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  • 2021-06-16 发布

2019年高考数学练习题汇总1_立体几何

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解答题专项练 ‎1.立体几何 ‎1.(2018·江苏省金陵中学月考)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,平面PAD⊥平面ABCD,AP=AD,点M在棱PD上, AM⊥PD,点N是棱PC的中点,求证:‎ ‎(1) MN∥平面PAB;‎ ‎(2) AM⊥平面PCD.‎ 证明 (1)因为在△PAD中, AP=AD,AM⊥PD,‎ 所以点M是棱PD的中点.‎ 又点N是棱PC的中点,‎ 所以MN是△PDC的中位线,‎ 所以MN∥DC.‎ 因为底面ABCD是矩形,‎ 所以AB∥DC,‎ 所以MN∥AB.‎ 又AB⊂平面PAB, MN⊄平面PAB,‎ 所以MN∥平面PAB.‎ ‎(2)因为平面PAD⊥平面ABCD, CD⊂平面ABCD,‎ 平面PAD∩平面ABCD=AD,CD⊥AD,‎ 所以CD⊥平面PAD.‎ 又AM⊂平面PAD,所以CD⊥AM.‎ 因为PD⊥AM,CD⊥AM, CD∩PD=D,CD⊂平面PCD,PD⊂平面PCD,‎ 所以AM⊥平面PCD.‎ ‎2.已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥DC,∠ABC=60°,DC=1,AD=,PB=PC,且M,N分别为BC,PA的中点. ‎ ‎(1)求证:DN∥平面PBC;‎ ‎(2)求证:MN⊥BC.‎ 证明 (1)取PB的中点E,连结NE,CE,AC,‎ 因为ABCD是直角梯形,AB∥DC,‎ ‎∠ABC=60°,DC=1,AD=,‎ 易得AC=CB=AB=2.‎ 又N为PA的中点,‎ 所以NE∥CD且NE=CD,‎ 所以四边形CDNE是平行四边形,‎ 所以DN∥CE.‎ 又CE⊂平面PBC,DN⊄平面PBC,‎ 所以DN∥平面PBC.‎ ‎(2)连结AM,PM.‎ 因为PB=PC,‎ 所以PM⊥BC,‎ 因为AC=AB,‎ 所以AM⊥BC,‎ 又AM∩PM=M,AM,PM⊂平面PAM,‎ 所以BC⊥平面PAM.‎ 因为MN⊂平面APM,‎ 所以MN⊥BC.‎ ‎3.(2018·扬州市邗江区模拟)如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,EF∥AB,EF⊥FB,AB=2EF,∠BFC=90°,BF=FC,H为BC的中点.‎ ‎(1)求证:FH∥平面EDB;‎ ‎(2)求证:AC⊥平面EDB.‎ 证明 (1)设AC与BD的交点为G,连结GE,GH,‎ 如图,以H为坐标原点,分别以,,的方向为x轴,y轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系,‎ 令BH=1,则A(1,-2,0),B(1,0,0),C(-1,0,0),‎ D(-1,-2,0),E(0,-1,1),F(0,0,1),G(0,-1,0),‎ ‎∴=(0,0,1), ‎ 又∵=(0,0,1),∴∥,‎ GE⊂平面EDB,HF⊄平面EDB,‎ ‎∴FH∥平面EDB.‎ ‎(2)∵=(-2,2,0),=(0,0,1),‎ ‎∴·=0,‎ ‎∴AC⊥GE.‎ 又AC⊥BD,且GE⊂平面EDB,BD⊂平面EDB,GE∩BD=G,∴AC⊥平面EDB.‎ ‎4.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别为棱A1C1和AB的中点.‎ ‎(1)求证:MN∥平面BCC1B1;‎ ‎(2)若平面ACC1A1⊥平面A1B1C1,且A1B1=B1C1,求证:平面B1MN⊥平面ACC1A1.‎ 证明 (1)方法一 如图,设BC的中点为H,连结NH,HC1.‎ 在△ABC中,因为N为AB的中点,所以NH∥AC,且NH=AC,‎ 在三棱柱ABC-A1B1C1中,因为AC∥A1C1,且AC=A1C1,M为A1C1的中点,‎ 所以MC1∥AC,且MC1=AC,‎ 所以NH∥MC1,且NH=MC1,‎ 所以四边形MC1HN为平行四边形,所以 MN∥C1H,‎ 又MN⊄平面BCC1B1,C1H⊂平面BCC1B1,‎ 所以MN∥平面BCC1B1.‎ 方法二 如图2,在侧面ACC1A1中,连结AM并延长交直线CC1于点Q,连结BQ.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1∥CC1,所以=,因为M为A1C1的中点,所以M为AQ的中点.又因为N为AB中点,所以MN∥BQ,又MN⊄平面BCC1B1,BQ⊂平面BCC1B1,所以MN∥平面BCC1B1. ‎ 方法三 如图3,取A1B1的中点O,连结OM,ON. 在△A1B1C1中,因为O,M分别为A1B1,A1C1的中点,所以OM∥B1C1. 因为OM⊄平面BCC1B1,B1C1⊂平面BCC1B1,所以OM∥平面BCC1B1.在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1∥AB且A1B1=AB,又因为O,N分别为A1B1,AB的中点,所以OB1∥NB,OB1=NB,所以四边形OB1BN为平行四边形,所以ON∥B1B,又ON⊄平面BCC1B1,B1B⊂平面BCC1B1,所以ON∥平面BCC1B1.‎ 因为OM∥平面BCC1B1,ON∥平面BCC1B1,OM∩ON=O,OM⊂平面OMN,ON⊂平面OMN,所以平面OMN∥平面BCC1B1,又MN⊂平面OMN,所以MN∥平面BCC1B1.‎ ‎(2)因为A1B1=B1C1, M为A1C1的中点,所以B1M⊥A1C1,因为平面ACC1A1⊥平面A1B1C1,平面ACC1A1∩平面A1B1C1=A1C1,B1M⊂平面A1B1C1,所以B1M⊥平面ACC1A1,又B1M⊂平面B1MN,所以平面B1MN⊥平面ACC1A1.‎ ‎5.如图,O是圆锥底面圆的圆心,圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形,C为底面圆周上一点.‎ ‎(1)若弧BC的中点为D,求证:AC∥平面POD;‎ ‎(2)如果△PAB的面积是9,求此圆锥的表面积.‎ ‎(1)证明 方法一 设BC∩OD=E,‎ ‎∵D是弧BC的中点,‎ ‎∴E是BC的中点.‎ 又∵O是AB的中点,‎ ‎∴AC∥OE.‎ 又∵AC⊄平面POD,OE⊂平面POD,‎ ‎∴AC∥平面POD.‎ 方法二 ∵AB是底面圆的直径,‎ ‎∴AC⊥BC.‎ ‎∵弧BC的中点为D,‎ ‎∴OD⊥BC.‎ 又AC,OD共面,‎ ‎∴AC∥OD.‎ 又AC⊄平面POD,OD⊂平面POD,‎ ‎∴AC∥平面POD.‎ ‎(2)解 设圆锥底面半径为r,高为h,母线长为l,‎ ‎∵圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形,‎ ‎∴h=r,l=r.‎ 由S△PAB=×2r×h=r2=9,得r=3,‎ ‎∴S表=πrl+πr2=πr×r+πr2=9(1+)π.‎ ‎6.已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD为正方形,顶点S在底面ABCD上的射影为其中心O ‎,高为,设E,F分别为AB,SC的中点,且SE=2,M为CD边上的点. ‎ ‎(1)求证:EF∥平面SAD;‎ ‎(2)试确定点M的位置,使得平面EFM⊥底面ABCD.‎ ‎(1)证明 取SB的中点P,连结PF,PE. ‎ ‎∵F为SC的中点,‎ ‎∴PF∥BC,又底面ABCD为正方形,‎ ‎∴BC∥AD,即PF∥AD,‎ 又PE∥SA,PE∩PF=P,SA∩AD=A,‎ ‎∴平面PFE∥平面SAD.‎ ‎∵EF⊂平面PFE,‎ ‎∴EF∥平面SAD.‎ ‎(2)解 连结AC,AC的中点即为点O,连结SO,‎ 由题意知SO⊥平面ABCD,‎ 取OC的中点H,连结FH,则FH∥SO,‎ ‎∴FH⊥平面ABCD,‎ ‎∴平面EFH⊥平面ABCD,连结EH并延长,‎ 则EH与DC的交点即为M点.‎ 连结OE,‎ 由题意知SO=,SE=2.‎ ‎∴OE=1,AB=2,AE=1,‎ ‎∴==,‎ ‎∴MC=AE=CD,‎ 即点M在CD边上靠近C点距离为的位置.‎