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- 2021-06-16 发布
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规范答题示范——函数与导数解答题
【典例】 (12分)(2017·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)当a<0时,证明f(x)≤--2.
[信息提取]
看到讨论f(x)的单调性,想到先确定函数的定义域,然后对函数f(x)进行求导.
看到要证f(x)≤--2成立,想到利用导数求函数的最大值.
[规范解答]
(1)解 f(x)的定义域(0,+∞),
f′(x)=+2ax+2a+1=.
……………………………………………………………………………………1分
若a≥0时,则当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,
故f(x)在(0,+∞)上单调递增,
……………………………………………………………………………………2分
若a<0时,则当x∈时,f′(x)>0;
当x∈时,f′(x)<0.
故f(x)在上单调递增,在上单调递减.
……………………………………………………………………………………5分
(2)证明 由(1)知,当a<0时,f(x)在x=-处取得最大值,最大值为f =ln-1-,
所以f(x)≤--2等价于ln-1-≤--2,即ln++1≤0,
……………………………………………………………………………………8分
设g(x)=ln x-x+1,则g′(x)=-1.
当x∈(0,1)时,g′(x)>0;x∈(1,+∞)时,g′(x)<0.
所以g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.
故当x=1时,g(x)取得最大值,最大值为g(1)=0.
……………………………………………………………………………………10分
所以当x>0时,g(x)≤0,
从而当a<0时,ln++1≤0,
即f(x)≤--2.
……………………………………………………………………………………12分
[高考状元满分心得]
得步骤分:抓住得分点的步骤,“步步为赢”,求得满分.如第(1)问中,求导正确,分类讨论;第(2)问中利用单调性求g(x)的最大值和不等式性质的运用.
得关键分:解题过程不可忽视关键点,有则给分,无则没分,如第(1)问中,求出f(x)的定义域,f′(x)在(0,+∞)上单调性的判断;第(2)问,f(x)在x=-处最值的判定,f(x)≤--2等价转化为ln++1≤0等.
得计算分:解题过程中计算准确是得满分的根本保证.如第(1)问中,求导f′(x)准确,否则全盘皆输,第(2)问中,准确计算f(x)在x=-处的最大值.
[解题程序]
第一步:求函数f(x)的导函数f′(x);
第二步:分类讨论f(x)的单调性;
第三步:利用单调性,求f(x)的最大值;
第四步:根据要证的不等式的结构特点,构造函数g(x);
第五步:求g(x)的最大值,得出要证的不等式.
第六步:反思回顾,查看关键点、易错点和解题规范.
【巩固提升】 已知函数f(x)=x2-kln x-a,g(x)=x2-x.
(1)当a=0时,若g(x)1,所以ln x>0,所以k<在(1,+∞)上恒成立.
令t(x)=(x>1),则t′(x)=,
由t′(x)=0得x=e,
当1e时,t′(x)>0,t(x)在(e,+∞)上为增函数.
所以t(x)min=t(e)=e.
所以实数k的取值范围为(-∞,e).
(2)g(x)=x2-x在上单调递减,在上单调递增.
函数f(x)=x2-kln x-a,f′(x)=,
当k≤0时,f′(x)>0恒成立,f(x)在(0,+∞)上单调递增,不合题意.
当k>0时,令f′(x)=0,得x=或x=-(舍去).
当x∈时,f′(x)<0,
当x∈时,f′(x)>0,
所以f(x)在上单调递减,在上单调递增.
要使f(x)与g(x)在(0,+∞)上具有相同的单调性,需使=,解得k=.
所以存在常数k=,使得函数f(x)与g(x)在(0,+∞)上具有相同的单调性.
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