2020_2021学年新教材高中数学第二章直线和圆的方程2 21页

2.2.2 　直线的两点式方程 激趣诱思 知识点拨 通过前面的学习 , 我们知道两点可以确定一条直线 , 已知两点坐标也可以利用公式得到直线的斜率 . 如果已知直线上两个定点的坐标 , 能否得出直线的方程呢 ? 这个方程与这两点坐标有什么关系呢 ? 激趣诱思 知识点拨 一、直线的两点式 方程 激趣诱思 知识点拨 名师点析 1 . 当过两点 ( x 1 , y 1 ),( x 2 , y 2 ) 的直线斜率不存在 ( x 1 =x 2 ) 或斜率为 0( y 1 =y 2 ) 时 , 不能用两点式方程表示 , 即两点式方程不能表示与坐标轴垂直的直线 . 2 . 在记忆和使用两点式直线方程时 , 必须注意坐标的对应关系 , 即 x 1 , y 1 是同一个点的坐标 , x 2 , y 2 是另一个点的坐标 . 3 . 对于两点式中的两个点 , 只要是直线上的两个点即可 ; 另外 , 两点式方程与这两个点的顺序无关 , 如直线过点 P 1 (1,1), P 2 (2,3), 由两 点 激趣诱思 知识点拨 微思考 把由直线上已知的两点坐标得到的直线方程化为整式 形式 ( y-y 1 )( x 2 -x 1 ) = ( y 2 -y 1 )( x-x 1 ), 对两点的坐标还有限制条件吗 ? 答案 : 这个方程对两点的坐标没有限制 , 即它可以表示过任意两点的直线方程 . 微练习 已知直线 l 过点 A (3,1), B (2,0), 则直线 l 的方程为 　　　　　 .   答案 : x-y- 2 = 0 激趣诱思 知识点拨 二、直线的截距式 方程 名师点析 直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况 , 由直线的截距式方程可以直接读出直线在 x 轴和 y 轴上的截距 , 所以截距式在解决直线与坐标轴围成的三角形的面积和周长问题时非常方便 . 激趣诱思 知识点拨 A. a 2 　　　　　　　　 B. b 2 C. -b 2 D . |b| 答案 : C 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 直线的两点式方程 例 1 已知三角形的三个顶点 A ( - 4,0), B (0, - 3), C ( - 2,1), 求 : (1) BC 边所在的直线方程 ; (2) BC 边上中线所在的直线方程 . 思路分析 : 已知直线上两个点的坐标 , 可以利用两点式写出直线的方程 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 反思感悟 两点式方程的应用 用两点式方程写出直线的方程时 , 要特别注意横坐标相等或纵坐标相等时 , 不能用两点式 . 已知直线上的两点坐标 , 也可先求出斜率 , 再利用点斜式写出直线方程 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 延伸探究 例 1 已知条件不变 , 求 : (1) AC 边所在的直线方程 ; (2) AC 边上中线所在的直线方程 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 直线的截距式方程 例 2 过点 P (1,3), 且与 x 轴、 y 轴的正半轴围成的三角形的面积等于 6 的直线方程是 ( 　　 ) A.3 x+y- 6 = 0 B. x+ 3 y- 10 = 0 C.3 x-y= 0 D. x- 3 y+ 8 = 0 思路分析 : 设出直线的截距式方程 , 然后利用点 P 在直线上以及三角形的面积列出参数所满足的条件 , 解方程求出参数 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 答案 : A 反思感悟 截距式方程的应用 在涉及直线与两个坐标轴的截距问题时 , 常把直线方程设为截距式 , 由已知条件建立关于两截距的方程 , 解得截距的值 , 从而确定方程 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 变式训练 1 直线 l 过点 ( - 3,4), 且在两坐标轴上的截距之和为 12, 求直线 l 的方程 . 解 : 由于直线在两坐标轴上的截距之和为 12, 因此直线 l 在两坐标轴上的截距都存在且不过原点 , 故可设为截距式直线方程 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 变式训练 2 将变式训练 1 中的条件 “ 在两坐标轴上的截距之和为 12” 改为 “ 在两坐标轴上的截距的绝对值相等 ”, 求直线 l 的方程 . 解 : 设直线 l 在 x 轴、 y 轴上的截距分别为 a , b. (1) 当 a ≠0, b ≠0 时 , 若 a=b , 则 a=b= 1, 直线方程为 x+y- 1 = 0; 若 a=-b , 则 a=- 7, b= 7, 直线方程为 x-y+ 7 = 0 . (2) 当 a=b= 0 时 , 直线过原点 , 且过 ( - 3,4), 所以直线方程为 4 x+ 3 y= 0 . 综上所述 , 所求直线方程为 : x+y- 1 = 0 或 x-y+ 7 = 0 或 4 x+ 3 y= 0 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 截距式方程在实际问题中的应用 典例 如图 , 某小区内有一块荒地 ABCDE , 已知 BC= 210 m, CD= 240 m, DE= 300 m, EA= 180 m, AE ∥ CD , BC ∥ DE , ∠ C= 90 ° , 今欲在该荒地上划出一块长方形地面 ( 不改变方位 ) 进行开发 . 问如何设计才能使开发的面积最大 ? 最大开发面积是多少 ? 分析 将问题转化为在线段 AB 上求一点 P , 使矩形面积最大 , 根据图形特征 , 可建立适当的坐标系 , 求出 AB 的方程 . 这里设点 P 的坐标是关键 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 解 : 以 BC 所在直线为 x 轴 , AE 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系 ( 如图 ), 由已知可得 A (0,60), B (90,0), 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 方法总结 二次函数最值问题 , 一方面要看顶点位置 , 另一方面还要看定义域的范围 . 结合图形求解 , 有时并非在顶点处取得最值 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 1 . 过 P 1 (2,0), P 2 (0,3) 两点的直线方程是 ( 　　 ) 答案 : C 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 2 . 已知 △ ABC 三顶点 A (1,2), B (3,6), C (5,2), M 为 AB 的中点 , N 为 AC 的中点 , 则中位线 MN 所在的直线方程为 ( 　　 ) A.2 x+y- 8 = 0 B.2 x-y+ 8 = 0 C.2 x+y- 12 = 0 D.2 x-y- 12 = 0 答案 : A 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 3 . 若点 P (3, m ) 在过点 A (2, - 1), B ( - 3,4) 的直线上 , 则 m= 　　　　 .   答案 : - 2 4 . 直线 ax+by= 1( ab ≠0) 与两坐标轴围成的三角形的面积是 　　　　　 .