云南民族大学附属中学2020届高三第一次高考仿真模拟数学（文）试题 4页

第 1 页，共 4 页（文科数学） 云南民族大学附属中学 2020 届高三第一次高考仿真模拟（文科数学） （考试时间 120 分钟 ， 满分 150 分） 命题人：高才奎 审题人：蔡丽香 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的考号、姓名、考场、座位号、班级在答题卡上 填写清楚。 2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试卷上作答无效。 第 I 卷 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1. 设集合퐴 = *푦|푦 = 2푥,푥 ∈ 푅+，퐵 = *푥|푥2 − 1 < 0+，则퐴⋃퐵 = ( ) A. (−1,1) B. (0,1) C. (−1, +∞) D. (0, +∞) 2. 复数 z 满足푧 − 2 + 푖 = 1，则|푧|的值是( ) A. √5 B. √6 C. √10 D. 2√5 3. 在△ 퐴퐵퐶中，D 在边 AC 上满足퐴퐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 2 퐷퐶⃗⃗⃗⃗⃗ ，E 为 BD 的中点，则퐶퐸⃗⃗⃗⃗⃗ = (    ) A. 5 6 퐵퐴⃗⃗⃗⃗⃗ − 1 3 퐵퐶⃗⃗⃗⃗⃗ B. 1 3 퐵퐴⃗⃗⃗⃗⃗ − 5 6 퐵퐶⃗⃗⃗⃗⃗ C. 1 3 퐵퐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 5 6 퐵퐶⃗⃗⃗⃗⃗ D. 5 6 퐵퐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 1 3 퐵퐶⃗⃗⃗⃗⃗ 4. 幂函数푓(푥) = 푥훼的图象过点(3,5)，且푎 = (1 푒)훼，푏 = √훼3 ，푐 = log훼 1 4，则 a，b，c 的大小关系为( ) A. 푐 < 푎 < 푏 B. 푎 < 푐 < 푏 C. 푎 < 푏 < 푐 D. 푐 < 푏 < 푎 5. “函数푓(푥) = 푎푥2 − (3푎 − 1)푥 + 1在区间,1, +∞)上是增函数”是“0 ≤ 푎 ≤ 1”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知푥, 푦满足条件{ 푥 ≥ 0 푦 ≤ 푥 2푥 + 푦 + 푘 ≤ 0 ，若目标函数푧 = 푥 + 3푦的最大值为 8，则푘 = ( ) A. 6 B. −16 C. − 8 3 D. −6 7. 已知数列*푎푛+的前 n 项和푆푛满足푆푛 = 2푎푛 − 1.若对任意正整数 n 都有휆푆푛+1 − 푆푛 < 0恒成立，则实数휆的 取值范围为( ) A. (−∞, 1) B. .−∞, 1 2/ C. .−∞, 1 3/ D. .−∞, 1 4/ 8. 已知直线 l、m 与平面훼、훽，푙 ⊂ 훼，푚 ⊂ 훽，则下列命题中正确的是( ) A. 若푙//푚，则必有훼//훽 B. 若푙 ⊥ 푚，则必有훼 ⊥ 훽 C. 若푙 ⊥ 훽，则必有훼 ⊥ 훽 D. 若훼 ⊥ 훽，则必有푚 ⊥ 훼 第 2 页，共 4 页（文科数学） 9. 执行如图所示的程序框图，若输出的 S 值为 127，则判断框中可以填( ) A. 푘 < 5？ B. 푘 < 6？ C. 푘 < 7？ D. 푘 < 8？ 10. 设点퐹1、퐹2分别为椭圆 C：푥2 푎2 + 푦2 푏2 = 1的左、右焦点，点 A、B 分别为椭圆 C 的右顶点和下顶点，且点퐹1关于直线 AB 的对称点为푀.若푀퐹2 ⊥ 퐹1퐹2，则 椭圆 C 的离心率为( ) A. √3−1 2 B. √3−1 3 C. √5−1 2 D. √2 2 11. 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1534 石，验得米内夹 谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为( ) A. 134 石 B. 169 石 C. 338 石 D. 1365 石 12. 函数푓(푥) = {2 − 푙표푔2(−푥 + 2),0 ≤ 푥 < 2 2 − 푓(−푥),−2 < 푥 < 0 ，若푓(1 − 푎) < 푓(푎)，则实数 a 的取值范围是( ) A. ,− 1 2 , 1) B. (1 2 , 1- C. (−1, 1 2) D. (1 2 , 2) 第 II 卷 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13. 已知三棱锥푃 − 퐴퐵퐶的体积为4√3 3 ，∠퐴푃퐶 = 휋 4，∠퐵푃퐶 = 휋 3，푃퐴 ⊥ 퐴퐶，푃퐵 ⊥ 퐵퐶，且平面푃퐴퐶 ⊥平面 PBC， 则三棱锥푃 − 퐴퐵퐶外接球的表面积为________． 14. 已知命题푝: |푥 − 6| ≤ 4，푞: 푎 − 1 < 푥 < 푎 + 1，푎 ∈ 푅，若 p 是 q 成立的必要不充分条件，则实数 a 的取 值范围是 ． 15. 我国南北朝时期一部数学著作《张丘建算经》中，有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五 尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为“现有一善织布的女子，从第 2 天开始，每天比前一天多织相 同数量的布，第一天织了 5 尺布，现在一个月(按 30 天计算)共织布 390 尺．”设该女子一个月中第 n 天所织布的尺数为푎푛，则每天增加的数量为________，푎14 + 푎15 + 푎16 + 푎17 =________（第一空 2 分， 第二空 3 分）. 16. 在平面直角坐标系中，当푃(푥, 푦)不是原点时，定义 P 的“伴随点”为푃′( 푦 푥2+푦2 , −푥 푥2+푦2)；当 P 是原点时， 定义 P 的“伴随点”为它自身，平面曲线 C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线퐶′定义为曲线 C 的“伴 随曲线”.现有下列命题： ①若点 A 的“伴随点”是点퐴′，则点퐴′的“伴随点”是点 A； ②单位圆的“伴随曲线”是它自身； ③若曲线 C 关于 x 轴对称，则其“伴随曲线”퐶′关于 y 轴对称； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线． 其中的真命题是______(写出所有真命题的序列，少选得 2 分，多选不得分)． 三、解答题：共 70 分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分. 第 3 页，共 4 页（文科数学） 17. （本小题满分 12 分） 已知函数푓(푥) = sin푥cos푥 + √3cos2푥 − √3 2 ． (1) 求푦 = 푓(푥)的最小正周期，并求其单调递减区间； (2) 퐴퐵퐶的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 푓(퐴) = − √3 2 ，且 A 为钝角，푎 = 2，求 퐴퐵퐶面积的 最大值． 18. （本小题满分 12 分） 某学校高二年级共有 1600 人，现统计他们某项任务完成时间介于 30 分钟到 90 分钟之间，下图是统计 结果的频率分布直方图． （1）求平均数、众数、中位数； （2）若学校规定完成时间在,30,50)分钟内的成绩为 A 等；完成时间在 ,50,70)分钟内的成绩为 B 等；完成时间在,70,90)分钟内的成绩为 C 等， 按成绩分层抽样从全校学生中抽取 10 名学生，则成绩为 B 等的学生抽 取人数为多少？ （3）在(2)条件下抽取的成绩为 B 等的学生中再随机选取两人，求两 人中至少有一人完成任务时间在,60,70)分钟的概率． 19. （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥푃 − 퐴퐵퐶퐷中，푃퐴 ⊥平面 ABCD，퐴퐷//퐵퐶，퐴퐷 ⊥ 퐶퐷，且 퐴퐷 = 퐶퐷 = 2√2，퐵퐶 = 4√2， 푃퐴 = 4． （1）求证：퐴퐵 ⊥ 푃퐶； （2）푀是线段 PD 的中点，求点 P 与平面 MAC 的距离． 第 4 页，共 4 页（文科数学） 20. （本小题满分 12 分） 已知椭圆 E：푥2 푎2 + 푦2 푏2 = 1(푎 > 푏 > 0)的离心率为√2 2 ，퐹1，퐹2分别为 E 的左、右焦点，过 E 的右焦点퐹2作 x 轴的垂线交 E 于 A，B 两点， 퐹1퐴퐵的面积为√2． （1）求椭圆 E 的方程； （2）是否存在与 x轴不垂直的直线 l与 E交于 C，D两点，且弦 CD的垂直平分线过 E的右焦点퐹2？若 存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由． 21. （本小题满分 12 分） 已知函数푓(푥) = 푒푥 − 2푥 − 1． （1）求曲线푦 = 푓(푥)在(0, 푓(0))处的切线方程； （2）设푔(푥) = 푎푓(푥) + (1 − 푎)푒푥，若푔(푥)有两个零点，求实数 a 的取值范围． （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22. （本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线퐶1的极坐 标方程为휌 = 4푠푖푛휃，曲线퐶2的极坐标方程为휌 sin .휃 + 휋 6/ = 2． (1)求曲线퐶1, 퐶2的直角坐标方程； (2)设曲线퐶1, 퐶2交于 A，B 两点，曲线퐶2与 x 轴交于点 E，求线段 AB 的中点到点 E 的距离． 23. （本小题满分 10 分） 已知函数푓(푥) = −푥2 + 푎푥 + 4, 푔(푥) = |푥 + 1| + |푥 − 1| (1)当푎 = 2时，求不等式푓(푥) ≥ 푔(푥)的解集； (2)若不等式푓(푥) ≥ 푔(푥)的解集包含0− 1 2 , 1 21，求 a 的取值范围．