人教a版数学【选修1-1】作业：3-2-2本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)（含答案） 4页

§3.2导数的计算 3.2.1 几个常用函数的导数 3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一) 课时目标 1.能根据定义求函数 y＝c，y＝x，y＝x2，y＝1 x 的导数.2.能利用给出的基本 初等函数的导数公式求简单函数的导数． 1．函数 y＝f(x)＝c的导数为____________，它表示函数 y＝c图象上每一点处，切线的 斜率为 0.若 y＝c表示路程关于时间的函数，则 y′＝0 可以解释为某物体的____________ 始终为 0，即一直处于________状态．函数 y＝f(x)＝x的导数为__________，它表示函数 y ＝x图象上每一点处切线的斜率为 1.若 y＝x表示路程关于时间的函数，则 y′＝1可以解释 为某物体做____________为 1的______________运动． 2．常见基本初等函数的导数公式： (1)若 f(x)＝c(c为常数)，则 f′(x)＝______； (2)若 f(x)＝xα (α∈Q*)，则 f′(x)＝________； (3)若 f(x)＝sin x，则 f′(x)＝________； (4)若 f(x)＝cos x，则 f′(x)＝________； (5)若 f(x)＝ax，则 f′(x)＝________ (a>0)； (6)若 f(x)＝ex，则 f′(x)＝________； (7)若 f(x)＝logax，则 f′(x)＝________ (a>0，且 a≠1)； (8)若 f(x)＝ln x，则 f′(x)＝________. 一、选择题 1．下列结论不正确的是( ) A．若 y＝3，则 y′＝0 B．若 y＝ 1 x ，则 y′＝－ 1 2 x C．若 y＝－ x，则 y′＝－ 1 2 x D．若 y＝3x，则 y′＝3 2．下列结论：①(cos x)′＝sin x；② sin π 3 ′＝cos π 3 ；③若 y＝ 1 x2 ，则 y′|x＝3＝－ 2 27 . 其中正确的有( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．已知直线 y＝kx是曲线 y＝ex的切线，则实数 k的值为( ) A.1 e B．－ 1 e C．－e D．e 4．正弦曲线 y＝sin x上一点 P，以点 P为切点的切线为直线 l，则直线 l的倾斜角的范 围是( ) A． 0，π 4 ∪ 3π 4 ，π B．[0，π) C． π 4 ， 3π 4 D． 0，π 4 ∪ π 2 ， 3π 4 5．已知曲线 y＝x3在点 P处的切线斜率为 k，则当 k＝3时的 P点坐标为( ) A．(－2，－8) B．(－1，－1)或(1,1) C．(2,8) D． － 1 2 ，－ 1 8 6．质点沿直线运动的路程 s与时间 t的关系是 s＝ 5 t，则质点在 t＝4时的速度为( ) A． 1 2 5 23 B． 1 10 5 23 C．2 5 5 23 D． 1 10 5 23 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7．曲线 y＝cos x在点 A π 6 ， 3 2 处的切线方程为__________________________． 8．已知 f(x)＝xa，a∈Q，若 f′(－1)＝－4，则 a＝ ________________________________________________________________________. 9．若函数 y＝f(x)满足 f(x－1)＝1－2x＋x2，则 y′＝f′(x)＝________. 三、解答题 10．求下列函数的导数： (1)y＝x12；(2)y＝1 x4 ；(3)y＝ 5 x3；(4)y＝10x. 11．求过点(2,0)且与曲线 y＝x3相切的直线方程． 能力提升 12．设曲线 y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与 x轴的交点的横坐标为 xn，令 an＝lg xn， 则 a1＋a2＋…＋a99的值为________． 13．求过曲线 y＝ex上点 P(1，e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程． 1．准确记忆八个公式是求函数导数的前提． 2．求函数的导数，要恰当选择公式，保证求导过程中变形的等价性． 3．对于一些应用问题如切线、速度等，可以结合导数的几何意义，利用公式进行计算． §3.2 导数的计算 3．2.1 几个常用函数的导数 3．2.2 基本初等函数的导数公式及 导数的运算法则(一) 知识梳理 1．y′＝0 瞬时速度 静止 y′＝1 瞬时速度 匀速直线 2．(1)0 (2)αxα－1 (3)cos x (4)－sin x (5)axln a (6)ex (7) 1 xln a (8)1 x 作业设计 1．B [y′＝ 1 x ′＝(x－1 2 )′＝－ 1 2 x－3 2 ＝－ 1 2x x .] 2．B [直接利用导数公式． 因为(cos x)′＝－sin x，所以①错误； sin π 3 ＝ 3 2 ，而 3 2 ′＝0，所以②错误； 1 x2 ′＝(x－2)′＝－2x－3，则 y′|x＝3＝－ 2 27 ， 所以③正确．] 3．D [设切点为(x0，y0)．由 y′＝ex， 得 y′|x＝x0＝ex0， ∴过切点的切线为 y－ex0＝ex0(x－x0)， 即 y＝ex0x＋(1－x0)ex0，又 y＝kx是切线， ∴ k＝ex0， 1－x0ex0＝0， ∴ x0＝1， k＝e. ] 4．A [∵y′＝cos x，而 cos x∈[－1,1]． ∴直线 l的斜率的范围是[－1,1]， ∴直线 l倾斜角的范围是 0，π 4 ∪ 3 4 π，π .] 5．B [y′＝3x2，∵k＝3， ∴3x2＝3，∴x＝±1， 则 P点坐标为(－1，－1)或(1,1)．] 6．B [s′＝ 1 5 t－4 5 . 当 t＝4时，s′＝ 1 5 · 1 5 44 ＝ 1 10 5 23 .] 7．x＋2y－ 3－π 6 ＝0 解析 ∵y′＝(cos x)′＝－sin x， ∴y′|x＝π 6 ＝－sin π 6 ＝－ 1 2 ， ∴在点 A处的切线方程为 y－ 3 2 ＝－ 1 2 x－π 6 ， 即 x＋2y－ 3－π 6 ＝0. 8．4 解析 ∵f′(x)＝axa－1， ∴f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4，∴a＝4. 9．2x 解析 ∵f(x－1)＝1－2x＋x2＝(x－1)2， ∴f(x)＝x2，f′(x)＝2x. 10．解 (1)y′＝(x12)′＝12x11. (2)y′＝ 1 x4 ′＝(x－4)′＝－4x－5＝－ 4 x5 . (3)y′＝( 5 x3)′＝(x3 5 )′＝ 3 5 x－2 5 ＝ 3 5 5 x2 . (4)y′＝(10x)′＝10xln 10. 11．解 点(2,0)不在曲线 y＝x3上，可令切点坐标为(x0，x30)．由题意，所求直线方程的 斜率 k＝x30－0 x0－2 ＝y′|x＝x0＝3x20，即 x30 x0－2 ＝3x20，解得 x0＝0或 x0＝3. 当 x0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率 k＝0，则所求直线方程是 y＝0； 当 x0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率 k＝27，则所求直线方程是 y－27＝27(x－3)， 即 27x－y－54＝0. 综上，所求的直线方程为 y＝0或 27x－y－54＝0. 12．－2 解析 y′＝(n＋1)xn，曲线在点(1,1)处的切线方程为 y－1＝(n＋1)(x－1)，令 y＝0， 得 x＝ n n＋1 . an＝lg xn＝lg n n＋1 ＝lg n－lg(n＋1)， 则 a1＋a2＋…＋a99＝lg 1－lg 2＋lg 2－lg 3＋…＋lg 99－lg 100＝－lg 100＝－2. 13．解 ∵y′＝ex，∴曲线在点 P(1，e)处的切线斜率是 y′|x＝1＝e， ∴过点 P且与切线垂直的直线的斜率 k＝－ 1 e ， ∴所求直线方程为 y－e＝－ 1 e (x－1)， 即 x＋ey－e2－1＝0.