2021届高考数学一轮总复习课时作业51直线与圆圆与圆的位置关系含解析苏教版 6页

1 课时作业 51 直线与圆、圆与圆的位置关系 一、选择题 1．直线 y＝3 4x－5 2 和圆 x2＋y2－4x＋2y－20＝0( A ) A．相交且过圆心 B．相交但不过圆心 C．相离 D．相切 解析：将圆的方程配方，得(x－2)2＋(y＋1)2＝25，圆心为(2，－1)，半径 r＝5，将(2， －1)代入 y＝3 4x－5 2 中，得3 4 ×2－5 2 ＝－1，故直线过圆心，与圆相交，故选 A． 2．圆 x2＋y2＝4 与圆(x－3)2＋(y－4)2＝49 的位置关系为( A ) A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 解析：圆 x2＋y2＝4 的圆心为(0,0)，半径为 2，圆(x－3)2＋(y－4)2＝49 的圆心为(3,4)， 半径为 7，圆心距为 32＋42＝5＝7－2(等于两圆半径的差)，∴圆 x2＋y2＝4 与圆(x－3)2＋(y －4)2＝49 的位置关系是内切，故选 A． 3．过原点且倾斜角为 30°的直线被圆 x2＋(y－2)2＝4 所截得的弦长为( D ) A．1 B． 2 C． 3 D．2 解析：由题意得直线方程为 y＝ 3 3 x，即 x－ 3y＝0.圆心(0,2)到直线 x－ 3y＝0 的距离 d ＝|－ 3×2| 1＋3 ＝ 3， ∴弦长为 2 4－ 32＝2，故选 D． 4．(2020·佛山调研)已知圆 O1 的方程为 x2＋y2＝1，圆 O2 的方程为(x＋a)2＋y2＝4，如果 这两个圆有且只有一个公共点，那么 a 的所有取值构成的集合是( A ) A．{1，－1,3，－3} B．{5，－5,3，－3} C．{1，－1} D．{3，－3} 解析：由题意得两圆的圆心距 d＝|a|＝2＋1＝3 或 d＝|a|＝2－1＝1，解得 a＝3 或 a＝－ 3 或 a＝1 或 a＝－1，所以 a 的所有取值构成的集合是{1，－1,3，－3}． 5．圆 x2＋2x＋y2＋4y－3＝0 上到直线 x＋y＋1＝0 的距离为 2的点共有( C ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 解析：圆的方程化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线距离 d＝|－1－2＋1| 2 ＝ 2，半径是 2 2，结合图形可知有 3 个符合条件的点． 2 6．已知直线 x－2y＋a＝0 与圆 O：x2＋y2＝2 相交于 A，B 两点(O 为坐标原点)，且△ AOB 为等腰直角三角形，则实数 a 的值为( B ) A． 6或－ 6 B． 5或－ 5 C． 6 D． 5 解析：因为直线 x－2y＋a＝0 与圆 O：x2＋y2＝2 相交于 A，B 两点(O 为坐标原点)，且 △AOB 为等腰直角三角形，所以 O 到直线 AB 的距离为 1，由点到直线的距离公式可得 |a| 12＋－22 ＝1，所以 a＝± 5. 7．(2020·重庆市七校联考)两圆 x2＋y2＋4x－4y＝0 和 x2＋y2＋2x－8＝0 相交于两点 M， N，则线段 MN 的长为( D ) A．3 5 5 B．4 C．6 5 5 D．12 5 5 解析：两圆方程相减，得直线 MN 的方程为 x－2y＋4＝0， 圆 x2＋y2＋2x－8＝0 的标准形式为(x＋1)2＋y2＝9， 所以圆 x2＋y2＋2x－8＝0 的圆心为(－1,0)，半径为 3， 圆心(－1,0)到直线 MN 的距离 d＝ 3 5 ， 所以线段 MN 的长为 2 32－ 3 5 2＝12 5 5 .故选 D． 8．(2020·合肥市教学质量检测)在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 经过点(0,1)，(0,3)，且 与 x 轴正半轴相切，若圆 C 上存在点 M，使得直线 OM 与直线 y＝kx(k>0)关于 y 轴对称，则 k 的最小值为( D ) A．2 3 3 B． 3 C．2 3 D．4 3 解析：由圆 C 过点(0,1)，(0,3)知，圆心的纵坐标为1＋3 2 ＝2，又圆 C 与 x 轴正半轴相切， 所以圆的半径为 2，则圆心的横坐标 x＝ 22－3－1 2 2＝ 3，即圆心为( 3，2)，所以圆 C 的方程为(x－ 3)2＋(y－2)2＝4.因为 k>0，所以 k 取最小值时，直线 y＝－kx 与圆相切，可得 2＝| 3k＋2| k2＋1 ，即 k2－4 3k＝0，解得 k＝4 3(k＝0 舍去)，故选 D． 二、填空题 9．已知圆(x－2)2＋(y＋1)2＝16 的一条直径通过直线 x－2y＋3＝0 被圆所截弦的中点， 则该直径所在直线的方程为 2x＋y－3＝0. 解析：由题意知，已知圆的圆心坐标为(2，－1)．∵弦的中点与圆心的连线与弦所在的 直线垂直，且直线 x－2y＋3＝0 的斜率为1 2 ，∴该直径所在直线的斜率为－2，∴所求直线方 程为 y＋1＝－2(x－2)，即 2x＋y－3＝0. 3 10．已知圆 C 的圆心是直线 x－y＋1＝0 与 x 轴的交点，且圆 C 与圆(x－2)2＋(y－3)2＝8 相外切，则圆 C 的方程为(x＋1)2＋y2＝2. 解析：由题意知圆心 C(－1,0)，其到已知圆圆心(2,3)的距离 d＝3 2，由两圆相外切可 得 R＋2 2＝d＝3 2，即圆 C 的半径 R＝ 2，故圆 C 的标准方程为(x＋1)2＋y2＝2. 11．已知两圆相交于两点 A(1,3)，B(m，－1)，若两圆圆心都在直线 x－y＋c＝0 上，则 m＋c 的值是 3. 解析：由题意，直线 x－y＋c＝0 垂直平分线段 AB，则 kAB＝－1－3 m－1 ＝－1，得 m＝5， 所以线段 AB 的中点为(3,1)，所以 3－1＋c＝0，则 c＝－2，所以 m＋c＝3. 12．已知直线 l：x＋y＝3 与圆 C：(x－a)2＋(y－5)2＝10 交于 A，B 两点，圆 C 在点 A， B 处的切线 l1，l2 相交于点 P －1 2 ，5 2 ，则四边形 ACBP 的面积为 5. 解析：由平面几何知识得点 P 与圆心 C 的连线 PC 与直线 l 垂直，则 5－5 2 a＋1 2 ＝1，解得 a ＝2， 则|PC|＝ 2＋1 2 2＋ 5－5 2 2＝5 2 2 .因为圆心 C(2,5)到直线 l：x＋y－3＝0 的距离 d＝ |2＋5－3| 2 ＝ 4 2 ＝2 2，所以|AB|＝2 10－2 22＝2 2，则四边形 ACBP 的面积为 S 四边形 ACBP ＝1 2 ×2 2×5 2 2 ＝5. 三、解答题 13．已知圆 C 经过点 A(2，－1)，和直线 x＋y＝1 相切，且圆心在直线 y＝－2x 上． (1)求圆 C 的方程； (2)已知直线 l 经过原点，并且被圆 C 截得的弦长为 2，求直线 l 的方程． 解：(1)设圆心的坐标为 C(a，－2a)， 则 a－22＋－2a＋12＝|a－2a－1| 2 . 化简，得 a2－2a＋1＝0，解得 a＝1. ∴C(1，－2)，半径 r＝|AC|＝ 1－22＋－2＋12 ＝ 2. ∴圆 C 的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2. (2)①当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x＝0，此时直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2，满足条件． ②当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y＝kx，由题意得 |k＋2| 1＋k2 ＝1，解得 k＝－3 4 ， ∴直线 l 的方程为 y＝－3 4x，即 3x＋4y＝0. 综上所述，直线 l 的方程为 x＝0 或 3x＋4y＝0. 4 14．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C：x2＋y2－4x＝0 及点 A(－1,0)，B(1,2)． (1)若直线 l 平行于 AB，与圆 C 相交于 M，N 两点，|MN|＝|AB|，求直线 l 的方程； (2)在圆 C 上是否存在点 P，使得|PA|2＋|PB|2＝12？若存在，求点 P 的个数；若不存在， 说明理由． 解：(1)圆 C 的标准方程为(x－2)2＋y2＝4， 所以圆心 C(2,0)，半径为 2. 因为 l∥AB，A(－1,0)，B(1,2)， 所以直线 l 的斜率为 2－0 1－－1 ＝1. 设直线 l 的方程为 x－y＋m＝0，则圆心 C 到直线 l 的距离为 d＝|2－0＋m| 2 ＝|2＋m| 2 . 因为|MN|＝|AB|＝ 22＋22＝2 2， 而|CM|2＝d2＋ |MN| 2 2，所以 4＝2＋m2 2 ＋2， 解得 m＝0 或 m＝－4， 故直线 l 的方程为 x－y＝0 或 x－y－4＝0. (2)假设圆 C 上存在点 P，设 P(x，y)，则(x－2)2＋y2＝4， |PA|2＋|PB|2＝(x＋1)2＋(y－0)2＋(x－1)2＋(y－2)2＝12，化简得 x2＋y2－2y－3＝0，即 x2 ＋(y－1)2＝4.因为|2－2|< 2－02＋0－12<2＋2，所以圆(x－2)2＋y2＝4 与圆 x2＋(y－1)2＝4 相交，所以存在点 P，点 P 的个数为 2. 15．(2020·豫西南五校联考)已知圆 C：(x－2)2＋y2＝4，直线 l1：y＝ 3x，l2：y＝kx－1， 若 l1，l2 被圆 C 所截得的弦的长度之比为 1 2，则 k 的值为( C ) A． 3 B．1 C．1 2 D． 3 3 解析：圆 C：(x－2)2＋y2＝4 的圆心为 C(2,0)，半径为 2，圆心到直线 l1：y＝ 3x 的距 5 离 d1＝2 3 2 ＝ 3，所以 l1 被圆 C 所截得的弦长为 2 4－3＝2.圆心到直线 l2的距离 d2＝|2k－1| k2＋1 ， 所以 l2 被圆 C 所截得的弦长为 4＝2 4－d22，所以 d2＝0.所以 2k－1＝0，解得 k＝1 2 ，故选 C． 16．(2020·安徽皖南八校联考)圆 C 与直线 2x＋y－11＝0 相切，且圆心 C 的坐标为(2,2)， 设点 P 的坐标为(－1，y0)．若在圆 C 上存在一点 Q，使得∠CPQ＝30°，则 y0 的取值范围是 ( C ) A． －1 2 ，9 2 B．[－1,5] C．[2－ 11，2＋ 11] D．[2－2 3，2＋2 3] 解析：本题考查直线与圆的综合应用．由点 C(2,2)到直线 2x＋y－11＝0 的距离为 |4＋2－11| 5 ＝ 5，可得圆 C 的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5.若存在这样的点 Q，当 PQ 与圆 C 相 切 时 ， ∠ CPQ≥30° ， 可 得 sin ∠ CPQ ＝ CQ CP ＝ 5 CP ≥sin30° ， 即 CP≤2 5 ， 则 9＋y0－22≤2 5，解得 2－ 11≤y0≤2＋ 11.故选 C． 17．已知⊙H 被直线 x－y－1＝0，x＋y－3＝0 分成面积相等的四部分，且⊙H 截 x 轴 所得线段的长为 2. (1)求⊙H 的方程； (2)若存在过点 P(a,0)的直线与⊙H 相交于 M，N 两点，且|PM|＝|MN|，求实数 a 的取值 范围． 解：(1)设⊙H 的方程为(x－m)2＋(y－n)2＝r2(r>0)， 因为⊙H 被直线 x－y－1＝0，x＋y－3＝0 分成面积相等的四部分， 所以圆心 H(m，n)一定是两互相垂直的直线 x－y－1＝0，x＋y－3＝0 的交点， 易得交点坐标为(2,1)， 所以 m＝2，n＝1. 又⊙H 截 x 轴所得线段的长为 2， 所以 r2＝12＋n2＝2. 所以⊙H 的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝2. (2)设 N(x0，y0)，由题意易知点 M 是 PN 的中点，所以 M x0＋a 2 ，y0 2 .因为 M，N 两点均 在⊙H 上，所以(x0－2)2＋(y0－1)2＝2①， x0＋a 2 －2 2＋ y0 2 －1 2＝2， 即(x0＋a－4)2＋(y0－2)2＝8②， 设⊙I：(x＋a－4)2＋(y－2)2＝8， 由①②知⊙H 与⊙I：(x＋a－4)2＋(y－2)2＝8 有公共点，从而 2 2－ 2≤|HI|≤2 2＋ 2， 即 2≤ a－22＋1－22≤3 2， 整理可得 2≤a2－4a＋5≤18， 解得 2－ 17≤a≤1 或 3≤a≤2＋ 17， 所以实数 a 的取值范围是[2－ 17，1]∪[3,2＋ 17]． 6