高中数学人教a版选修2-3第三章统计案例3-1学业分层测评word版含答案 8页

学业分层测评 (建议用时：45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1．为了研究变量 x 和 y 的线性相关性，甲、乙两人分别利用线性回归方法得 到回归直线 l1 和 l2，已知两人计算过程中 x－， y－分别相同，则下列说法正确的是 ( ) A．l1 与 l2 一定平行 B．l1 与 l2 重合 C．l1 与 l2 相交于点( x－， y－) D．无法判断 l1 和 l2 是否相交 【解析】 回归直线一定过样本点的中心( x－， y－)，故 C 正确． 【答案】 C 2．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量 x，y 的回归模型时，分别选择了 4 种不同模型，计算可得它们的相关指数 R2 分别如下表： 甲 乙 丙 丁 R2 0.98 0.78 0.50 0.85 哪位同学建立的回归模型拟合效果最好？( ) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【解析】 相关指数 R2 越大，表示回归模型的拟合效果越好． 【答案】 A 3．对变量 x，y 进行回归分析时，依据得到的 4 个不同的回归模型画出残差图， 则下列模型拟合精度最高的是( ) 【解析】 用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带 状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精 度越高． 【答案】 A 4．对于指数曲线 y＝aebx，令 U＝ln y，c＝ln a，经过非线性化回归分析后， 可转化的形式为( ) A．U＝c＋bx B．U＝b＋cx C．y＝c＋bx D．y＝b＋cx 【解析】 由 y＝aebx 得 ln y＝ln(aebx)，∴ln y＝ln a＋ ln ebx， ∴ln y＝ln a＋bx，∴U＝c＋bx.故选 A. 【答案】 A 5．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取 5 对父子的身高数据如表 所示： 父亲身高 x(cm) 174 176 176 176 178 儿子身高 y(cm) 175 175 176 177 177 则 y 对 x 的线性回归方程为( ) A.y^＝x－1 B.y^＝x＋1 C.y^＝88＋1 2x D.y^＝176 【解析】 设 y 对 x 的线性回归方程为y^＝b^x＋a^， 因为b^＝－2×－1＋0×－1＋0×0＋0×1＋2×1 －22＋22 ＝1 2 ，a^＝176－1 2 ×176＝88， 所以 y 对 x 的线性回归方程为y^＝1 2x＋88. 【答案】 C 二、填空题 6．甲、乙、丙、丁四位同学各自对 A，B 两变量的线性相关性进行分析，并 用回归分析的方法分别求得相关指数 R2 与残差平方和 Q(a^，b^)如下表： 甲 乙 丙 丁 R2 0.67 0.61 0.48 0.72 Q(a^，b^) 106 115 124 103 则能体现 A，B 两个变量有更强的线性相关性的为________． 【解析】 丁同学所求得的相关指数 R2 最大，残差平方和 Q(a^，b^)最小．此 时 A，B 两变量线性相关性更强． 【答案】 丁 7．在对两个变量进行回归分析时，甲、乙分别给出两个不同的回归方程，并 对回归方程进行检验．对这两个回归方程进行检验时，与实际数据(个数)对比结果 如下： 与实际相符数据个数 与实际不符合数据个数 总计 甲回归方程 32 8 40 乙回归方程 40 20 60 总计 72 28 100 则从表中数据分析，________回归方程更好(即与实际数据更贴近)． 【解析】 可以根据表中数据分析，两个回归方程对数据预测的正确率进行 判断，甲回归方程的数据准确率为32 40 ＝4 5 ，而乙回归方程的数据准确率为40 60 ＝2 3.显 然甲的准确率高些，因此甲回归方程好些． 【答案】 甲 8．如果某地的财政收入 x 与支出 y 满足线性回归方程 y＝bx＋a＋e(单位：亿 元)，其中 b＝0.8，a＝2，|e|≤0.5，如果今年该地区财政收入为 10 亿元，则年支出 预计不会超过________亿元. 【导学号：97270060】 【解析】 ∵x＝10 时，y＝0.8×10＋2＋e＝10＋e， ∵|e|≤0.5，∴y≤10.5. 【答案】 10.5 三、解答题 9．某服装店经营某种服装，在某周内纯获利 y(元)与该周每天销售这种服装件 数 x 之间的一组数据如下表： x 3 4 5 6 7 8 9 y 66 69 73 81 89 90 91 (1)求样本点的中心； (2)画出散点图； (3)求纯获利 y 与每天销售件数 x 之间的回归方程． 【解】 (1) x－＝6， y－≈79.86，样本点的中心为(6,79.86)． (2)散点图如下： (3)因为b^＝错误!≈4.75，a^＝ y－－b^ x－≈51.36， 所以y^＝4.75x＋51.36. 10．为了研究某种细菌随时间 x 变化繁殖个数 y 的变化，收集数据如下： 时间 x/天 1 2 3 4 5 6 繁殖个数 y 6 12 25 49 95 190 (1)用时间作解释变量，繁殖个数作预报变量作出这些数据的散点图； (2)求 y 与 x 之间的回归方程． 【解】 (1)散点图如图所示： (2)由散点图看出样本点分布在一条指数函数 y＝c1ec2x 的周围，于是令 z＝ln y， 则 x 1 2 3 4 5 6 z 1.79 2.48 3.22 3.89 4.55 5.25 由计算器算得，z^＝0.69x＋1.112，则有y^＝e0.69x＋1.112. [能力提升] 1．(2016·青岛一中调研)某学生四次模拟考试中，其英语作文的减分情况如表： 考试次数 x 1 2 3 4 所减分数 y 4.5 4 3 2.5 显然所减分数 y 与模拟考试次数 x 之间有较好的线性相关关系，则其线性回归 方程为( ) A．y＝0.7x＋5.25 B．y＝－0.6x＋5.25 C．y＝－0.7x＋6.25 D．y＝－0.7x＋5.25 【解析】 由题意可知，所减分数 y 与模拟考试次数 x 之间为负相关，所以排 除 A. 考试次数的平均数为 x ＝1 4(1＋2＋3＋4)＝2.5， 所减分数的平均数为 y ＝1 4(4.5＋4＋3＋2.5)＝3.5， 即直线应该过点(2.5,3.5)，代入验证可知直线 y＝－0.7x＋5.25 成立，故选 D. 【答案】 D 2．某研究机构对高三学生的记忆力 x 和判断力 y 进行统计分析，得下表数据： x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 若 x 与 y 具有线性相关关系，则线性回归方程为________． 【解析】 错误!iyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，x－＝6＋8＋10＋12 4 ＝9， y－＝2＋3＋5＋6 4 ＝4， 错误!2i ＝62＋82＋102＋122＝344， b^＝158－4×9×4 344－4×92 ＝14 20 ＝0.7， a^＝ y－－b^ x－＝4－0.7×9＝－2.3， 故线性回归方程为y^＝0.7x－2.3. 【答案】 y^＝0.7x－2.3 3．某品牌服装专卖店为了解保暖衬衣的销售量 y(件)与平均气温 x(℃)之间的 关系，随机统计了连续四旬的销售量与当旬平均气温，其数据如表： 时间 二月上旬 二月中旬 二月下旬 三月上旬 旬平均气温 x(℃) 3 8 12 17 旬销售量 y(件) 55 m 33 24 由表中数据算出线性回归方程y^＝b^x＋a^中的b^＝－2，样本中心点为(10,38)． (1)表中数据 m＝__________. (2)气象部门预测三月中旬的平均气温约为 22 ℃，据此估计，该品牌的保暖衬 衣在三月中旬的销售量约为__________件． 【解析】 (1)由 y ＝38，得 m＝40. (2)由a^＝ y －b^ x ，得a^＝58， 故y^＝－2x＋58， 当 x＝22 时，y^＝14， 故三月中旬的销售量约为 14 件． 【答案】 (1)40 (2)14 4．(2015·全国卷Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年 宣传费 x(单位：千元)对年销售量 y(单位：t)和年利润 z(单位：千元)的影响．对近 8 年的年宣传费 xi 和年销售量 yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散 点图及一些统计量的值． 图 312 x y w 错误! (xi－ x )2 错误! (wi－ w )2 错误! (xi－ x )(yi－ y ) 错误! (wi－ w )(yi－ y ) 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8 表中 wi＝ xi，w]＝1 8 错误!wi. (1)根据散点图判断，y＝a＋bx 与 y＝c＋d x哪一个适宜作为年销售量 y 关于 年宣传费 x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程； (3)已知这种产品的年利润 z 与 x，y 的关系为 z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下 列问题： ①年宣传费 x＝49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线 v＝α＋βu 的 斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝ 错误! ui－ u vi－ v  错误! ui－ u 2 ，α^＝ v －β^ u . 【解】 (1)由散点图可以判断，y＝c＋d x适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型． (2)令 w＝ x，先建立 y 关于 w 的线性回归方程． 由于d^＝错误!＝108.8 1.6 ＝68， c^＝ y －d^ w ＝563－68×6.8＝100.6， 所以 y 关于 w 的线性回归方程为y^＝100.6＋68w， 因此 y 关于 x 的回归方程为y^＝100.6＋68 x. (3)①由(2)知，当 x＝49 时， 年销售量 y 的预报值y^＝100.6＋68 49＝576.6， 年利润 z 的预报值z^＝576.6×0.2－49＝66.32. ②根据(2)的结果知，年利润 z 的预报值 z^＝0.2(100.6＋68 x)－x＝－x＋13.6 x＋20.12. 所以当 x＝13.6 2 ＝6.8，即 x＝46.24 时，z^取得最大值．故年宣传费为 46.24 千 元时，年利润的预报值最大.