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  • 2021-06-16 发布

2019年高考数学高分突破复习练习专题六 规范答题示范

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规范答题示范——函数与导数解答题 ‎【典例】 (12分)(2017·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x.‎ ‎(1)讨论函数f(x)的单调性;‎ ‎(2)当a<0时,证明f(x)≤--2.‎ ‎[信息提取]‎ 看到讨论f(x)的单调性,想到先确定函数的定义域,然后对函数f(x)进行求导.‎ 看到要证f(x)≤--2成立,想到利用导数求函数的最大值.‎ ‎[规范解答]‎ ‎(1)解 f(x)的定义域(0,+∞),‎ f′(x)=+2ax+2a+1=.‎ ‎……………………………………………………………………………………1分 若a≥0时,则当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,‎ 故f(x)在(0,+∞)上单调递增,‎ ‎……………………………………………………………………………………2分 若a<0时,则当x∈时,f′(x)>0;‎ 当x∈时,f′(x)<0.‎ 故f(x)在上单调递增,在上单调递减.‎ ‎……………………………………………………………………………………5分 ‎(2)证明 由(1)知,当a<0时,f(x)在x=-处取得最大值,最大值为f =ln-1-,‎ 所以f(x)≤--2等价于ln-1-≤--2,即ln++1≤0,‎ ‎……………………………………………………………………………………8分 设g(x)=ln x-x+1,则g′(x)=-1.‎ 当x∈(0,1)时,g′(x)>0;x∈(1,+∞)时,g′(x)<0.‎ 所以g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.‎ 故当x=1时,g(x)取得最大值,最大值为g(1)=0.‎ ‎……………………………………………………………………………………10分 所以当x>0时,g(x)≤0,‎ 从而当a<0时,ln++1≤0,‎ 即f(x)≤--2.‎ ‎……………………………………………………………………………………12分 ‎[高考状元满分心得]‎ 得步骤分:抓住得分点的步骤,“步步为赢”,求得满分.如第(1)问中,求导正确,分类讨论;第(2)问中利用单调性求g(x)的最大值和不等式性质的运用.‎ 得关键分:解题过程不可忽视关键点,有则给分,无则没分,如第(1)问中,求出f(x)的定义域,f′(x)在(0,+∞)上单调性的判断;第(2)问,f(x)在x=-处最值的判定,f(x)≤--2等价转化为ln++1≤0等.‎ 得计算分:解题过程中计算准确是得满分的根本保证.如第(1)问中,求导f′(x)准确,否则全盘皆输,第(2)问中,准确计算f(x)在x=-处的最大值.‎ ‎[解题程序]‎ 第一步:求函数f(x)的导函数f′(x);‎ 第二步:分类讨论f(x)的单调性;‎ 第三步:利用单调性,求f(x)的最大值;‎ 第四步:根据要证的不等式的结构特点,构造函数g(x);‎ 第五步:求g(x)的最大值,得出要证的不等式.‎ 第六步:反思回顾,查看关键点、易错点和解题规范.‎ ‎【巩固提升】 已知函数f(x)=x2-kln x-a,g(x)=x2-x.‎ ‎(1)当a=0时,若g(x)1,所以ln x>0,所以k<在(1,+∞)上恒成立.‎ 令t(x)=(x>1),则t′(x)=,‎ 由t′(x)=0得x=e,‎ 当1e时,t′(x)>0,t(x)在(e,+∞)上为增函数.‎ 所以t(x)min=t(e)=e.‎ 所以实数k的取值范围为(-∞,e).‎ ‎(2)g(x)=x2-x在上单调递减,在上单调递增.‎ 函数f(x)=x2-kln x-a,f′(x)=,‎ 当k≤0时,f′(x)>0恒成立,f(x)在(0,+∞)上单调递增,不合题意.‎ 当k>0时,令f′(x)=0,得x=或x=-(舍去).‎ 当x∈时,f′(x)<0,‎ 当x∈时,f′(x)>0,‎ 所以f(x)在上单调递减,在上单调递增.‎ 要使f(x)与g(x)在(0,+∞)上具有相同的单调性,需使=,解得k=.‎ 所以存在常数k=,使得函数f(x)与g(x)在(0,+∞)上具有相同的单调性.‎