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- 2021-06-16 发布
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第2课时 函数的图象
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解函数图象的概念,并能画出一些比较简单的函数的图象.(重点)
2.能够利用图象解决一些简单的函数问题.(难点)
通过学习本节内容培养学生的逻辑推理和直观想象核心素养.
作出下列两个函数的的图象,并比较定义域和值域.
(1)f(x)=x2+1,x∈{-1,0,1};
(2)f(x)=x2+1.
1.函数的图象
将自变量的一个值x0作为横坐标,相应的函数值f(x0)作为纵坐标,就得到坐标平面上的一个点(x0,f(x0)).当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时,就得到一系列这样的点.所有这些点组成的集合(点集)为{(x,f(x))|x∈A},即{(x,y)|y=f(x),x∈A},所有这些点组成的图形就是函数y=f(x)的图象.
思考1:函数的图象是否可以关于x轴对称?
[提示] 不可以,如果关于x轴对称,则在定义域内一定存在一个自变量x0,有两个值和x0相对应,不符合函数的定义.
思考2:函数y=f(x),x∈A的图象与直线x=m(垂直于x轴的直线)的交点有几个?
[提示] 0或1个,具体来说,当m∈A,由函数的定义,它们有唯一交点,当mA,它们无交点.
2.作图、识图与用图
(1)画函数图象常用的方法是描点作图,其步骤是列表、描点、连线.
(2)正比例函数与一次函数的图象是一条直线,反比例函数的图象是双曲线,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是抛物线,开口方向由a值符号决定,a>0,图象开口向上,a<0时,图象开口向下,对称轴为x=-.
1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
- 9 -
(1)直线x=a和函数y=f(x),x∈[m,n]的图象有1个交点. ( )
(2)设函数y=f(x)的定义域为A,则集合P={(x,y)|y=f(x),x∈A}与集合Q={y|y=f(x),x∈A}相等,且集合P的图形表示的就是函数y=f(x)的图象. ( )
[提示] (1)若a∈[m,n],则x=a与y=f(x)有一个交点,若a[m,n],则x=a与y=f(x)无交点,故(1)错误.
(2)Q是一个数集,P是一个点集,显然P≠Q,故(2)错误,但是P的图形表示的是函数y=f(x)的图象.
[答案] (1)× (2)×
2.下列坐标系中的曲线或直线,能作为函数y=f(x)的图象的有 .(填序号)
②④ [能作为函数的图象,必须符合函数的定义,即定义域内的每一个x只能有唯一的y与x对应,故②④可以,①③不可以.]
3.函数y=x+1,x∈Z,且|x|<2的图象是 .(填序号)
③ [由题意知,函数的定义域是{-1,0,1},值域是{0,1,2},函数的图象是三个点,故③正确.]
作函数的图象
【例1】 作出下列函数的图象,并求函数的值域.
(1)y=3-x(|x|∈N*且|x|<3);
(2)y=x2-2x+2(-1≤x<2).
[思路点拨] (1)中函数的定义域为{-2,-1,1,2},图象为直线上的四个孤立点.
(2)中函数图象为抛物线的一部分.
[解] (1)∵|x|∈N*且|x|<3,∴定义域为{-2,-1,1,2},
- 9 -
∴图象为直线y=3-x上的4个孤立点,如图.
由图象可知,值域为{5,4,2,1}.
(2)y=x2-2x+2=(x-1)2+1(x∈[-1,2)),
故函数图象为二次函数y=(x-1)2+1图象上在区间[-1,2)上的部分,如图,
x=1时,y=1,x=-1时,y=5,∴函数的值域为[1,5].
(变条件)将例1(2)中的定义域改为[0,3),函数的图象与值域变成怎样了?
[解] 图象变成函数y=(x-1)2+1在[0,3)上的部分图象,如图.
∵x=1时,y=1,x=3时,y=5.∴值域变为[1,5).
1.画函数的图象,需首先关注函数的定义域.定义域决定了函数的图象是一系列点、连续的线或是其中的部分.
2.描点作图,要找出关键“点”,再连线.如一次函数的图象描出端点或与坐标轴的交点,两点连线即得;二次函数的图象描出端点或与坐标轴的交点、顶点,连线即得.连线时还需标注端点的虚实.
3.函数的图象能体现函数的定义域、值域.这就是数形结合思想.
1.画出下列函数的图象:
(1)y=x+1(x≤0);
(2)y=x2-2x(x>1,或x<-1).
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[解] (1)y=x+1(x≤0)表示一条射线,图象如图①.
(2)y=x2-2x=(x-1)2-1(x>1,或x<-1)是抛物线y=x2-2x去掉-1≤x≤1之间的部分后剩余曲线.如图②.
① ②
函数图象的应用
【例2】 已知函数f(x)=-x2+2x+3的图象如图所示,据图回答以下问题:
(1)比较f(-2),f(0),f(3)的大小;
(2)求f(x)在[-1,2]上的值域;
(3)求f(x)与y=x的交点个数;
(4)若关于x的方程f(x)=k在[-1,2]内仅有一个实根,求k的取值范围.
[思路点拨] 从图象上找到对应问题的切入点进而求解.
[解] (1)由题图可得f(-2)=-5,f(0)=3,f(3)=0,
∴f(-2)0时,y=f(x+a)可由y=f(x)向左移动a个单位.当a<0时,y=f(x+a)可由y=f(x)向右移动|a|个单位.
4.若f(x)=x2,写出y=f(x)+1和y=f(x)-2的表达式,并在同一坐标系中作出三者的图象,观察其形状和位置的异同,由此,结合探究3,若已知f(x)的图象,如何得到y=f(x)+b的图象?
[提示] y=f(x)+1=x2+1,y=f(x)-2=x2-2,如图(3).
图(3)
由y=f(x)的图象得到y=f(x)+b的图象时,
若b>0,把f(x)的图象向上移动b个单位得y=f(x)+b的图象.若b<0,把f(x)的图象向下移动|b|个单位得y=f(x)+b的图象.
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【例3】 用平移图象的方式作出y=2+的图象,并说明函数y=2+的值域.
[思路点拨] y=2+可以看作y=先向右移动一个单位,又向上移动2个单位得到.
[解]
从图象可以看出y=2+的值域为(-∞,2)∪(2,+∞).
函数图象的平移变换
(1)左右平移:a>0时,y=f(x)的图象向左平移a个单位得到y=f(x+a)的图象;a>0时,y=f(x)的图象向右平移a个单位得到y=f(x-a)的图象.
(2)上下平移:b>0时,y=f(x)的图象向上平移b个单位得到y=f(x)+b的图象;b>0时,y=f(x)的图象向下平移b个单位得到y=f(x)-b的图象.
3.已知函数y=,将其图象向左平移a(a>0)个单位,再向下平移b(b>0)个单位后图象过坐标原点,则ab的值为 .
1 [y=y=y=-b过(0,0),故-b=0,
∴1-ab=0,∴ab=1.]
1.作图象时一般应先确定函数的定义域,再在定义域内化简函数解析式,再列表描点,画出图象,并在画图象的同时注意一些关键点,如与坐标轴的交点、最高点或最低点,要分清这些关键点是实心点还是空心点.
2.在利用图象研究函数时,准确地作出函数的图象是解决问题的关键,只有这样,对性质的研究才更准确.
3.分析所给图象是不是函数图象的方法是:作一系列平行于y
- 9 -
轴的直线,若直线与图象最多只有一个交点,则该图象是函数的图象,否则就不是函数的图象.
1.对于集合A={x|0≤x≤2},B={y|0≤y≤3},则由下列图形给出的对应f中,能构成从A到B的函数的是( )
D [A中有一部分x值没有与之对应的y值;B中出现“一对多”的关系,不是函数关系;C中当x=1时对应两个不同的y值,不构成函数;D中对应关系符合函数定义.]
2.下列图形是函数y=-|x|(x∈[-2,2])的图象的是( )
B [y=-|x|,当x=2时,y=-2,当x=-2时,y=-2.故选B.]
3.函数y=f(x)的图象如图所示.填空:
(1)f(0)= ;
(2)f(-1)= ;
(3)f(-3)= ;
(4)f(-2)= ;
(5)f(2)= ;
(6)f(4)= ;
(7)若2
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