【数学】2020届一轮复习北师大版直接证明与间接证明课时作业 7页

直接证明与间接证明 (30 分钟　60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.分析法又叫执果索因法,若使用分析法证明:设 a>b>c,且 a+b+c=0,求证: < a.索的因应是(　　) A.a-b>0 B.a-c>0 C.(a-b)(a-c)>0 D.(a-b)(a-c)<0 【解析】选 C.要证 < a,只需证 b2-ac<3a2,只需证 b2-a(-b-a)<3a2,只 需证 2a2-ab-b2>0,只需证(2a+b)(a-b)>0,只需证(a-c)(a-b)>0. 2.设 a= ,b= - ,c= - ,那么 a,b,c 的大小关系是 (　　) A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a 【解析】选 B.由已知,a= ,b= , c= ,因为 + > + >2 , 所以 bx,0lg x>(lg x)2, lg x2>(lg x)2>lg(lg x). 4.用反证法证明命题“设 a,b 为实数,则方程 x3+ax+b=0 至少有一个实根”时,要 做的假设是 (　　) A.方程 x3+ax+b=0 没有实根 B.方程 x3+ax+b=0 至多有一个实根 C.方程 x3+ax+b=0 至多有两个实根 D.方程 x3+ax+b=0 恰好有两个实根 【解析】选 A.依据反证法的要求,即至少有一个的反面是一个也没有,直接写出 命题的否定.方程 x3+ax+b=0 至少有一个实根的反面是方程 x3+ax+b=0 没有实根. 5.已知直线 l,m,平面 α,β,且 l⊥α,m⊂β,给出下列四个命题:①若 α∥β, 则 l⊥m;②若 l⊥m,则 α∥β;③若 α⊥β,则 l⊥m;④若 l∥m,则 α⊥β. 其中正确命题的个数是 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选 B.若 l⊥α,m⊂β,α∥β,则 l⊥β,所以 l⊥m,①正确;若 l⊥α,m⊂ β,l⊥m,α 与 β 可能相交,②不正确;若 l⊥α,m⊂β,α⊥β,l 与 m 可能平行 或异面,③不正确;若 l⊥α,m⊂β,l∥m,则 m⊥α,所以 α⊥β,④正确. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.等式“ = ”的证明过程:“等式两边同时乘以 得,左边= · = = =1,右边=1,左边=右边,所以原不等式成立”,应 用了________的证明方法.(填“综合法”或“分析法”) 【解析】由综合法的特点可知,此题的证明用的是综合法. 答案:综合法 7.设 n∈N*,则 - ______ - (填“>”“<”或 “=”). 【解析】要比较 - 与 - 的大小,即判断( - )-( - ) =( + )-( + )的符号, 因为( + )2-( + )2 =2[ - ] =2( - )<0, 所以 - < - . 答案:< 8.用反证法证明“若函数 f(x)=x2+px+q,则|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个 不小于 ”时,假设内容是________. 【解析】“|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于 ”的反面是 “|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于 ”. 答案:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.求证抛物线 y2=2px(p>0),以过焦点的弦为直径的圆必与 x=- 相切. 导学号 【证明】如图,作 AA′、BB′垂直于准线,取 AB 的中点 M,作 MM′垂直于准线. 要证明以 AB 为直径的圆与准线相切,只需证|MM′|= |AB|, 由抛物线的定义:|AA′|=|AF|,|BB′|=|BF|, 所以|AB|=|AA′|+|BB′|, 所以只需证|MM′|= (|AA′|+|BB′|) 由梯形的中位线定理知上式是成立的. 所以,以过焦点的弦为直径的圆必与 x=- 相切. 10.设函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)中,a,b,c 均为整数,且 f(0),f(1)均为奇数.求 证:f(x)=0 无整数根. 导学号 【解析】假设 f(x)=0 有整数根 n,则 an2+bn+c=0, 由 f(0)为奇数,知 c 为奇数, f(1)为奇数,知 a+b+c 为奇数, 所以 a+b 为偶数,又 an2+bn=-c 为奇数, 所以 n 与 an+b 均为奇数,又 a+b 为偶数, 所以 an-a 为奇数,即(n-1)a 为奇数, 所以 n-1 为奇数,这与 n 为奇数矛盾. 所以 f(x)=0 无整数根. (20 分钟　40 分) 1.(5 分)证明命题“f(x)=ex+ 在(0,+∞)上是增函数”,一个同学给出的证法如 下: 因为 f(x)=ex+ , 所以 f′(x)=ex- ,又因为 x>0, 所以 ex>1,0< <1, 所以 ex- >0,即 f′(x)>0, 所以 f(x)在(0,+∞)上是增函数. 他使用的证明方法是 (　　) A.综合法 B.分析法 C.反证法 D.以上都不是 【解析】选 A.该证明方法符合综合法的定义,应为综合法. 2.(5 分)若 a,b,c∈R,且 ab+bc+ac=1,则下列不等式成立的是 (　　) A.a2+b2+c2≥2 B.(a+b+c)2≥3 C. + + ≥2 D.abc(a+b+c)≤ 【解析】选 B.因为 a2+b2≥2ab,a2+c2≥2ac,b2+c2≥2bc,将三式相加得 2(a2+b2+c2) ≥2ab+2bc+2ac,即 a2+b2+c2≥1,又因为(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac, 所以(a+b+c)2≥1+2×1=3. 3.(5 分)在△ABC 中,若 sin Asin B0,所以 cos C<0, 即△ABC 一定是钝角三角形. 4.(12 分)已知 a>0,函数 f(x)=x3-a,x∈[0,+∞),设 x1>0.记曲线 y=f(x)在点 M(x1,f(x1))处的切线为 l. 导学号 (1)求 l 的方程. (2)设 l 与 x 轴的交点为(x2,0),求证:x2≥ . 【解析】(1)f′(x)=3x2, 所以 l 的方程为 y-( -a)=3 (x-x1), 即 y=3 x-2 -a. (2)令 y=3 x-2 -a=0,得 x= , 所以 x2= , 要证 x2≥ ,只需证 2 +a≥3 · , 即证(x1- )2(2x1+ )≥0,显然成立, 所以原不等式成立. 5.(13 分)设 a1,a2,a3,a4 是各项为正数且公差为 d(d≠0)的等差数列. 导学号 (1)证明: , , , 依次构成等比数列. (2)是否存在 a1,d,使得 a1, , , 依次构成等比数列.并说明理由. 【解析】(1)由已知, = =2d 是常数(n=1,2,3), 所以 , , , 依次构成等比数列. (2)令 a1+d=a,则 a1,a2,a3,a4 分别为 a-d,a,a+d,a+2d(a>d,a>-2d,d≠0).假设存 在 a1,d,使得 a1, , , 依次构成等比数列,则 =a1 ,且 = ,即 a4=(a-d)(a+d)3,且(a+d)6=a2(a+2d)4. 令 t= ,则 1=(1-t)(1+t)3,且(1+t)6=(1+2t)4,(- 0,a1+3d>0, =a1 ,且 = , 所以 =a1 ,① 且 = ,即 =(a1+d) ,② 联立①②,得 =a1(a1+d) ,即 =a1 ,化简 得 d3-6a1d2-3 d=0,即 d(d2-6a1d-3 )=0, 所以 d=0(舍),d=(3±2 )a1, 但 d=(3±2 )a1 不是①②的解, 所以不存在 a1,d,使得 a1, , , 依次构成等比数列.