2019版一轮复习理数通用版高考达标检测 对数函数的2类考查点图象性质 7页

高考达标检测（八） 对数函数的 2 类考查点——图象、性质 一、选择题 1．已知 lg a＋lg b＝0(a＞0，且 a≠1，b＞0，且 b≠1)，则函数 f(x)＝ax 与 g(x)＝－logbx 的图象可能是( ) 解析：选 B 因为 lg a＋lg b＝0， 所以 lg ab＝0，所以 ab＝1， 即 b＝1 a ，故 g(x)＝－logbx＝－log 1 a x＝logax， 则 f(x)与 g(x)互为反函数，其图象关于直线 y＝x 对称，结合图象知 B 正确．故选 B. 2．(2017·西安二模)若函数 y＝log2(mx2－2mx＋3)的定义域为 R，则实数 m 的取值范围 是( ) A．(0,3) B．[0,3) C．(0,3] D．[0,3] 解析：选 B 由题意知 mx2－2mx＋3>0 恒成立．当 m＝0 时，3>0，符合题意； 当 m≠0 时，只需 m>0， Δ＝－2m2－12m<0， 解得 02>log23>log45>0，所以 b0，且 a≠1)的图 象如图所示，则 a，b 满足的关系是( ) A．01.又由图象知函数图象与 y 轴交点的纵坐标介于－1 和 0 之间， 即－1f(2) B．f(a＋1)f(2)． 6．已知 a>b>0，a＋b＝1，x＝－ 1 a b，y＝logab 1 a ＋1 b ，z＝logb 1 a ，则 x，y，z 的大小 关系为( ) A．x< z b>0，a＋b＝1，所以 1>a>b>0， 所以1 a>1,04， 所以 x＝－ 1 a b<－1，y＝logab 1 a ＋1 b ＝－1，z＝logb 1 a ∈(－1,0)， 所以 x0，∴g(b)在(1，＋∞)上为增函数， ∴g(b)＝2b＋1 b>3，故选 C. 8．设 a，b，c∈R 且 c≠0， x 1.5 3 5 6 7 8 9 14 27 lg x 2a＋b a＋b a－c＋ 1 b＋c a＋2b ＋c 3(c－a) 2(a＋b) b－a 3(a＋b) 若上表中的对数值恰有两个是错误的，则 a 的值为( ) A．lg 2 21 B.1 2lg 3 14 C.1 2lg3 7 D．lg 6 7 解析：选 B 由题意可得 lg 3＝a＋b，lg 9＝2(a＋b)，lg 27＝3(a＋b)正确， lg 5＝a－c＋1⇒lg 2＝c－a， lg 6＝b＋c⇒lg 2＝c－a， lg 8＝3(c－a)⇒lg 2＝c－a，故这三个都正确； 此时，lg 1.5＝lg 3－lg 2＝2a＋b－c≠2a＋b，所以表中 lg 1.5 错误； lg 7＝a＋2b＋c＝(a＋b)＋(b＋c)＝lg 3＋lg 6＝lg 18，显然错误； 故表中 lg 14＝b－a 是正确的． 综上，lg 2＝c－a，lg 3＝a＋b，lg 14＝b－a， 所以 a＝1 2(lg 3－lg 14)＝1 2lg 3 14. 二、填空题 9．若 log2x＝－log2(2y)，则 x＋2y 的最小值是________． 解析：由 log2x＝－log2(2y)，可得 2xy＝1，且 x，y 均为正数，则 x＋2y≥2 x·2y＝2， 当且仅当 x＝2y，即 x＝1，y＝1 2 时，等号成立，故 x＋2y 的最小值是 2. 答案：2 10．(2017·湛江一模)已知函数 f(x)＝loga 2m－1－mx x＋1 (a>0，且 a≠1)是奇函数，则函数 f(x)的定义域为________． 解析：因为 f(x)为奇函数，所以 f(x)＋f(－x)＝0， 即 loga 2m－1－mx x＋1 ＋loga 2m－1＋mx －x＋1 ＝0， 化简得(m2－1)x2＝4m(m－1)对定义域上的每一个 x 都成立， 所以 m＝1，此时 f(x)＝loga 1－x 1＋x . 由1－x 1＋x >0，解得－10，且 a≠1)满足对任意的 x1，x2， 当 x11， g a 2 >0， 解得 10 时，f(x)＝lg 2x 2x＋1 ，若对任意实数 t∈ 1 2 ，2 ，都有 f(t＋a)－f(t－1)≥0 恒成立，则实数 a 的取值范围为________． 解析：设 u＝ 2x 2x＋1 ＝1－ 1 2x＋1 ，其在(0，＋∞)上是增函数， 则 f(u)＝lg u 在(0，＋∞)上是增函数， 所以复合函数 f(x)＝lg 2x 2x＋1 在(0，＋∞)上是增函数． 又因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数， 所以 f(t＋a)－f(t－1)≥0 等价于 f(t＋a)≥f(t－1)， 即|t＋a|≥|t－1|，对任意实数 t∈ 1 2 ，2 恒成立， 两边平方化简可得 2(a＋1)t＋a2－1≥0 恒成立， 令 g(t)＝2(a＋1)t＋a2－1，则 g 1 2 ＝a＋a2≥0， g2＝a2＋4a＋3≥0， 解得 a≤－3 或 a≥0. 答案：(－∞，－3]∪[0，＋∞) 三、解答题 13．(2018·枣庄模拟)设 x∈[2,8]时，函数 f(x)＝1 2loga(ax)·loga(a2x)(a>0，且 a≠1)的最 大值是 1，最小值是－1 8 ，求实数 a 的值． 解：f(x)＝1 2(logax＋1)(logax＋2) ＝1 2[(logax)2＋3logax＋2] ＝1 2 logax＋3 2 2－1 8. 当 f(x)取最小值－1 8 时，logax＝－3 2. ∵x∈[2,8]，∴a∈(0,1)． ∵f(x)是关于 logax 的二次函数， ∴f(x)的最大值必在 x＝2 或 x＝8 处取得． 若 1 2 loga2＋3 2 2－1 8 ＝1，则 a＝2 3 1 ， 此时 f(x)取得最小值时，x＝ 23 1 3 2 ＝ 2∉[2,8]，舍去； 若 1 2 loga8＋3 2 2－1 8 ＝1，则 a＝1 2 ， 此时 f(x)取得最小值时，x＝ 1 2 3 2 ＝2 2∈[2,8]，符合题意．∴a＝1 2. 14．已知 f(log2x)＝ax2－2x＋1－a，a∈R. (1)求 f(x)； (2)解关于 x 的方程 f(x)＝(a－1)·4x； (3)设 h(x)＝2－xf(x)，a≥1 2 时，对任意 x1，x2∈[－1,1]总有|h(x1)－h(x2)|≤a＋1 2 成立，求 实数 a 的取值范围． 解：(1)令 log2x＝t，即 x＝2t， 则 f(t)＝a·(2t)2－2·2t＋1－a， 即 f(x)＝a·22x－2·2x＋1－a. (2)由 f(x)＝(a－1)·4x，化简得 22x－2·2x＋1－a＝0，即(2x－1)2＝a， 当 a<0 时，方程无解， 当 a≥0 时，解得 2x＝1± a， 若 0≤a<1，则 x＝log2(1± a)， 若 a≥1，则 x＝log2(1＋ a)． (3)对任意 x1，x2∈[－1,1]总有|h(x1)－h(x2)|≤a＋1 2 成立， 等价于当 x∈[－1,1]时，hmax－hmin≤a＋1 2 ， 由已知得，h(x)＝a·2x＋1－a 2x －2， 令 2x＝t，则 y＝at＋1－a t －2，t∈ 1 2 ，2 ， 令 g(t)＝at＋1－a t －2，t∈ 1 2 ，2 ， ①当 a≥1 时，g(t)＝at＋1－a t －2，t∈ 1 2 ，2 单调递增， 此时 g(t)max＝g(2)＝3a－1 2 ，g(t)min＝g 1 2 ＝－3a 2 ， g(t)max－g(t)min＝6a－3 2 ≤a＋1 2 ，解得 a≤4 5(舍去)． ②当4 5 ≤a<1 时，g(t)＝at＋1－a t －2，t∈ 1 2 ，2 单调递增， 此时 g(t)max＝g(2)＝3a－1 2 ，g(t)min＝g 1 2 ＝－3a 2 ， g(t)max－g(t)min＝6a－3 2 ≤a＋1 2 ，解得 a≤4 5 ，∴a＝4 5. ③当1 2 ≤a<4 5 时，g(t)＝at＋1－a t －2，t∈ 1 2 ，2 ， 在 1 2 ， 1 a －1 上单调递减，在 1 a －1，2 上单调递增， 且 g(2)≥g 1 2 ，∴g(t)max＝g(2)＝3a－1 2 ， g(t)min＝g 1 a －1 ＝2 a1－a－2， ∴g(t)max－g(t)min＝3a－1 2 －(2 a1－a－2)≤a＋1 2 即 a≤4 5 ，∴1 2 ≤a<4 5. 综上，实数 a 的取值范围为 1 2 ，4 5 . 1．已知函数 f(x)＝ cos x－π 2 ，x∈[0，π， log2 017 x π ，x∈[π，＋∞， 若存在三个不同的实数 a，b，c，使 得 f(a)＝f(b)＝f(c)，则 a＋b＋c 的取值范围为________． 解析：当 x∈[0，π)时，f(x)＝cos x－π 2 ＝sin x， ∴f(x)在(0，π)上关于 x＝π 2 对称，且 f(x)max＝1； 又当 x∈[π，＋∞)时，f(x)＝log2 017 x π 是增函数， 作出 y＝f(x)的函数图象如图所示． 令 log2 017 x π ＝1 得 x＝2 017π，∵f(a)＝f(b)＝f(c)， ∴a＋b＝π，c∈(π，2 017π)， ∴a＋b＋c＝π＋c∈(2π，2 018π)． 答案：(2π，2 018π) 2．(2017·江苏高考)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 1 的函数，在区间[0,1)上，f(x)＝ x2，x∈D， x，x∉D， 其中集合 D＝ x|x＝n－1 n ，n∈N* ，则方程 f(x)－lg x＝0 的解的个数是 ________． 解析：由于 f(x)∈[0,1)，因此只需考虑 1≤x<10 的情况， 在此范围内，当 x∈Q 且 x∉Z 时，设 x＝q p ，q，p∈N*，p≥2 且 p，q 互质． 若 lg x∈Q，则由 lg x∈(0,1)，可设 lg x＝n m ，m，n∈N*，m≥2 且 m，n 互质， 因此 10n m ＝q p ，则 10n＝ q p m，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此 lg x∉Q， 故 lg x 不可能与每个周期内 x∈D 对应的部分相等， 只需考虑 lg x 与每个周期内 x∉D 部分的交点． 画出函数草图(如图)，图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期 x ∉D 的部分， 且 x＝1 处(lg x)′＝ 1 xln 10 ＝ 1 ln 10<1，则在 x＝1 附近仅有一个交点， 因此方程 f(x)－lg x＝0 的解的个数为 8. 答案：8