高考数学专题复习：课时达标检测（三十五） 基本不等式 5页

课时达标检测（三十五） 基本不等式 ‎[练基础小题——强化运算能力]‎ ‎1．若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是(　　)‎ A．a＋b≥2 B.＋＞ C.＋≥2 D．a2＋b2＞2ab 解析：选C　因为ab＞0，所以＞0，＞0，所以＋≥2 ＝2，当且仅当a＝b时取等号．‎ ‎2．下列不等式一定成立的是(　　)‎ A．lg>lg x(x>0)‎ B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)‎ C．x2＋1≥2|x|(x∈R)‎ D.>1(x∈R)‎ 解析：选C　对选项A，当x>0时，x2＋－x＝2≥0，∴lg≥lg x，故不成立；对选项B，当sin x<0时显然不成立；对选项C，x2＋1＝|x|2＋1≥2|x|，一定成立；对选项D，∵x2＋1≥1，∴0<≤1，故不成立．‎ ‎3．当x>0时，函数f(x)＝有(　　)‎ A．最小值1 B．最大值1‎ C．最小值2 D．最大值2‎ 解析：选B　f(x)＝≤＝1.当且仅当x＝，x>0即x＝1时取等号．所以f(x)有最大值1.‎ ‎4．已知a>0，b>0，a＋2b＝3，则＋的最小值为________．‎ 解析：由a＋2b＝3得a＋b＝1，∴＋＝＝＋＋≥＋2 ＝.当且仅当a＝2b＝时取等号．‎ 答案： ‎5．已知函数f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.‎ 解析：f(x)＝4x＋≥2＝4，当且仅当4x＝，即a＝4x2时取等号，则由题意知a＝4×32＝36.‎ 答案：36‎ ‎[练常考题点——检验高考能力]‎ 一、选择题 ‎1.(－6≤a≤3)的最大值为(　　)‎ A．9 B. C．3 D. 解析：选B　因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0，则由基本不等式可知，≤＝，当且仅当a＝－时等号成立．‎ ‎2．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是(　　)‎ A．[0,2] B．[－2,0]‎ C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]‎ 解析：选D　∵1＝2x＋2y≥2＝2当且仅当2x＝2y＝，即x＝y＝－1时等号成立，∴≤，∴2x＋y≤，得x＋y≤－2.‎ ‎3．若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于(　　)‎ A．2 B．‎3 C．4 D．5‎ 解析：选C　将(1,1)代入直线＋＝1得＋＝1，a>0，b>0，故a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b时等号成立，故a＋b的最小值为4.‎ ‎4．(2016·铜陵二模)已知a>－1，b>－2，(a＋1)(b＋2)＝16，则a＋b的最小值是(　　)‎ A．4 B．‎5 ‎‎ C．6 D．7‎ 解析：选B　因为a>－1，b>－2，所以a＋1>0，b＋2>0，又(a＋1)(b＋2)≤2，即16≤2，整理得a＋b≥5，当且仅当a＋1＝b＋2＝4，即a＝3，b＝2时等号成立，故选B.‎ ‎5．若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋0，b>0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是________．‎ 解析：由题意知：ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝‎2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4＝4.当且仅当a＝b＝1时取等号．‎ 答案：4‎ ‎8．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为________．‎ 解析：由＋＝，知a＞0，b＞0，所以＝＋≥2 ，即ab≥2，当且仅当即a＝，b＝2时取等号，所以ab的最小值为2.‎ 答案：2 ‎9．(2017·青岛模拟)已知实数x，y均大于零，且x＋2y＝4，则log2x＋log2y的最大值为________．‎ 解析：因为log2x＋log2y＝log22xy－1≤log22－1＝2－1＝1，当且仅当x＝2y＝2，即x＝2，y＝1时等号成立，所以log2x＋log2y的最大值为1.‎ 答案：1‎ ‎10．已知不等式2x＋m＋>0对一切x∈(1，＋∞)恒成立，则实数m的取值范围是________．‎ 解析：不等式2x＋m＋>0可化为2(x－1)＋>－m－2，‎ ‎∵x>1，∴2(x－1)＋≥2＝8，‎ 当且仅当x＝3时取等号．‎ ‎∵不等式2x＋m＋>0对一切x∈(1，＋∞)恒成立，‎ ‎∴－m－2<8，‎ 解得m>－10.‎ 答案：(－10，＋∞)‎ 三、解答题 ‎11．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：‎ ‎(1)xy的最小值；‎ ‎(2)x＋y的最小值．‎ 解：(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，‎ 又x＞0，y＞0，‎ 则1＝＋≥2 ＝，得xy≥64，‎ 当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．‎ 所以xy的最小值为64.‎ ‎(2)由(1)知＋＝1，‎ 则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋ ‎≥10＋2 ＝18.‎ 当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，‎ ‎∴x＋y的最小值为18.‎ ‎12．(2017·常州调研)‎ 某学校为了支持生物课程基地研究植物的生长规律，计划利用学校空地建造一间室内面积为‎900 m2‎的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔‎1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留‎1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留‎3 m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：m2)．‎ ‎(1)求S关于x的函数关系式；‎ ‎(2)求S的最大值．‎ 解：(1)由题设，得S＝(x－8)＝－2x－＋916，x∈(8,450)．‎ ‎(2)因为8