高考数学专题复习练习选修4-1 第2讲 直线与圆的位置关系 5页

第2讲 直线与圆的位置关系 一、填空题 ‎1．如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝90°，AB＝2，CD＝1，则BC＝________．‎ 解析 延长BC交AD的延长线于P，‎ ‎∵∠B＝90°，∠A＝60°，‎ ‎∴∠P＝30°，∠CDP＝∠B＝90°.‎ 在Rt△CDP中，CD＝1，‎ ‎∴PC＝2.‎ 在Rt△ABP中，‎ BP＝AB＝2，‎ ‎∴BC＝BP－PC＝2－2.‎ 答案 2－2‎ ‎2．如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB＝7，C是圆上一点使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，则AB＝________．‎ 解析 由弦切角定理得∠PAB＝∠ACB，又因为∠BAC＝∠APB，所以△PAB∽△ACB，可得＝，将PB＝7，BC＝5代入得AB＝.‎ 答案 ‎3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，⊙O过A、B两点且与BC相切于点B，与AC交于点D，连接BD，若BC＝－1，则AC＝________.‎ 解析　由题易知，∠C＝∠ABC＝72°，∠A＝∠DBC＝36°，所以△BCD∽△ACB，‎ 又易知BD＝AD＝BC，所以BC2＝CD·AC＝(AC－BC)·AC，解得AC＝2.‎ 答案　2‎ ‎4. 如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为‎3 cm，‎4 cm，以AC为直径的圆与AB交于D，则＝________.‎ 解析　∵∠C＝90°，AC为圆的直径，‎ ‎∴BC为圆的切线，AB为圆的割线，‎ ‎∴BC2＝BD·AB，即16＝BD·5，解得BD＝，‎ ‎∴DA＝BA－BD＝5－＝，∴＝.‎ 答案　 ‎5. 如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若＝，＝，则的值为________．‎ 解析　∵∠P＝∠P，∠PCB＝∠PAD，‎ ‎∴△PCB∽△PAD，‎ ‎∴＝＝，‎ ‎∵＝，＝，∴＝.‎ 答案　 ‎6. 如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝________.‎ 解析　由题意知，AB＝6，AE＝1，‎ ‎∴BE＝5.∴CE·DE＝DE2＝AE·BE＝5.在Rt△DEB中，∵EF⊥DB，∴由射影定理得DF·DB＝DE2＝5.‎ 答案　5‎ ‎7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝110°，则∠BCD＝______度．‎ 解析：∵∠BOD＝110°，‎ ‎∠BAD＝∠BOD，‎ ‎∴∠BAD＝55°.‎ ‎∵四边形ABCD内接于⊙O，‎ ‎∴∠BAD＋∠BCD＝180°，‎ ‎∴∠BCD＝125°.[来源:Z*xx*k.Com]‎ 答案：125‎ ‎8. 如图，⊙O和⊙O′相交于A、B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C、D.若BC＝2，BD＝4，则AB的长为________．‎ 解析　∵AC、AD分别是两圆的切线，‎ ‎∴∠C＝∠2，∠1＝∠D，‎ ‎∴△ACB∽△DAB.‎ ‎∴＝，‎ ‎∴AB2＝BC·BD＝2×4＝8.‎ ‎∴AB＝＝2(舍去负值)．‎ 答案　2 二、解答题 ‎9．如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点．若CF∥AB，‎ 证明：(1)CD＝BC；‎ ‎(2)△BCD∽△GBD.‎ 证明　(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，连结AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.‎ 因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC.‎ ‎(2)因为FG∥BC，故GB＝CF.‎ 由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD.所以∠BGD＝∠BDG.‎ 由BC＝CD知∠CBD＝∠CDB.‎ 而∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，‎ 故△BCD∽△GBD.‎ ‎10．如图，已知AB是半圆的直径，D是AB上的一点，CD⊥AB，CD交半圆于点E，CT是半圆的切线，T是切点，‎ 求证：BE2＋CT2＝BC2.‎ 证明：连接AE，AF，∵AB是直径，‎ ‎∴∠AEB＝∠AFB＝90°，‎ 又∠CDB＝90°，∠ABF＝∠DBC，‎ ‎∴△DBC∽△FBA，‎ ‎∴＝，‎ 即AB·BD＝BC·BF，‎ ‎∵∠AEB＝90°，CD⊥AB，‎ ‎∴BE2＝BD·AB(射影定理)．‎ ‎∵CT是切线，CB是割线，‎ ‎∴CT2＝CF·CB.‎ ‎∴BC2－CT2＝BC2－CF·CB ‎＝BC(BC－CF)＝BC·BF，‎ ‎∴BE2＝BC2－CT2，即BE2＋CT2＝BC2.‎