高考数学专题复习练习：考点规范练42 6页

考点规范练42　点与直线、两条直线的位置关系 ‎　考点规范练B册第29页　 ‎ 基础巩固组 ‎1.已知直线3x+4y-3=0与直线6x+my+14=0平行,则它们之间的距离是(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.1 B.2 C.‎1‎‎2‎ D.4‎ 答案B 解析由直线3x+4y-3=0与直线6x+my+14=0平行可得‎6‎‎3‎‎=‎m‎4‎,则m=8,直线6x+8y+14=0可化为3x+4y+7=0.‎ 故d=‎|-3-7|‎‎3‎‎2‎‎+‎‎4‎‎2‎‎=‎‎10‎‎5‎=2.‎ ‎2.若动点A,B分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为(　　)‎ A.3‎2‎ B.2‎2‎ C.3‎3‎ D.4‎‎2‎ 答案A 解析依题意知,AB的中点M的集合为与直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0距离相等的直线,则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离.设点M所在直线的方程为l:x+y+m=0,根据平行线间的距离公式得‎|m+7|‎‎2‎‎=‎‎|m+5|‎‎2‎⇒|m+7|=|m+5|⇒m=-6,即l:x+y-6=0,根据点到直线的距离公式,得中点M到原点的距离的最小值为‎|-6|‎‎2‎=3‎2‎.‎ ‎3.若向量a=(k+2,1)与向量b=(-b,1)共线,则直线y=kx+b必经过定点(　　)‎ A.(1,-2) B.(1,2) C.(-1,2) D.(-1,-2)‎ 答案A 解析因为向量a=(k+2,1)与向量b=(-b,1)共线,则k+2=-b,即b=-2-k,于是直线方程化为y=kx-k-2,即y+2=k(x-1),故直线必过定点(1,-2).‎ ‎4.已知平行四边形ABCD的一条对角线固定在A(3,-1),C(2,-3)两点,D点在直线3x-y+1=0上移动,则B点的轨迹方程为(　　)‎ A.3x-y-20=0 B.3x-y-10=0‎ C.3x-y-9=0 D.3x-y-12=0‎ 答案A 解析设AC的中点为O,则O‎5‎‎2‎‎,-2‎.‎ 设B(x,y)关于点O的对称点为(x0,y0),‎ 即D(x0,y0),则x‎0‎‎=5-x,‎y‎0‎‎=-4-y,‎ 由3x0-y0+1=0得3x-y-20=0.‎ ‎5.‎ 如图所示,已知两点A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是(　　)‎ A.2‎10‎ B.6‎ C.3‎3‎ D.2‎5‎〚导学号74920506〛‎ 答案A 解析易得AB所在的直线方程为x+y=4,由于点P关于直线AB对称的点为A1(4,2),点P关于y轴对称的点为A2(-2,0),则光线所经过的路程即A1(4,2)与A2(-2,0)两点间的距离.于是|A1A2|=‎(4+2‎)‎‎2‎+(2-0‎‎)‎‎2‎=2‎10‎.‎ ‎6.(2016上海,文3)已知平行直线l1:2x+y-1=0,l2:2x+y+1=0,则l1与l2之间的距离是　　　　　. ‎ 答案‎2‎‎5‎‎5‎ 解析利用两平行线间距离公式,‎ 得d=‎|C‎1‎-C‎2‎|‎A‎2‎‎+‎B‎2‎‎=‎|-1-1|‎‎2‎‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎=‎‎2‎‎5‎‎5‎.‎ ‎7.已知点A(1,3)关于直线y=kx+b对称的点是B(-2,1),则直线y=kx+b在x轴上的截距是　　　　　. ‎ 答案‎5‎‎6‎ 解析由题意得线段AB的中点‎-‎1‎‎2‎,2‎在直线y=kx+b上,故‎3-1‎‎1+2‎‎·k=-1,‎‎2=k·‎-‎‎1‎‎2‎+b,‎解得k=-‎3‎‎2‎,‎b=‎5‎‎4‎,‎所以直线方程为y=-‎3‎‎2‎x+‎5‎‎4‎.‎ 令y=0,即-‎3‎‎2‎x+‎5‎‎4‎=0,解得x=‎5‎‎6‎,故直线y=kx+b在x轴上的截距为‎5‎‎6‎.‎ ‎8.已知点P(4,a)到直线4x-3y-1=0的距离不大于3,则a的取值范围是　　　　　. ‎ 答案[0,10]‎ 解析由题意得,点P到直线的距离为‎|4×4-3×a-1|‎‎5‎‎=‎‎|15-3a|‎‎5‎.‎ 又‎|15-3a|‎‎5‎≤3,即|15-3a|≤15,解得0≤a≤10,故a的取值范围是[0,10].‎ ‎9.已知两条直线l1:(3+m)x+4y=5-3m,l2:2x+(5+m)y=8.当m分别为何值时,l1与l2:‎ ‎(1)相交?　(2)平行?　(3)垂直?‎ 解(1)当m=-5时,显然l1与l2相交但不垂直;‎ 当m≠-5时,两条直线l1和l2的斜率分别为k1=-‎3+m‎4‎,k2=-‎2‎‎5+m,它们在y轴上的截距分别为b1=‎5-3m‎4‎,b2=‎8‎‎5+m.‎ 由k1≠k2,得-‎3+m‎4‎≠-‎2‎‎5+m,‎ 即m≠-7且m≠-1.‎ 则当m≠-7且m≠-1时,l1与l2相交.‎ ‎(2)由k‎1‎‎=k‎2‎,‎b‎1‎‎≠b‎2‎,‎得‎-‎3+m‎4‎=-‎2‎‎5+m,‎‎5-3m‎4‎‎≠‎8‎‎5+m,‎得m=-7.‎ 则当m=-7时,l1与l2平行.‎ ‎(3)由k1k2=-1,得‎-‎‎3+m‎4‎‎·‎‎-‎‎2‎‎5+m=-1,‎ 解得m=-‎13‎‎3‎.则当m=-‎13‎‎3‎时,l1与l2垂直.‎ ‎10.已知光线从点A(-4,-2)射出,到直线y=x上的B点后被直线y=x反射到y轴上的C点,又被y轴反射,这时反射光线恰好过点D(-1,6),求BC所在的直线方程.‎ 解作出草图如图所示.‎ 设A关于直线y=x的对称点为A',D关于y轴的对称点为D',‎ 则易得A'(-2,-4),D'(1,6).‎ 由入射角等于反射角可得A'D'所在直线经过点B与点C.‎ 故BC所在的直线方程为y-6‎‎-4-6‎‎=‎x-1‎‎-2-1‎,‎ 即10x-3y+8=0.‎ 能力提升组 ‎11.点P到点A'(1,0)和到直线x=-1的距离相等,且P到直线y=x的距离等于‎2‎‎2‎,这样的点P共有(　　)‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个〚导学号74920507〛‎ 答案C 解析设P(x,y),由题意知‎(x-1‎)‎‎2‎+‎y‎2‎=|x+1|且‎2‎‎2‎‎=‎‎|x-y|‎‎2‎,所以y‎2‎‎=4x,‎‎|x-y|=1,‎即y‎2‎‎=4x,‎x-y=1‎①或y‎2‎‎=4x,‎x-y=-1,‎②‎ 解得①有两根,②有一根.‎ ‎12.已知M=‎(x,y)‎y-3‎x-2‎‎=3‎,N={(x,y)|ax+2y+a=0},且M∩N=⌀,则a=(　　)‎ A.-6或-2 B.-6‎ C.2或-6 D.-2〚导学号74920508〛‎ 答案A 解析集合M表示去掉一点A(2,3)的直线3x-y-3=0,集合N表示恒过定点B(-1,0)的直线ax+2y+a=0,因为M∩N=⌀,所以两直线要么平行,要么直线ax+2y+a=0与直线3x-y-3=0相交于点A(2,3).因此‎-a‎2‎=3或2a+6+a=0,即a=-6或a=-2.‎ ‎13.已知曲线‎|x|‎‎2‎‎-‎‎|y|‎‎3‎=1与直线y=2x+m有两个交点,则m的取值范围是(　　)‎ A.(-∞,-4)∪(4,+∞) B.(-4,4)‎ C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-3,3)〚导学号74920509〛‎ 答案A 解析曲线‎|x|‎‎2‎‎-‎‎|y|‎‎3‎=1的草图如图所示.由该曲线与直线y=2x+m有两个交点,可得m>4或m<-4.‎ ‎14.已知点P(x,y)到A(0,4)和B(-2,0)的距离相等,则2x+4y的最小值为　　　　　. ‎ 答案4‎‎2‎ 解析由题意得,点P在线段AB的中垂线上,则易得x+2y=3,故2x+4y≥2‎2‎x‎·‎‎4‎y=2‎2‎x+2y=4‎2‎,当且仅当x=2y=‎3‎‎2‎时等号成立,故2x+4y的最小值为4‎2‎.‎ ‎15.已知三条直线l1:2x-y+a=0(a>0),l2:-4x+2y+1=0,l3:x+y-1=0,且l1与l2之间的距离是‎7‎‎5‎‎10‎.‎ ‎(1)求a的值;‎ ‎(2)能否找到一点P,使P同时满足下列三个条件:‎ ‎①点P在第一象限;‎ ‎②点P到l1的距离是点P到l2的距离的‎1‎‎2‎;‎ ‎③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是‎2‎‎∶‎‎5‎.‎ 若能,求点P的坐标;若不能,说明理由.‎ 解(1)因为直线l2:2x-y-‎1‎‎2‎=0,所以两条平行线l1与l2间的距离为d=a-‎‎-‎‎1‎‎2‎‎2‎‎2‎‎+(-1‎‎)‎‎2‎‎=‎‎7‎‎5‎‎10‎,所以a+‎‎1‎‎2‎‎5‎‎=‎‎7‎‎5‎‎10‎,即a+‎‎1‎‎2‎‎=‎‎7‎‎2‎,又a>0,解得a=3.‎ ‎(2)假设存在点P,设点P(x0,y0).若P点满足条件②,则P点在与l1,l2平行的直线l':2x-y+c=0上,且‎|c-3|‎‎5‎‎=‎‎1‎‎2‎c+‎‎1‎‎2‎‎5‎,即c=‎13‎‎2‎或c=‎11‎‎6‎,所以2x0-y0+‎13‎‎2‎=0或2x0-y0+‎11‎‎6‎=0;‎ 若P点满足条件③,由点到直线的距离公式,有‎|2x‎0‎-y‎0‎+3|‎‎5‎‎=‎‎2‎‎5‎‎|x‎0‎+y‎0‎-1|‎‎2‎,‎ 即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|,‎ 所以x0-2y0+4=0或3x0+2=0;‎ 因为点P在第一象限,所以3x0+2=0不可能.‎ 联立‎2x‎0‎-y‎0‎+‎13‎‎2‎=0,‎x‎0‎‎-2y‎0‎+4=0,‎ 解得x‎0‎‎=-3,‎y‎0‎‎=‎‎1‎‎2‎(舍去);‎ 联立‎2x‎0‎-y‎0‎+‎11‎‎6‎=0,‎x‎0‎‎-2y‎0‎+4=0,‎解得x‎0‎‎=‎1‎‎9‎,‎y‎0‎‎=‎37‎‎18‎.‎ 所以存在点P‎1‎‎9‎‎,‎‎37‎‎18‎同时满足三个条件.‎ 高考预测 ‎16.设两条直线的方程分别为x+y+a=0,x+y+b=0,已知a,b是方程x2+x+c=0的两个实根,且0≤c≤‎1‎‎8‎,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是(　　)‎ A.‎2‎‎4‎‎,‎‎1‎‎4‎ B.‎2‎‎,‎‎2‎‎2‎ C.‎2‎‎,‎‎1‎‎2‎ D.‎2‎‎2‎‎,‎‎1‎‎2‎〚导学号74920510〛‎ 答案D 解析依题意得|a-b|=‎(a+b‎)‎‎2‎-4ab‎=‎‎1-4c,当0≤c≤‎1‎‎8‎时,‎2‎‎2‎≤|a-b|=‎1-4c≤1.‎ 因为两条直线间的距离等于‎|a-b|‎‎2‎,所以两条直线间的距离的最大值与最小值分别是‎2‎‎2‎‎,‎2‎‎2‎×‎1‎‎2‎=‎‎1‎‎2‎.‎