- 548.50 KB
- 2021-06-16 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
第2讲 空间点、线、面的位置关系
高考定位 1.以几何体为载体考查空间点、线、面位置关系的判断,主要以选择、填空题的形式,题目难度较小;2.以解答题的形式考查空间平行、垂直的证明,并常与几何体的表面积、体积相渗透.
真 题 感 悟
1.(2017·全国Ⅰ卷)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是( )
解析 法一 对于选项B,如图(1)所示,连接CD,因为AB∥CD,M,Q分别是所在棱的中点,所以MQ∥CD,所以AB∥MQ,又AB⊄平面MNQ,MQ⊂平面MNQ,所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C,D中均有AB∥平面MNQ.因此A项中直线AB与平面MNQ不平行.
图(1) 图(2)
法二 对于选项A,其中O为BC的中点(如图(2)所示),连接OQ,则OQ∥AB,因为OQ与平面MNQ有交点,所以AB与平面MNQ有交点,即AB与平面MNQ
不平行.A项中直线AB与平面MNQ不平行.
答案 A
2.(2018·全国Ⅰ卷)已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )
A. B.
C. D.
解析 如图,依题意,平面α与棱BA,BC,BB1所在直线所成角都相等,容易得到平面AB1C符合题意,进而所有平行于平面AB1C的平面均符合题意.
由对称性,知过正方体ABCD-A1B1C1D1中心的平面面积应取最大值,此时截面为正六边形EFGHIJ.正六边形EFGHIJ的边长为,将该正六边形分成6个边长为的正三角形.故其面积为6××=.
答案 A
3.(2017·全国Ⅰ卷)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.
(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,且四棱锥P-ABCD的体积为,求该四棱锥的侧面积.
(1)证明 ∵∠BAP=∠CDP=90°,
∴AB⊥PA,CD⊥PD.
∵AB∥CD,∴AB⊥PD.
又∵PA∩PD=P,PA,PD⊂平面PAD,
∴AB⊥平面PAD.
∵AB⊂平面PAB,
∴平面PAB⊥平面PAD.
(2)解 取AD的中点E,
连接PE.
∵PA=PD,∴PE⊥AD.
由(1)知,AB⊥平面PAD,PE⊂平面PAD,故AB⊥PE,又AB∩AD=A,可得PE⊥平面ABCD.
设AB=x,则由已知可得AD=x,PE=x,
故四棱锥P-ABCD的体积
VP-ABCD=AB·AD·PE=x3.
由题设得x3=,故x=2.
从而PA=PD=AB=DC=2,AD=BC=2,PB=PC=2,
可得四棱锥P-ABCD的侧面积为
PA·PD+PA·AB+PD·DC+BC2sin 60°=6+2.
考 点 整 合
1.直线、平面平行的判定及其性质
(1)线面平行的判定定理:a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α.
(2)线面平行的性质定理:a∥α,a⊂β,α∩β=b⇒a∥b.
(3)面面平行的判定定理:a⊂β,b⊂β,a∩b=P,a∥α,b∥α⇒α∥β.
(4)面面平行的性质定理:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b.
2.直线、平面垂直的判定及其性质
(1)线面垂直的判定定理:m⊂α,n⊂α,m∩n=P,l⊥m,l⊥n⇒l⊥α.
(2)线面垂直的性质定理:a⊥α,b⊥α⇒a∥b.
(3)面面垂直的判定定理:a⊂β,a⊥α⇒α⊥β.
(4)面面垂直的性质定理:α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β.
热点一 空间点、线、面位置关系的判定
【例1】 (2018·成都诊断)已知m,n是空间中两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且m⊂α,n⊂β.有下列命题:
①若α∥β,则m∥n;
②若α∥β,则m∥β;
③若α∩β=l,且m⊥l,n⊥l,则α⊥β;
④若α∩β=l,且m⊥l,m⊥n,则α⊥β.
其中真命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析 ①若α∥β,则m∥n或m,n异面,不正确;
②若α∥β,根据平面与平面平行的性质,可得m∥β,正确;
③若α∩β=l,且m⊥l,n⊥l,则α与β不一定垂直,不正确;
④若α∩β=l,且m⊥l,m⊥n,l与n不一定相交,不能推出α⊥β,不正确.
答案 B
探究提高 1.判断与空间位置关系有关的命题真假的方法
(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断.
(2)借助空间几何模型,如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系,结合有关定理,进行肯定或否定.
2.两点注意:(1)平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中;(2)当从正面入手较难时,可利用反证法,推出与题设或公认的结论相矛盾的命题,进而作出判断.
【训练1】 (1)(2018·石家庄调研)如图,在三棱台ABC-A1B1C1的6个顶点中任取3个点作平面α,设α∩平面ABC=l,若l∥A1C1,则这3个点可以是( )
A.B,C,A1 B.B1,C1,A
C.A1,B1,C D.A1,B,C1
(2)(2018·菏泽模拟)已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列正确的是( )
A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β
C.若m∥α,n∥β,则α∥β D.若m⊥α,n⊥α,则m∥n
解析 (1)在棱台中,AC∥A1C1,l∥A1C1,则l∥AC或l为直线AC.因此平面α可以过点A1,B,C1,选项D正确.
(2)结合长方体模型,易判定选项A,B,C不正确.由线面垂直的性质,当m⊥α,n⊥α时,有m∥n,D项正确.
答案 (1)D (2)D
热点二 空间平行、垂直关系的证明
【例2】 如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和F分别是CD和PC的中点,求证:
(1)PA⊥底面ABCD;
(2)BE∥平面PAD;
(3)平面BEF⊥平面PCD.
证明 (1)∵平面PAD⊥底面ABCD,
且PA垂直于这两个平面的交线AD,PA⊂平面PAD,
∴PA⊥底面ABCD.
(2)∵AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点,
∴AB∥DE,且AB=DE.
∴四边形ABED为平行四边形.
∴BE∥AD.
又∵BE⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,
∴BE∥平面PAD.
(3)∵AB⊥AD,而且ABED为平行四边形.
∴BE⊥CD,AD⊥CD,
由(1)知PA⊥底面ABCD,且CD⊂平面ABCD,
∴PA⊥CD,且PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD,
∴CD⊥平面PAD,又PD⊂平面PAD,
∴CD⊥PD.
∵E和F分别是CD和PC的中点,∴PD∥EF.
∴CD⊥EF,又BE⊥CD且EF∩BE=E,
∴CD⊥平面BEF,又CD⊂平面PCD,
∴平面BEF⊥平面PCD.
【迁移探究1】 在本例条件下,证明平面BEF⊥平面ABCD.
证明 如图,连接AC,设AC∩BE=O,连接FO,AE.
∵AB∥CD,CD=2AB,CE=CD,
∴AB綉CE.
∴四边形ABCE为平行四边形.
∴O为AC的中点,又F为PC的中点,则FO∥PA,又PA⊥平面ABCD,
∴FO⊥平面ABCD.又FO⊂平面BEF,
∴平面BEF⊥平面ABCD.
【迁移探究2】 在本例条件下,若AB=BC,求证:BE⊥平面PAC.
证明 连接AC,设AC∩BE=O.
AB∥CD,CD=2AB,且E为CD的中点.
∴AB綉CE.又∵AB=BC,
∴四边形ABCE为菱形,∴BE⊥AC.
又∵PA⊥平面ABCD,又BE⊂平面ABCD,∴PA⊥BE,
又PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,
∴BE⊥平面PAC.
探究提高 垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.
(1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行.
(2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直.
(3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.
(4)证明面面垂直,需转化为证明线面垂直,进而转化为证明线线垂直.
【训练2】 (2018·北京卷)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点.
(1)求证:PE⊥BC;
(2)求证:平面PAB⊥平面PCD;
(3)求证:EF∥平面PCD.
证明 (1)因为PA=PD,E为AD的中点,
所以PE⊥AD.
因为底面ABCD为矩形,
所以BC∥AD.所以PE⊥BC.
(2)因为底面ABCD为矩形,所以AB⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,AB⊂平面ABCD,
所以AB⊥平面PAD,且PD⊂平面PAD.
所以AB⊥PD.
又因为PA⊥PD,且PA∩AB=A,
所以PD⊥平面PAB.又PD⊂平面PCD,
所以平面PAB⊥平面PCD.
(3)如图,取PC中点G,连接FG,DG.
因为F,G分别为PB,PC的中点,
所以FG∥BC,FG=BC.
因为ABCD为矩形,且E为AD的中点,
所以DE∥BC,DE=BC.
所以DE∥FG,DE=FG.
所以四边形DEFG为平行四边形.
所以EF∥DG.
又因为EF⊄平面PCD,DG⊂平面PCD,
所以EF∥平面PCD.
热点三 平面图形中的折叠问题
【例3】 (2016·全国Ⅱ卷)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H,将△DEF沿EF折到△D′EF的位置.
(1)证明:AC⊥HD′;
(2)若AB=5,AC=6,AE=,OD′=2,求五棱锥D′-ABCFE的体积.
(1)证明 由已知得AC⊥BD,AD=CD,
又由AE=CF得=,故AC∥EF,
由此得EF⊥HD,故EF⊥HD′,所以AC⊥HD′.
(2)解 由EF∥AC得==.
由AB=5,AC=6得DO=BO==4,
所以OH=1,D′H=DH=3,
于是OD′2+OH2=(2)2+12=9=D′H2,
故OD′⊥OH.
由(1)知AC⊥HD′,又AC⊥BD,BD∩HD′=H,
所以AC⊥平面BHD′,于是AC⊥OD′,
又由OD′⊥OH,AC∩OH=O,
所以OD′⊥平面ABC.又由=得EF=.
五边形ABCFE的面积S=×6×8-××3=.
所以五棱锥D′-ABCFE的体积V=××2=.
探究提高 1.解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量,一般情况下,线段的长度是不变量,而位置关系往往会发生变化,抓住不变量是解决问题的突破口.一般地翻折后还在同一个平面上的图形的性质不发生变化,不在同一个平面上的图形的性质发生变化.
2.在解决问题时,要综合考虑折叠前后的图形,既要分析折叠后的图形,也要分析折叠前的图形,善于将折叠后的量放在原平面图形中进行分析求解.
【训练3】 (2018·全国Ⅰ卷)如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=90°.以AC为折痕将△ACM折起,使点M到达点D的位置,且AB⊥DA.
(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;
(2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=DA,求三棱锥Q-ABP的体积.
(1)证明 由已知可得,∠BAC=90°,即BA⊥AC.
又BA⊥AD,AC∩AD=D,AC,AD⊂平面ACD,
所以AB⊥平面ACD.
又AB⊂平面ABC,
所以平面ACD⊥平面ABC.
(2)解 由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=AM=3.
又BP=DQ=DA,
所以BP=2.
作QE⊥AC,垂足为E,则QE綉DC.
由已知及(1)可得DC⊥平面ABC,
所以QE⊥平面ABC,QE=1.
因此,三棱锥Q-ABP的体积为
VQ-ABP=×QE×S△ABP=×1××3×2sin 45°=1.
1.空间中点、线、面的位置关系的判定
(1)可以从线、面的概念、定理出发,学会找特例、反例.(2)可以借助长方体,在理解空间点、线、面位置关系的基础上,抽象出空间线、面的位置关系的定义.
2.垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行,常用方法如下:
(1)证明线线平行常用的方法:一是利用平行公理,即证两直线同时和第三条直线平行;二是利用平行四边形进行平行转换:三是利用三角形的中位线定理证线线平行;四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换.
(2)证明线线垂直常用的方法:①利用等腰三角形底边中线即高线的性质;②勾股定理;③线面垂直的性质:即要证两线垂直,只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可,l⊥α,a⊂α⇒l⊥a.
3.解决平面图形的翻折问题,关键是抓住平面图形翻折前后的不变“性”与“量”,即两条直线的平行与垂直关系以及相关线段的长度、角度等.
一、选择题
1.(2018·浙江卷)已知平面α,直线m,n满足m⊄α,n⊂α,则“m∥n”是“m∥α”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 若m⊄α,n⊂α,m∥n,由线面平行的判定定理知m∥α.若m∥α,m⊄α,n⊂α,不一定推出m∥n,直线m与n可能异面.故“m∥n”是“m∥α”
的充分不必要条件.
答案 A
2.(2017·全国Ⅲ卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则( )
A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BD
C.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC
解析 如图,由题设知,A1B1⊥平面BCC1B1,从而A1B1⊥BC1.
又B1C⊥BC1,且A1B1∩B1C=B1,所以BC1⊥平面A1B1CD,又A1E⊂平面A1B1CD,所以A1E⊥BC1.
答案 C
3.(2018·湖南师大联考)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点M是对角线C1B上的动点,则CM+MD1的最小值为( )
A. B.2+
C.+ D.2
解析 将△CBC1沿BC,CC1剪开,并沿BC1折起,使平面CBC1和平面BC1D1A共面如图.连D1C″交BC′于点M.则CM+MD1最短(即线段C″D1),在△D1C1C″中,∠D1C1C″=135°,由余弦定理,得C″D=12+12-2×12·cos 135°=2+.故CM+MD1的最小值为.
答案 A
4.(2018·全国Ⅱ卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为( )
A. B. C. D.
解析 如图,连接BE,因为AB∥CD,所以异面直线AE与CD所成的角等于相交直线AE与AB所成的角,即∠EAB.不妨设正方体的棱长为2,则CE=1,BC=2,由勾股定理得BE=.又由AB⊥平面BCC1B1及BE⊂平面BCC1B1,可得AB⊥BE,所以tan∠EAB==.
答案 C
5.(2018·安徽江南联考)对于四面体ABCD,有以下命题:①若AB=AC=AD,则AB,AC,AD与底面所成的角相等;②若AB⊥CD,AC⊥BD,则点A在底面BCD内的射影是△BCD的内心;③四面体ABCD的四个面中最多有四个直角三角形;④若四面体ABCD的6条棱长都为1,则它的内切球的表面积为.其中正确的命题是( )
A.①③ B.③④ C.①②③ D.①③④
解析 ①正确,若AB=AC=AD,则AB,AC,AD在底面的射影相等,即与底面所成角相等;
②不正确,如图(1),点A在平面BCD的射影为点O,连接BO,CO,可得BO⊥CD,CO⊥BD,所以点O是△BCD的垂心;
图(1) 图(2)
③正确,如图(2),若AB⊥平面BCD,∠BCD=90°,则四面体ABCD的四个面均为直角三角形;
④正确,正四面体的内切球的半径为r,棱长为1,高为,根据等体积公式×S×=×4×S×r,解得r=,那么内切球的表面积S=4πr2=.
故正确的命题是①③④.
答案 D
二、填空题
6.如图,在空间四边形ABCD中,点M∈AB,点N∈AD,若=
eq f(AN,ND),则直线MN与平面BDC的位置关系是______.
解析 由=,得MN∥BD.
而BD⊂平面BDC,MN⊄平面BDC,
所以MN∥平面BDC.
答案 平行
7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为线段B1D1上的一个动点,则下列结论中正确的是________(填序号).
①AC⊥BE;
②B1E∥平面ABCD;
③三棱锥E-ABC的体积为定值;
④直线B1E⊥直线BC1.
解析 因AC⊥平面BDD1B1,而BE⊂平面BDD1B1,故①正确;因B1D1∥平面ABCD,故②正确;记正方体的体积为V,则VE-ABC=V,为定值,故③正确;B1E与BC1不垂直,故④错误.
答案 ①②③
8.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥A-BCD中,下列命题正确的是________(填序号).
①平面ABD⊥平面ABC ②平面ADC⊥平面BDC
③平面ABC⊥平面BDC ④平面ADC⊥平面ABC
解析 因为在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,
∠BCD=45°,∠BAD=90°,所以BD⊥CD,
又平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,CD⊂平面BCD,
所以CD⊥平面ABD,又AB⊂平面ABD,则CD⊥AB,
又AD⊥AB,AD∩CD=D,
所以AB⊥平面ADC,又AB⊂平面ABC,
所以平面ABC⊥平面ADC.
答案 ④
三、解答题
9.(2018·江苏卷)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB,AB1⊥B1C1.
求证:(1)AB∥平面A1B1C;
(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.
证明 (1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB∥A1B1.因为AB⊄平面A1B1C,A1B1⊂平面A1B1C,所以AB∥平面A1B1C.
(2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABB1A1为平行四边形.
又因为AA1=AB,所以四边形ABB1A1为菱形,
因此AB1⊥A1B.
又因为AB1⊥B1C1,BC∥B1C1,
所以AB1⊥BC.
又因为A1B∩BC=B,A1B⊂平面A1BC,BC⊂平面A1BC,
所以AB1⊥平面A1BC.
因为AB1⊂平面ABB1A1,
所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.
10.(2018·潍坊三模)如图所示,五面体ABCDEF中,四边形ACFD是等腰梯形,AD∥CF,∠DAC=,BC⊥平面ACFD,CA=CB=CF=1,AD=2CF,点G为AC的中点.
(1)在AD上是否存在一点H,使GH∥平面BCD?若存在,指出点H的位置并给出证明;若不存在,说明理由;
(2)求三棱锥G-ECD的体积.
解 (1)存在点H,H为AD中点.证明如下:
连接GH,在△ACD中,
由三角形中位线定理可知GH∥CD,
又GH⊄平面BCD,CD⊂平面BCD,
∴GH∥平面BCD.
(2)由题意知:AD∥CF,AD⊂平面ADEB,CF⊄平面ADEB,
∴CF∥平面ADEB,
又CF⊂平面CFEB,平面CFEB∩平面ADEB=BE,
∴CF∥BE,
∴VG-ECD=VE- GCD=VB- GCD,
∵四边形ACFD为等腰梯形,且∠DAC=.
∴∠ACD=,
又∵CA=CB=CF=1,AD=2CF,∴CD=,CG=,
又BC⊥平面AFCD,
∴VB- GCD=×CG×CD×BC=××××1=.
∴三棱锥G-ECD的体积为.
11.如图,在矩形ABCD中,AB=2AD,M为DC的中点,将△ADM沿AM折起使平面ADM⊥平面ABCM.
(1)当AB=2时,求三棱锥M-BCD的体积;
(2)求证:BM⊥AD.
(1)解 取AM的中点N,连接DN(如图).
∵在矩形ABCD中,M为DC的中点,AB=2AD,
∴DM=AD.又N为AM的中点,∴DN⊥AM.
又∵平面ADM⊥平面ABCM,平面ADM∩平面ABCM=AM,DN⊂平面ADM,
∴DN⊥平面ABCM.
∵AD=1,∴DN=.
又S△BCM=·CM·CB=,
∴V三棱锥M-BCD=V三棱锥D-BCM=S△BCM×DN=.
(2)证明 由(1)可知,DN⊥平面ABCM.
又BM⊂平面ABCM.∴BM⊥DN.
在矩形ABCD中,AB=2AD,M为MC的中点,
∴△ADM,△BCM都是等腰直角三角形,且∠ADM=90°,∠BCM=90°,
∴BM⊥AM.又DN,AM⊂平面ADM,DN∩AM=N,
∴BM⊥平面ADM.又AD⊂平面ADM,
∴BM⊥AD.
相关文档
- 2019年高考数学练习题汇总填空题满2021-06-166页
- 2019年高考数学练习题汇总高考解答2021-06-165页
- 2019年高考数学练习题汇总高考填空2021-06-164页
- 2019年高考数学练习题汇总解答题通2021-06-152页
- 2019年高考数学练习题汇总10+7满分2021-06-156页
- 2019年高考数学练习题汇总4_解析几2021-06-156页
- 2019年高考数学练习题汇总高考解答2021-06-153页
- 2019年高考数学练习题汇总(二)矩阵2021-06-152页
- 2019年高考数学练习题汇总小题提速2021-06-157页
- 2019年高考数学练习题汇总压轴提升2021-06-152页