高考数学专题复习练习：13-1-2 专项基础训练 6页

‎ A组　专项基础训练 ‎(时间：50分钟)‎ ‎1．(2017·吉林实验中学)已知椭圆C：＋＝1，直线l：(t为参数)．‎ ‎(1)写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程；‎ ‎(2)设A(1，0)，若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其直线l的距离相等，求点P的坐标．‎ ‎【解析】 (1)椭圆C的参数方程为：(θ为参数)，‎ 直线l的普通方程为x－y＋9＝0.‎ ‎(2)设P(2cos θ，sin θ)，‎ 则|AP|＝＝2－cos θ，‎ P到直线l的距离 d＝＝.‎ 由|AP|＝d，得3sin θ－4cos θ＝5，又sin2θ＋cos2θ＝1，‎ 得sin θ＝，cos θ＝－.‎ 故P.‎ ‎2．(2015·陕西高考)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ＝2sin θ.‎ ‎(1)写出⊙C的直角坐标方程；‎ ‎(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．‎ ‎【解析】 (1)由ρ＝2sin θ，‎ 得ρ2＝2ρsin θ，‎ 从而有x2＋y2＝2y，‎ 所以x2＋(y－)2＝3.‎ ‎(2)设P，又C(0，)，‎ 则|PC|＝ ‎＝，‎ 故当t＝0时，|PC|取得最小值，‎ 此时，点P的直角坐标为(3，0)．‎ ‎3．(2017·辽宁五校联考)倾斜角为α的直线l过点P(8，2)，直线l和曲线C：(θ为参数)交于不同的两点M1，M2.‎ ‎(1)将曲线C的参数方程化为普通方程，并写出直线l的参数方程；‎ ‎(2)求|PM1|·|PM2|的取值范围．‎ ‎【解析】 (1)曲线C的普通方程为＋＝1，‎ 直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(2)将l的参数方程代入曲线C的方程得：‎ ‎(8＋tcos α)2＋8(2＋tsin α)2＝32，‎ 整理得(8sin2α＋cos2α)t2＋(16cos α＋32sin α)t＋64＝0，‎ 由Δ＝(16cos α＋32sin α)2－4×64(8sin2α＋cos2α)＞0，‎ 得cos α＞sin α，故α∈，‎ ‎∴|PM1||PM2|＝|t1t2|‎ ‎＝∈.‎ ‎4．(2017·山西模拟)在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin.现以极点O为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)设直线l和曲线C交于A，B两点，定点P(－2，－3)，求|PA|·|PB|的值．‎ ‎【解析】 (1)ρ＝4sin＝4sin θ＋4cos θ，‎ 所以ρ2＝4ρsin θ＋4ρcos θ，‎ 所以x2＋y2－4x－4y＝0，‎ 即(x－2)2＋(y－2)2＝8；‎ 直线l的普通方程为x－y＋2－3＝0.‎ ‎(2)把直线l的参数方程代入到圆C：‎ x2＋y2－4x－4y＝0中，‎ 得t2－(4＋5)t＋33＝0，‎ 设A，B对应的参数分别为t1，t2，‎ 则t1t2＝33.‎ 点P(－2，－3)显然在直线l上，‎ 由直线标准参数方程下t的几何意义知 ‎|PA|·|PB|＝|t1t2|＝33，‎ 所以|PA|·|PB|＝33.‎ ‎5．(2017·长春模拟)以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为(1，－5)，点C的极坐标为，若直线l过点P，且倾斜角为，圆C的半径为4.‎ ‎(1)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；‎ ‎(2)试判断直线l与圆C的位置关系．‎ ‎【解析】 (1)直线l的参数方程为(t为参数)，‎ 即(t为参数)．‎ 由题知C点的直角坐标为(0，4)，圆C的半径为4，‎ ‎∴圆C的方程为x2＋(y－4)2＝16，‎ 将代入得，‎ 圆C的极坐标方程为ρ＝8sin θ.‎ ‎(2)由题意得，直线l的普通方程为x－y－5－＝0，‎ 圆心C到l的距离为d＝＝＞4，‎ ‎∴直线l与圆C相离．‎ ‎6．(2017·沈阳模拟)已知曲线C1的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝8，曲线C2的极坐标方程为θ＝，曲线C1，C2相交于A，B两点．‎ ‎(1)求A，B两点的极坐标；‎ ‎(2)曲线C1与直线(t为参数)分别相交于M，N两点，求线段MN的长度．‎ ‎【解析】 (1)由得ρ2cos ＝8，‎ 所以ρ2＝16，即ρ＝±4.‎ 所以A，B两点的极坐标为：A，B或B.‎ ‎(2)由曲线C1的极坐标方程得其直角坐标方程为x2－y2＝8，‎ 将直线代入x2－y2＝8，‎ 整理得t2＋2t－14＝0，‎ 即t1＋t2＝－2，t1·t2＝－14，‎ 所以|MN|＝＝2.‎ B组　专项能力提升 ‎(时间：40分钟)‎ ‎7．已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．‎ ‎(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；‎ ‎(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．‎ ‎【解析】 (1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．‎ 直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.‎ ‎(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离为d＝|4cos θ＋3sin θ－6|.‎ 则|PA|＝ ‎＝|5sin(θ＋α)－6|，‎ 当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.‎ 当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.‎ ‎8．(2017·洛阳模拟)极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为(t为参数)．曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝8cos θ.‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，与x轴的交点为F，求＋的值．‎ ‎【解析】 (1)由ρsin2θ＝8cos θ得，ρ2sin2θ＝8ρcos θ，‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为y2＝8x.‎ ‎(2)易得直线l与x轴的交点为F(2，0)，‎ 将直线l的方程代入y2＝8x，‎ 得(tsin α)2＝8(2＋tcos α)，‎ 整理得sin2α·t2－8cos α·t－16＝0.‎ 由已知sin α≠0，‎ Δ＝(－8cos α)2－4×(－16)sin2α＝64＞0，‎ ‎∴t1＋t2＝，t1t2＝－＜0，‎ 故＋＝＝ ‎＝＝＝.‎ ‎9．(2016·课标全国Ⅱ)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.‎ ‎(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；‎ ‎(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝，求l的斜率．‎ ‎【解析】 (1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.‎ ‎(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．‎ 设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.‎ 于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.‎ ‎|AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝.‎ 由|AB|＝得cos2α＝，tan α＝±.‎ 所以l的斜率为或－.‎ ‎10．(2016·课标全国Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.‎ ‎(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．‎ ‎【解析】 (1)C1的普通方程为＋y2＝1.‎ C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.‎ ‎(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos α，sin α)．因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，‎ d(α)＝ ‎＝.‎ 当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.‎