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- 2021-06-16 发布
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1.二项式定理
二项式定理
(a+b)n=Can+Can-1b1+…+Can-kbk+…+Cbn(n∈N*)
二项展开式的通项公式
Tk+1=Can-kbk,它表示第k+1项
二项式系数
二项展开式中各项的系数C(k∈{0,1,2,…,n})
2.二项式系数的性质
(1)C=1,C=1.
C=C+C.
(2)C=C.
(3)n是偶数时,项的二项式系数最大;n是奇数时,与项的二项式系数相等且最大.
(4)C+C+C+…+C=2n.
【知识拓展】
二项展开式形式上的特点
(1)项数为n+1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到零;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增1直到n.
(4)二项式的系数从C,C,一直到C,C.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)Can-kbk是二项展开式的第k项.( × )
(2)二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项.( × )
(3)(a+b)n的展开式中某一项的二项式系数与a,b无关.( √ )
(4)在(1-x)9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项.( × )
(5)若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,则a7+a6+…+a1的值为128.( × )
1.(教材改编)(x-y)n的二项展开式中,第m项的系数是( )
A.C B.C
C.C D.(-1)m-1C
答案 D
解析 (x-y)n展开式中第m项的系数为C(-1)m-1.
2.(2016·四川)设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为( )
A.-15x4 B.15x4
C.-20ix4 D.20ix4
答案 A
解析 由题意可知,含x4的项为Cx4i2=-15x4.故选A.
3.(2016·云南部分名校1月统一考试)已知,那么n展开式中含x2项的系数为( )
A.130 B.135 C.121 D.139
答案 B
解析 根据题意,则6中,由二项式定理得通项公式为Tk+1=C(-3)kx6-2k,令6-2k=2,得k=2,所以系数为C×9=135.
4.在(-)n的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式中常数项是________.
答案 7
解析 由题意知+1=5,解得n=8,
(-)8的展开式的通项Tk+1=C()8-k(-)k
=,
令8-=0,得k=6,
则展开式中的常数项为(-1)626-8C=7.
题型一 二项展开式
命题点1 求二项展开式中的特定项或指定项的系数
例1 (1)(2016·全国乙卷)(2x+)5的展开式中,x3的系数是______________.(用数字填写答案)
(2)(2015·课标全国Ⅰ)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为( )
A.10 B.20
C.30 D.60
答案 (1)10 (2)C
解析 (1)(2x+)5展开式的通项公式 k∈{0,1,2,3,4,5},令5-=3,解得k=4,得∴x3的系数是10.
(2)方法一 利用二项展开式的通项公式求解.
(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5,
含y2的项为T3=C(x2+x)3·y2.
其中(x2+x)3中含x5的项为Cx4·x=Cx5.
所以x5y2的系数为CC=30.故选C.
方法二 利用组合知识求解.
(x2+x+y)5为5个x2+x+y之积,其中有两个取y,两个取x2,一个取x即可,所以x5y2的系数为CC=30.故选C.
命题点2 已知二项展开式某项的系数求参数
例2 (1)(2015·课标全国Ⅱ)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a
=____________.
(2)(2016·山东)若5的展开式中x5的系数为-80,则实数a=________.
答案 (1)3 (2)-2
解析 (1)设(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,
令x=1,得16(a+1)=a0+a1+a2+a3+a4+a5,①
令x=-1,得0=a0-a1+a2-a3+a4-a5.②
①-②,得16(a+1)=2(a1+a3+a5),
即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1+a3+a5=8(a+1),所以8(a+1)=32,解得a=3.
(2)
∴10-k=5,解得k=2,∴a3C=-80,解得a=-2.
思维升华 求二项展开式中的特定项,一般是利用通项公式进行,化简通项公式后,令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零;求有理项时,指数为整数等),解出项数k+1,代回通项公式即可.
(1)(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为________.(用数字填写答案)
(2)(x+a)10的展开式中,x7的系数为15,则a=________.(用数字填写答案)
答案 (1)-20 (2)
解析 (1)x2y7=x·(xy7),其系数为C,
x2y7=y·(x2y6),其系数为-C,
∴x2y7的系数为C-C=8-28=-20.
(2)设通项为Tk+1=Cx10-kak,令10-k=7,
∴k=3,∴x7的系数为Ca3=15,
∴a3=,∴a=.
题型二 二项式系数的和或各项系数的和的问题
例3 在(2x-3y)10的展开式中,求:
(1)二项式系数的和;
(2)各项系数的和;
(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;
(4)奇数项系数和与偶数项系数和;
(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.
解 设(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a10y10,(*)
各项系数的和为a0+a1+…+a10,奇数项系数和为a0+a2+…+a10,偶数项系数和为a1+a3+a5+…+a9,x的奇次项系数和为a1+a3+a5+…+a9,x的偶次项系数和为a0+a2+a4+…+a10.
由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.
(1)二项式系数的和为C+C+…+C=210.
(2)令x=y=1,各项系数和为(2-3)10=(-1)10=1.
(3)奇数项的二项式系数和为C+C+…+C=29,
偶数项的二项式系数和为C+C+…+C=29.
(4)令x=y=1,得到a0+a1+a2+…+a10=1,①
令x=1,y=-1(或x=-1,y=1),
得a0-a1+a2-a3+…+a10=510,②
①+②得2(a0+a2+…+a10)=1+510,
∴奇数项系数和为;
①-②得2(a1+a3+…+a9)=1-510,
∴偶数项系数和为.
(5)x的奇次项系数和为a1+a3+a5+…+a9=;
x的偶次项系数和为a0+a2+a4+…+a10=.
思维升华 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m (a,b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对形如(ax+by)n (a,b∈R)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.
(2)若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=,偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=.
(1)(2016·北京海淀区模拟)设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b,若13a=7b,则m等于( )
A.5 B.6 C.7 D.8
答案 B
解析 由题意得a=C,b=C,
∴13C=7C,
∴=,
∴=13,解得m=6,
经检验符合题意,故选B.
(2)若(1-2x)2 016=a0+a1x+a2x2+…+a2 016x2 016,则++…+的结果是多少?
解 当x=0时,左边=1,右边=a0,∴a0=1.
当x=时,左边=0,右边=a0+++…+,
∴0=1+++…+.
即++…+=-1.
题型三 二项式定理的应用
例4 (1)设a∈Z且0≤a<13,若512 012+a能被13整除,则a等于( )
A.0 B.1 C.11 D.12
(2)1.028的近似值是________.(精确到小数点后三位)
答案 (1)D (2)1.172
解析 (1)512 012+a=(52-1)2 012+a=C·522 012-C·522 011+…+C×52·(-1)2 011+C·(-1)2 012+a,
∵C·522 012-C·522 011+…+C×52·(-1)2 011能被13整除且512 012+a能被13整除,
∴C·(-1)2 012+a=1+a也能被13整除,因此a的值为12.
(2)1.028=(1+0.02)8≈C+C·0.02+C·0.022+C·0.023≈1.172.
思维升华 (1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题,整除问题中要关注展开式的最后几项,而求近似值则应关注展开式的前几项.
(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理,注意选择合适的形式.
(1)1-90C+902C-903C+…+(-1)k90kC+…+9010C除以88的余数是( )
A.-1 B.1 C.-87 D.87
答案 B
解析 1-90C+902C-903C+…+(-1)k90kC+…+9010C=(1-90)10=8910=(88+1)10=8810+C889+…+C88+1,∵前10项均能被88整除,∴余数是1.
(2)已知2n+2·3n+5n-a能被25整除,求正整数a的最小值.
解 原式=4·6n+5n-a=4(5+1)n+5n-a
=4(C5n+C5n-1+…+C52+C5+C)+5n-a
=4(C5n+C5n-1+…+C52)+25n+4-a,
显然正整数a的最小值为4.
15.二项展开式的系数与二项式系数
典例 (1)(2016·河北武邑中学期末)若(-)n展开式的各项系数绝对值之和为1 024,则展开式中含x项的系数为________.
(2)(2016·河北邯郸一中调研)已知(x-m)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7的展开式中x4的系数是-35,则a1+a2+…+a7=________.
错解展示
解析 (1)(+)n展开式中,令x=1可得4n=1 024,∴n=5,
∴(-)n展开式的通项Tk+1=(-3)k·C·,
令=1,得k=1.
故展开式中含x项的系数为C=5.
(2)a1+a2+…+a7=C+C+…+C=27-1.
答案 (1)5 (2)27-1
现场纠错
解析 (1)在(+)n的展开式中,令x=1,
可得(-)n展开式的各项系数绝对值之和为4n=22n=1 024=210,∴n=5.
故(-)5展开式的通项为Tk+1=(-3)k·C·,
令=1,得k=1,
故展开式中含x项的系数为-15.
(2)∵(x-m)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,
令x=0,∴a0=(-m)7.
又∵展开式中x4的系数是-35,∴C·(-m)3=-35,
∴m=1.∴a0=(-m)7=-1.
在(x-m)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7中,
令x=1,得0=-1+a1+a2+…+a7,
即a1+a2+a3+…+a7=1.
答案 (1)-15 (2)1
纠错心得 和二项展开式有关的问题,要分清所求的是展开式中项的系数还是二项式系数,
是系数和还是二项式系数的和.
1.在x2(1+x)6的展开式中,含x4项的系数为( )
A.30 B.20 C.15 D.10
答案 C
解析 因为(1+x)6的展开式的第k+1项为Tk+1=Cxk,x2(1+x)6的展开式中含x4的项为Cx4=15x4,所以系数为15.
2.(2015·湖南)已知5的展开式中含的项的系数为30,则a等于( )
A. B.- C.6 D.-6
答案 D
解析 5的展开式通项令-k=,则k=1,
∴-aC=30,∴a=-6,故选D.
3.(4x-2-x)6(x∈R)展开式中的常数项是( )
A.-20 B.-15
C.15 D.20
答案 C
解析 设展开式中的常数项是第k+1项,则Tk+1=C·(4x)6-k·(-2-x)k=C·(-1)k·212x-2kx·2-kx=C·(-1)k·212x-3kx,
∵12x-3kx=0恒成立,∴k=4,
∴T5=C·(-1)4=15.
4.(2015·湖北)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( )
A.29 B.210 C.211 D.212
答案 A
解析 由题意,C=C,解得n=10,则奇数项的二项式系数和为2n-1=29.故选A.
5.若在(x+1)4(ax-1)的展开式中,x4的系数为15,则a的值为( )
A.-4 B. C.4 D.
答案 C
解析 ∵(x+1)4(ax-1)=(x4+4x3+6x2+4x+1)(ax-1),∴x4的系数为4a-1=15,∴a=4.
6.若(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+an(1-x)n,则a0-a1+a2-a3+…+(-1)nan等于( )
A.(3n-1) B.(3n-2)
C.(3n-2) D.(3n-1)
答案 D
解析 在展开式中,令x=2,得3+32+33+…+3n=a0-a1+a2-a3+…+(-1)nan,
即a0-a1+a2-a3+…+(-1)nan=
=(3n-1).
7.若(x+a)2(-1)5的展开式中常数项为-1,则a的值为( )
A.1 B.9
C.-1或-9 D.1或9
答案 D
解析 由于(x+a)2=x2+2ax+a2,而(-1)5的展开式通项为Tk+1=(-1)kC·xk-5,其中k=0,1,2,…,5.于是(-1)5的展开式中x-2的系数为(-1)3C=-10,x-1项的系数为(-1)4C=5,常数项为-1,因此(x+a)2(-1)5的展开式中常数项为1×(-10)+2a×5+a2×(-1)=-a2+10a-10,依题意-a2+10a-10=-1,解得a2-10a+9=0,即a=1或a=9.
8.(2016·北京)在(1-2x)6的展开式中,x2的系数为________.(用数字作答)
答案 60
解析 展开式的通项Tk+1=C·16-k·(-2x)k=C(-2)k·xk.令k=2,得T3=C·4x2=60x2,即x2的系数为60.
9.(2016·天津)8的展开式中x7的系数为________.(用数字作答)
答案 -56
解析 8的通项Tk+1=C(x2)8-kk=(-1)kCx16-3k,当16-3k=7时,k=3,则x7的系数为(-1)3C=-56.
10.若将函数f(x)=x5表示为f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,其中a0,a1,a2,…,a5为实数,则a3=________.
答案 10
解析 f(x)=x5=(1+x-1)5,
它的通项为Tk+1=C(1+x)5-k·(-1)k,
T3=C(1+x)3(-1)2=10(1+x)3,∴a3=10.
11.(1+x)8(1+y)4的展开式中x2y2的系数是________.
答案 168
解析 ∵(1+x)8的通项为Cxk,(1+y)4的通项为Cyt,∴(1+x)8(1+y)4的通项为CCxkyt,令k=2,t=2,得x2y2的系数为CC=168.
12.已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7.
求:(1)a1+a2+…+a7;
(2)a1+a3+a5+a7;
(3)a0+a2+a4+a6;
(4)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|.
解 令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7
=-1.①
令x=-1,则a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37.②
(1)∵a0=C=1,∴a1+a2+a3+…+a7=-2.
(2)(①-②)÷2,
得a1+a3+a5+a7==-1 094.
(3)(①+②)÷2,
得a0+a2+a4+a6==1 093.
(4)方法一 ∵(1-2x)7展开式中,a0、a2、a4、a6大于零,而a1、a3、a5、a7小于零,
∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7)=1 093-(-1 094)=2 187.
方法二 |a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|,
即(1+2x)7展开式中各项的系数和,令x=1,
∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=37=2 187.
13.求证:1+2+22+…+25n-1(n∈N*)能被31整除.
证明 ∵1+2+22+…+25n-1=
=25n-1=32n-1=(31+1)n-1
=C×31n+C×31n-1+…+C×31+C-1
=31(C×31n-1+C×31n-2+…+C),
显然C×31n-1+C×31n-2+…+C为整数,
∴原式能被31整除.
*14.若(+)n展开式中前三项的系数成等差数列,求:
(1)展开式中所有x的有理项;
(2)展开式中系数最大的项.
解 (1)易求得展开式前三项的系数为1,C,C.
据题意得2×C=1+C⇒n=8.
设展开式中的有理项为Tk+1,
∴k为4的倍数,又0≤k≤8,∴k=0,4,8.
故有理项为
(2)设展开式中Tk+1项的系数最大,
则⇒k=2或k=3.
故展开式中系数最大的项为
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