【数学】2020届一轮复习北师大版 计数原理 课时作业 5页

一、选择题 ‎1．6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有(　　)‎ A．240种 B．360种 C．480种 D．720种 ‎[答案]　C ‎[解析]　本题考查了排列问题的应用．由题意，甲可从4个位置选择一个，其余元素不限制，所以所有不同次序共有AA＝480.利用特殊元素优先安排的原则分步完成得到结论．‎ ‎2．由1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排成一个数列{an}，则a72等于(　　)‎ A．1543 B．2543‎ C．3542 D．4532‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　容易得到千位为1时组成四位数的个数为A＝24，则千位为2、3、4、5时均有四位数24个，由于24×3＝72，四位数由小到大排列，可知第72个数为千位为3的最大的四位数即3542，故选C.‎ ‎3．(2018·辽宁理，6)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(　　)‎ A．144 B．120‎ C．72 D．24‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　采用插空法．任两人隔1椅，共有‎2A＝12，‎ 有两个隔2椅，共有A·A＝12，‎ 共有12＋12＝24(种)方法．‎ ‎4．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有(　　)‎ A．36种 B．42种 C．48种 D．54种 ‎[答案]　B ‎[解析]　分两类解决：‎ 第一类：甲排在第一位，共有A＝24种排法．‎ 第二类：甲排在第二位，共有A·A＝18种排法．‎ 所以节目演出顺序的编排方案共有24＋18＝42种．‎ ‎5．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为(　　)‎ A．AA B．AC C．AA D．AC ‎[答案]　A ‎[解析]　不相邻问题用插空法，8种学生先排有A种，产生9个空，2位老师插空有A种排法，故选A.‎ 二、填空题 ‎6．2018年南京青奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有________种(用数字作答)．‎ ‎[答案]　96‎ ‎[解析]　先安排最后一棒，有A种方案；再安排第一棒，有A种方案；最后安排中间四棒，有A种方案．所以不同的传递方案共有A·A·A＝96种．‎ ‎7．将序号分别为1、2、3、4、5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．‎ ‎[答案]　96‎ ‎[解析]　5张参观券分为4堆，有2个连号的有4种分法，每一种分法中的不同排列有A种，因此共有不同的分法‎4A＝4×24＝96种．‎ ‎8．安排7位工作人员在‎5月1日到‎5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在‎5月1日和2日，不同的安排方法共有________种．(用数字作答)‎ ‎[答案]　2 400‎ ‎[解析]　此为有限制条件的排列应用题．要注意排列顺序．先安排甲、乙两人在后5天值班，有A＝20种排法，其余5人再进行排列，有A＝120种排法，所有共有20×120＝2 400种安排方法．‎ 三、解答题 ‎9．有同一排的电影票6张，3个教师和3个学生按下述要求入座，有多少种坐法？‎ ‎(1)师生相间；‎ ‎(2)3个学生要相邻坐在一起．‎ ‎[解析]　(1)设6个座位编号为1,2,3,4,5,6，若教师坐在1,3,5位置，学生坐在2,4,6位置，坐法有AA种；若教师坐在2,4,6位置，学生坐在1,3,5位置，坐法有AA种．‎ 因此符合条件的坐法为‎2AA＝72种．‎ ‎(2)先排教师，有A种排法；将3个学生看作一个整体，插入3个教师形成的4个“空”中，有A种排法，而3个学生有A种排法，因此符合条件的坐法有AAA＝144种．‎ ‎10．书架上某层有6本书，新买了3本书插进去，要保持原来6本书原有顺序，问有多少种不同插法？‎ ‎[解析]　解法一：9本书按一定顺序排在一层，考虑到其中原来的6本书保持原有顺序，原来的每一种排法都重复了A次．‎ 所以有A÷A＝504(种)．‎ 解法二：把书架上的这一层欲排的9本书看作9个位置，将新买的3本书放入这9个位置中的3个，其余的6本书按着原来顺序依次放入．‎ 则A＝504(种)．‎ 解法三　将新买来的3本书逐一插进去．空档中选1个，有7种选法，第2本书可从现在的7本书的8个空档中选1个，有8种选法，最后1本可从现在的8本书9个空档中选1个有9种选法；3本书都插进去，这件事才算做完，根据乘法原理，共有7×8×9＝504(种)不同的插入方法.‎ 一、选择题 ‎1．(2018·郑州网校期中联考)从6个人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有(　　)‎ A．300种 B．240种 ‎ C．144种 D．96种 ‎[答案]　B ‎[解析]　先从除甲、乙外的4人中选取1人去巴黎，再从其余5人中选3人去伦敦、悉尼、莫斯科，共有不同选择方案，A·A＝240种．‎ ‎2．在由数字1、2、3、4、5组成的没有重复数字的5位数中，大于23 145且小于43 521的数共有(　　)‎ A．56个 B．57个 C．58个 D．60个 ‎[答案]　C ‎[解析]　首位为3时，有A＝24；‎ 首位为2时，千位为3，则有AA＋1＝5，‎ 千位4或5时，AA＝12；‎ 首位为4时，千位为1或2，则AA＝12，‎ 千位为3，则有AA＋1＝5，‎ ‎∴共有24＋5＋12＋12＋5＝58.‎ ‎3．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有(　　)‎ A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 ‎[答案]　A ‎[解析]　本题考查了分步计数原理的应用．利用分步计数原理，先填写最左上角的数，有3种；再填写右上角的数为2种；再填写第二行第一列的数有2种，一共有3×2×2＝12种．故选A.‎ 解题的关键是正确地利用分步计数原理合理地分步计算．‎ ‎4．(2018·四川理，6)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(　　)‎ A．192种 B．216种 ‎ C．240种 D．288种 ‎[答案]　B ‎[解析]　分两类：最左端排甲有A＝120种不同的排法，最左端排乙，由于甲不能排在最右端，所以有CA＝96种不同的排法，由加法原理可得满足条件的排法共有216种．解决排列问题，当有限制条件的问题要注意分类讨论，做到不重、不漏．‎ 二、填空题 ‎5．(2018·辽宁省协作联校三模)航空母舰“辽宁舰”在某次飞行训练中，有5架歼－15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而甲、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有________种．‎ ‎[答案]　36种 ‎[解析]　∵甲、乙相邻，∴将甲、乙看作一个整体与其他3个元素全排列，共有‎2A＝48种，其中甲乙相邻，且甲丁相邻的只能是甲乙丁看作一个整体，甲中间，有AA＝12种，∴共有不同着舰方法48－12＝36种．‎ ‎6．(1)若A＝‎7A，则n＝________；‎ ‎(2)若＝4，则n＝________.‎ ‎[答案]　(1)7　(2)5‎ ‎[解析]　(1)将A＝‎7A按排列数公式展开得n(n－1)＝7(n－4)(n－5)(n≥6，n为正整数)‎ ‎，解得n＝7.‎ ‎(2)将＝4改写为阶乘形式为＝＋＝(n－3)(n－4)＋(n－3)＝4(n≥5，n为正整数)，解得n＝5.‎ 三、解答题 ‎7．从7名运动员中选出4人参加4×‎100米接力，求满足下述条件的安排方法的种数：(1)甲、乙二人都不跑中间两棒；(2)甲、乙二人不都跑中间两棒．‎ ‎[解析]　(1)从甲、乙之外的5人中选2人安排在中间两棒有A种方法，再从所有余下5人中安排首、末棒有A种方法，故符合要求的共有A·A＝400(种)方法．‎ ‎(2)从7人中选4人安排到各接力区有A种方法，去掉甲、乙两人都跑中间两棒的种数为A·A.即得甲、乙二人不都跑中间两棒的有A－A·A＝800(种)方法．‎ ‎[反思总结]　本题主要考查了体育中4×‎100米接力的要求和排列知识，考查了应用数学知识的能力，解决此类问题的关键在于从题目情景中提炼出“序”的实质．‎ ‎8.由0、1、2、3、4、5共六个数字组成没有重复数字的六位数，其中小于50万又不等于5的倍数的数有多少个？‎ ‎[解析]　解法一：因为0和5不能排在首位或个位，先将它们排在中间4个位置上有A种排法，再排其他4个数有A种排法，由分步乘法计数原理，共有A·A＝12×24＝288个符合要求的六位数．‎ 解法二：因为首位和个位上不能排0和5，所以先从1、2、3、4中任选2个排在首位和个位，有A种排法，再排中间4位数有A种排法，由分步乘法计数原理，共有A·A＝12×24＝288个符合要求的六位数．‎ 解法三：六个数字的全排列共有A个，其中有0排在首位或个位上的有‎2A个，还有5排在首位或个位上的也有‎2A个，它们都不合要求应减去，但这种情况都包含0和5分别在首位或个位上的排法‎2A种，所以有A－‎4A＋‎2A＝288个符合要求的六位数．‎