高考数学专题复习（精选精讲）练习2-恒成立习题（函数、不等式）精选精讲 10页

函数中恒成立问题解题策略 函数的内容作为高中数学知识体系的核心，也是历年高考的一个热点.函数类问题的解决最终归结为对函数性质、函数思想的应用.恒成立问题，在高中数学中较为常见.这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.‎ 恒成立问题在解题过程中有以下几种策略：①赋值型；②一次函数型；③二次函数型；④变量分离型；⑤数形结合型.‎ 现在我们一起来探讨其中一些典型的问题.‎ 策略一、赋值型——利用特殊值求解 等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得.‎ 例1．由等式x4+a1x3+a2x2+a3x+a4= (x+1)4+b1(x+1)3+ b2(x+1)2+b3(x+1)+b4 定义映射f：(a1,a2,a3,a4)→b1+b2+b3+b4,则f：(4,3,2,1) → ( )‎ A.10 B‎.7 ‎‎ C.-1 D.0‎ 略解：取x=0，则 a4=1+b1+b2+b3+b4,又 a4=1,所以b1+b2+b3+b4 =0 ，故选D 例2．如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x的图象关于直线x= 对称，那么a=（ ）.‎ A.1 B.‎-1 C . D. -.略解：取x=0及x=，则f(0)=f(),即a=-1，故选B.‎ 此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想.‎ 策略二、一次函数型——利用单调性求解 给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（线段）（如下图） 可得上述结论等价于 ⅰ），或 ⅱ） 可合并定成 n m o x y n m o x y 同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有 例3．对于满足|a|2的所有实数a,求使不等式x2+ax+1>‎2a+x恒成立的x的取值范围.‎ 分析：在不等式中出现了两个字母：x及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数.显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于a的一次函数大于0恒成立的问题.‎ 解：原不等式转化为(x-1)a+x2-2x+1>0在|a|2时恒成立,‎ 设f(a)= (x-1)a+x2-2x+1,则f(a)在[-2,2]上恒大于0，故有：‎ 即解得：‎ ‎∴x<-1或x>3. 即x∈(－∞,－1)∪(3,+∞)‎ 此类题本质上是利用了一次函数在区间[m,n]上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在x轴上方（或下方）即可.‎ 策略三、二次函数型——利用判别式,韦达定理及根的分布求解 对于二次函数f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)在实数集R上恒成立问题可利用判别式直接求解，即 ‎ f(x)>0恒成立；f(x)<0恒成立.‎ 若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解.‎ 例4． 若函数的定义域为R，求实数 的取值范围.‎ 分析：该题就转化为被开方数在R上恒成立问题，并且注意对二次项系数的讨论.‎ 解：依题意，当恒成立，‎ 所以，①当此时 ‎②当有 综上所述，f(x)的定义域为R时，‎ 例5.已知函数，在R上恒成立，求的取值范围.‎ 分析：的函数图像都在X轴及其上方，如右图所示：‎ 略解：‎ 变式1：若时，恒成立，求的取值范围.‎ 分析：要使时，恒成立，只需的最小值即可.‎ 解：，令在上的最小值为.‎ ‎⑴当，即时， 又 ‎ 不存在.‎ ‎⑵当，即时， 又 ‎ ‎⑶当，即时， 又 综上所述，.‎ 变式2：若时，恒成立，求的取值范围.‎ 解法一：分析：题目中要证明在上恒成立，若把2移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间时恒大于等于0的问题.‎ ‎2‎ ‎—2‎ 略解：，即在上成立.‎ ‎⑴ ‎ ‎⑵ ‎ 综上所述，.‎ 解法二：（运用根的分布） ‎ ‎⑴当，即时， 不存在.‎ ‎⑵当，即时，，‎ ‎⑶当，即时，， 综上所述.‎ 此题属于含参数二次函数，求最值时，轴变区间定的情形，对轴与区间的位置进行分类讨论；还有与其相反的，轴动区间定，方法一样.‎ 对于二次函数在R上恒成立问题往往采用判别式法（如例4、例5），而对于二次函数在某一区间上恒成立问题往往转化为求函数在此区间上的最值问题 策略四、变量分离型——分离变量，巧妙求解 运用不等式的相关知识不难推出如下结论：若对于x取值范围内的任何一个数都有f(x)>g(a)恒成立，则g(a)f(x)max.(其中f(x)max和f(x)min分别为f(x)的最大值和最小值)‎ 例6.已知三个不等式①，②，③．要使同时满足①②的所有x的值满足③，求m的取值范围.‎ 略解：由①②得23;②,构造函数，画出图象，得a<3.‎ 利用数形结合解决恒成立问题，应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围.‎ 恒成立的题型和解法还有很多，只要我们充分利用所给定的函数的特点和性质，具体问题具体分析，选用恰当的方法，对问题进行等价转化，就能使问题获得顺利解决. 只有这样才能真正提高分析问题和解决问题的能力.‎ 浅谈不等式恒成立问题 ‎1 转换主元法 确定题目中的主元，化归成初等函数求解。此方法通常化为一次函数。‎ ‎ 例1：若不等式 2x－1>m(x2-1)对满足－2m2的所有m都成立，求x的取值范围。‎ ‎ 解：原不等式化为 (x2－1)m－(2x－1)<0‎ ‎ 记f(m)= (x2－1)m－(2x－1) (－2m2)‎ ‎ 根据题意有：‎ ‎ 即：‎ 解之：得x的取值范围为 ‎2 化归二次函数法 根据题目要求，构造二次函数。结合二次函数实根分布等相关知识，求出参数取值范围。‎ 例2：在R上定义运算：xy＝(1－y) 若不等式(x－a)(x＋a)<1对任意实数x成立，则 ( ) (A)－10对xR恒成立 记f(x)=x2-x-a2+a+1‎ 则应满足(-1)2-4(-a2+a+1)<0‎ 化简得 4a2-4a-3<0‎ 解得 ,故选择C。‎ 例3：若不等式x2-2mx+2m+1>0对满足0x1的所有实数x都成立，求m的取值范围。‎ 解：设f(x)=x2-2mx+2m+1‎ 本题等价于函数f(x)在0x1上的最小值大于0，求m的取值范围。‎ ‎(1)当m<0时，f(x)在[0,1]上是增函数，因此f(0)是最小值，‎ 解 得 1时，f(x)在[0,1] 上是减函数，因此f(1)是最小值 解 得 m>1‎ 综合(1)(2)(3) 得 ‎ 注：当化归为二次函数后，自变量是实数集的子集时，应用二次函数知识解决有时较繁琐。此型题目有时也可转化为后面的法3求解。‎ ‎3 分离参数法 在题目中分离出参数，化成a>f(x) （afmax(x) （aan-1恒成立，求a0的取值范围。‎ 解：依题意：‎ ‎[3n+(-1)n-1·2n]+(-1)n·2n·a0>[3n-1+(-1)n-2·2n-1]+(-1)n-1·2n-1·a0‎ 化简，得 (-1)n·3·2n-1·a0>-·3n-1+(-1)n·2n-1‎ ‎ (1)当n=2k-1 kN*时 ‎ a0<·()n-1+‎ ‎ 设g1(n)= ·()n-1+‎ ‎ ∵g1(n)在nN* 时且n=2k-1,kN*时是增函数 ‎ ∴g1(n)的最小值为g1(1)＝‎ ‎ ∴a0<‎ ‎ (2) 当n=2k kN*时 ‎ a0>-·()n-1+‎ ‎ 设g2(n)=- ·()n-1+‎ ‎ ∵g2(n)在nN*且n=2k,kN*时是减函数 ‎ ∴g2(n)的最大值为g2(2)＝0‎ ‎ ∴a0>0‎ 综上可知00。设x0(0, )，y=kx+m是曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程并设函数g(x)=kx+m ‎（Ⅰ）用x0，f(x0)，(x0)表示m；‎ ‎（Ⅱ）证明：当x(0, )时，g(x)f(x)‎ ‎（Ⅲ）若关于x的不等式x2+1ax+b在[0, ）上恒成立，其中a、b为实数。求b的取值范围及a与b所满足的关系。‎ ‎ ‎ 本题（Ⅲ）应用了此方法。‎ ‎（Ⅲ）解：0b1，a>0是不等式成立的必要条件。以下讨论设此条件成立。‎ ‎ x2+1ax+b 即x2-ax+(1-b)≥0对任意x[0, )成立的充要条件是a 令(x)=ax+b-，于是ax+b对任意x[0, )成立的充要条件是(x)0‎ 由(x)=a-=0得x= ‎ 当0时，(x) >0,所以，当x＝时，(x)取最小值。因此，(x)0成立的充要条件是()0。‎ 即a ‎ 综上，不等式x2+1ax+b对任意x[0, ]成立的充要条件是 ‎ a………………………………………………①‎ 显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：‎ 不等式…………………………………………②‎ 有解。‎ 解不等式②得 ……………………………③‎ 因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数a与b所满足的关系。‎ ‎4.数型结合法 例7：如果对任意实数x，不等式恒成立，则实数k的取值范围是 解析：画出y1=,y2=kx的图像，由图可看出 0k1‎ K=1‎ 例8：已知a>0且a1,当x(-1，1)时，不等式x2-ax<恒成立，则a的取值范围 解析：不等式x2-ax<可化为 ax> x2-‎ 画出y1= ax,y2= x2-的图像。由图可看出 a<1或1m(x2-1)对满足-2≤m≤2的所有m都成立，求x的取值范围。‎ ‎ 分析：从表面上看，这是一个关于x的一元二次不等式，实质上可看作是关于m的一元一次不等式，并且已知它的解集为［－2，2］，求参数x的取值范围，这是一种“转换主元”的思想方法。‎ ‎ 解：原不等式化为(x2-1)m-(2x-1)<0‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎4函数。‎ ‎ 解：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 例5．(1990年上海高考题)设A={x||x-|},B={x|x-3(a+1)x+2(3a+1)0},求使AB的a 的取值范围。 解：易得A=[2a,a＋1].记f(x)=x-3(a+1)x+2(3a+1),则AB当且仅当对xA，f(x)0恒成立 ，其充要条件是f(x)在A上的最大值不大于零。‎ 而f(x)在A上的最大值为f(2a)或f(a＋1)。因而 a=-1或‎1‎a3.故工的范围为[1,3]{-1}.‎