·NP 成公差小于零的等差数列（1）点 P 的轨迹是什么曲线？（2）若点 P 坐标为 （ ,ooxy），记 为 与 的夹角，求 tan （3）（ 2001 高考江西、山西、天津）设坐标原点为 O，抛物线 y2=2x 与过焦点的直线交于 A、B 两点，则 OBOA  等于（ ）A. 4 3 B.－ C.3 D.－3 例 43、已知椭圆 C： 22 142 xy上动点 P 到定点  ,0Mm ,其中 02m的距离 PM 的最小值 为 1.（1）请确定 M 点的坐标（2）试问是否存在经过 M 点的直线 l ,使 与椭圆 C 的两个交点 A、B 满足 条件 OA OB AB （O 为原点）,若存在,求出 的方程,若不存在请说是理由。 【练 43】已知椭圆的焦点在 x 轴上，中心在坐标原点，以右焦点 2F 为圆心，过另一焦点 1F 的圆被右准线 截的两段弧长之比 2:1,  2,1P 为此平面上一定点，且 121PF PF.（1）求椭圆的方程（2）若直 线  10y kx k   与椭圆交于如图两点 A、B，令    12 0f k AB F F k   。求函数  fk的 值域 例 44、函数 1 cosxy x e  的导数为 。 [练习 44]（2003 年江苏，21）已知 0a ，n 为正整数。设  ny x a ，证明   1ny n x a   ； （1） 设    nn nf x x x a   ，对任意 na ，证明      1 11nnf n n f n  （2）对函数    nn nf x x x a   求导数：   11 nn nf nx n x a     例 45、（ 2005 高考福建卷）已知函数 daxbxxxf  23)( 的图象过点 P（0，2），且在点 M（－ 1，f（－1））处的切线方程为 076  yx . （Ⅰ）求函数 )(xfy  的解析式； 【练 45】（ 1）（ 2005 福建卷）已知函数 bx axxf   2 6)( 的图象在点 M（－1，f(x)）处的切线方程为 x+2y+5=0. （Ⅰ）求函数 y=f(x)的解析式； （2）（ 2005 高考湖南卷）设 0t ，点 P（ t ，0）是函数 cbxxgaxxxf  23 )()( 与 的图象的 一个公共点，两函数的图象在点 P 处有相同的切线.（Ⅰ）用 表示 a，b，c； 例 46、( 2005 全国卷 III)已知函数   247 2 xfx x   ，  01x ， （Ⅰ）求  fx的单调区间和值域； （Ⅱ）设 1a  ，函数    223 2 01g x x a x a x   ， ，，若对于任意  1 01x  ， ，总存在  0 01x  ， 使得    01g x f x 成立，求 a 的取值范围。 【练 46】（ 1）（ 2005 高考北京卷）已知函数 f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a, （I）求 f(x)的单调递减区间； （II）若 f(x)在区间[－2，2]上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值． （2）(2005 全国卷 III)用长为 90cm,宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小 正方形,然后把四边翻转 90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多 少? 例 47、 3 2 2 n x x   展开式中第三项的系数比第二项的系数大 162，则 x 的一次项为 。 【练 47】（潍坊高三质量检测） 4 11 1 n x x  展开式中第 5 项与第 12 项系数的绝对值相等，则展开式的 常数项为 。 例 48、在 5 3 2 2x x  的展开式中， 5x 的系数为 ，二项式系数为 。 【练 48】（ 2005 高考山东卷）如果 3 2 13 n x x   的展开式中各项系数之和为 128，则展开式中 3 1 x 的系数 是（ ）（ A）7 （B） 7 （C）21 （D） 21 例 49、已知  2 2 n x n Nx   的展开式中，第五项的系数与第三项的系数之比为 10：1 求展开式中系数最大的项和二项式系数最大项。 【练 49】（ 2000 年上海）在二项式  111x  的展开式中，系数最小的项的系数为 。（结 果用数值表示） 例 50、有六本不同的书按下列方式分配，问共有多少种不同的分配方式？ （1） 分成 1 本、2 本、3 本三组； （2） 分给甲、乙、丙三人，其中 1 人 1 本，1 人两本，1 人 3 本； （3） 平均分成三组，每组 2 本； （4） 分给甲、乙、丙三人，每人 2 本。 【练 50】（ 2004 年全国 9）从 5 位男教师和 4 位女教师中选出 3 位教师，派到三个班担任班主任（每班一 位班主任），要求这三位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方法共有（ ） A、 210 种 B、420 种 C、630 种 D、840 种 例 51、四个男同学和三个女同学站成一排。 （1） 三个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？ （2） 任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？ （3） 其中甲、乙两同学之间必须恰有 3 人，有多少种不同的排法？ （4） 甲、乙两人相邻，但都与丙不相邻，有多少种不同的排法？ （5） 女同学从左往右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？（三个女生身高互不相等） 【练 52】（ 2004 年辽宁）有两排座位，前排 11 个座位，后排 12 个座位，现安排 2 人就坐，规定前排中间 三个座位不能坐，并且这 2 人不左右相邻，那么不同排法的种数（ ） A、234 B、346 C、350 D、363 例 53、（ 2004 年全国理）某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得 100 分，回答不正确得—100 分。假设这名同学每题回答正确的概率均为 0.8，且各题回答正确与否相互之间 没有影响。 （1） 求这名同学回答这三个问题的总得分 的概率分布和数学期望。 （2） 求这名同学总得分不为负分（即 0  ）的概率。 【练 53】（ 2004 年重庆理 18）设一汽车在前进途中要经过 4 个路口，汽车在每个路口遇到绿灯（允许通行） 的概率为 3 4 ，遇到红灯（禁止通行）的概率为 1 4 。假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进， 表 示停车时已经通过的路口数，求： （1） 的概率分布列及期望 E ；（ 2）停车时最多已通过 3 个路口的概率。 例 54、灯泡厂生产的白炽灯泡的寿命为 （单位：小时），已知  21000,30N ，要使灯泡的平均 寿命为 1000 小时的概率为 0099.7 ，问灯泡的最低使用寿命应控制在 910 小时以上。 【练 54】一总体符合  0,1N ，若    1 , 2ab，则该总体在（1，2）内的概率为 例 55、在等比数列 na 中， 1 1a  ，且 n 项和 nS ，满足 1 1lim ,nn S a  那么 1a 的取值范围是（ ） A、  1,  B、 1, 2 C、  1,2 D、 1,4 【练 55】  1 31lim 331 n nnn a   ，求 a 的取值范围 例 56、（ 2005 哈师大附中、东北师大附中高三第二次联考）正方体 ABCD -- 1 1 1 1A B C D ，E、F 分别是 1AA 、 1CC 的中点，p 是 上的动点（包括端点），过 E、D、P 作正方体的截面，若截面为四边形，则 P 的 轨迹是（） A、 线段 1CFB、线段 CF C、线段 和一点 1C D、线段 和一点 C。 【练 56】（ 1）（ 2005 高考全国卷二）正方体 ABCD—A1 B1 C1 D1 中，P、Q、R、分别是 AB、AD、B1 C1 的中 点。那么正方体的过 P、Q、R 的截面图形是（） （A）三角形 （B）四边形 （C）五边形 （D）六边形 （2）在正三棱柱 ABC - 1 1 1A B C 中，P、Q、R 分别是 BC 、 1CC 、 11AC 的中点，作出过三点 P、Q、 R 截正三棱柱的截面并说出该截面的形状。 例 57、（ 93 全国考试）如果异面直线 a、b 所在的角为 50 ,P 为空间一定点，则过点 P 与 a、b 所成的角都 是 30 的直线有几条？ A、一条 B 二条 C 三条 D 四条 【练 57】如果异面直线 a、b 所在的角为100 ,P 为空间一定点，则过点 P 与 a、b 所成的角都是 50 的直 线有几条？ A、一条 B 二条 C 三条 D 四条 例 58、如图， PA  矩形 ABCD 所在的平面，M，N 分别为 AB，PC 的中点。求证： //MN 平面 PAD 【练习 58（2005 浙江）如图，在三棱锥 P—ABC 中， ,AB BC AB BC kPA   ， 点 O，D 分别为 AC，PC 的中点， OP  平面 ABC 求证：OD//平面 PAB 例 59、如图，在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，M、N、P 分别是 1 1 1 1 1,,C C B C C D 的中点， 求证：平面 MNP//平面 1A BD C B A P D O 【练 59】正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，（1）M，N 分别是棱 1 1 1 1,A B A D 的中点，E、F 分别是棱 1 1 1 1,B C C D 的中点，求证：①E、F、B、D 共面； ②平面 AMN//平面 EFDB③平面 11AB D //平面 1C BD 例 60、（ 2001 全国 9）在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，若 12AB BB ，则 11AB C B与 所成角的大小为 （ ）A、 060 B、 090 C、 0105 D、 075 【练 60】（ 2005 年浙江 12） 设 M，N 是直角梯形 ABCD 两腰的中点， DE AD 于 E （如图），现将 ADE 沿 DE 折起，使二面角 A DE B为 045 ，此时点 A 在平面 BCDE 内的 射影恰为点 B，则 M，N 的连线与 AE 所成的角的 大小等于 。 例 61、如图，在棱长为 1 的正方体 中，M，N，P 分别为 1 1 1 1,,A B BB CC 的中点。 求异面直线 1 ,D P AM CN AM与 与 所成的角。 【练 61】（济南统考题）已知平行六面体 ABCD -- 1 1 1 1A B C D 中，底面 是边长为 1 的的正方形， 侧棱 1AA 的长为 2，且侧棱 和 AB 与 AD 的夹角都等于120 ，（ 1）求对角线 1AC 的长（2）求直线 1BD 与 AC 的夹角值。 例 62、如图，在北纬 的纬线圈上有 B 两点，它们分别在东经 070 与东经 0160 的经度上，设地球的半径为 R，求 B 两点的球面距离。 【练 62】（ 2005 高考山东卷）设地球的半径为 R ，若甲地位于北纬 45东经120 ， 乙地位于南纬 75 东经120，则甲、乙两地的球面距离为（ ） （A） 3R （B）6 R （C）5 6 R （D）2 3 R 例 63、如图, 在直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝AD＝2，DC＝ 2 3 ，AA1＝ ，AD⊥DC，AC⊥BD, 垂足未 E，（I）求证：BD ⊥A1C；（II）求二面角 A 1－BD－C 1 的大小；（III）求异面直线 AD 与 BC 1 所成角的大小． 【练 63 】（ 2005 高 考 淅 江 东 ） 如图, 在 三 棱 锥 ABCP  中, BCAB  , kPABCAB  , 点 O 、 D 分别是 AC 、 PC 的中点, ABCOP 底面 .(I) 求证 PABOD 底面 ; (II) 当 2 1k 时,求直线 PA 与 平面 PBC 所成角的大小;(III) 当 k 取何值时, O 在平面 PBC 内的射影恰好为 PBC 的重心? 东经120o 南纬75o 北纬45o B A C D B C P D A o 例 64、（ 2003 年天津理 12）棱长为 a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为 （ ）A、 3 3 a B、 3 4 a C、 3 6 a D、 3 12 a 【练 64】（ 2004 全国 20）如图四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 为 矩 形，AB=8，AD= 43，侧面 PAD 为 等边三角形，并且与底面成二面角 为 060 。求四棱锥 P—ABCD 的体积。 例 65、（ 2005 年春季上海 19）如图，已知正三棱锥 P—ABC 的体积为 72 3 ，侧面与底面所成的二面角的大小为 。 （1） 证明 PA BC ； （2） 求底面中心 O 到侧面的距离。 【练 65】 如图，直三棱柱 ABC—A1B1C1 中， 底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°， 侧棱 AA1=2，D、E 分别是 CC1 与 A1B 的中点， 点 E 在平面 ABD 上的射影是△ABD 的垂心 G. （Ⅰ）求 A1B 与平面 ABD 所成角的大小 （结果用反三角函数值表示）； （Ⅱ）求点 A1 到平面 AED 的距离. 例 62、 如图所示，在正三棱柱 ABC－A1B1C1 中，已知 AA1＝A1C1＝a，E 为 BB1 的 中点，若截面 A1EC⊥侧面 AC1．求截面 A1EC 与底面 A1B1C1 所成锐二面角度数． 【练 65】如图，已知直三棱柱 ABC－A1B1C1，侧棱长为 2，底面△ABC 中， ∠B=90°，AB=1，BC= 3 ，D 是侧棱 CC1 上一点，且 BD 与底面所成角为 30°. （1）求点 D 到 AB 所在直线的距离. （2）求二面角 A1－BD－B1 的度数. 例 66、过点（0，3）作直线 l，如果它与双曲线 22 143 xy只有一个公共点，则直线 l 的条数是（ ） A、1 B、2 C、3 D、4 【练 66】（ 2004 年浙江，理 21）如图已知双曲线的中心在原点， 右顶点为 A（1，0）P、Q 在双曲线的右支上，点 M（m，0）到 直线 AP 的距离为 1。 （1）若直线 AP 的斜率为 1，且 3 ,33k   ，求实数 m 的取值范围。