高中数学必修1备课资料（3_2 奇偶性） 9页

备课资料 奇、偶函数的性质 ‎(1)奇偶函数的定义域关于原点对称；奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.‎ ‎(2)奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立.‎ ‎(3)f(-x)=f(x)f(x)是偶函数，f(-x)=-f(x)f(x)是奇函数.‎ ‎(4)f(-x)=f(x)f(x)-f(-x)=0,f(-x)=-f(x)f(x)+f(-x)=0.‎ ‎(5)两个奇函数的和(差)仍是奇函数，两个偶函数的和(差)仍是偶函数.‎ 奇偶性相同的两个函数的积(商、分母不为零)为偶函数，奇偶性相反的两个函数的积(商、分母不为零)为奇函数；如果函数y=f(x)和y=g(x)的奇偶性相同，那么复合函数y=f［g(x)］是偶函数，如果函数y=f(x)和y=g(x)的奇偶性相反，那么复合函数y=f［g(x)］是奇函数，简称为“同偶异奇”.‎ ‎(6)如果函数y=f(x)是奇函数，那么f(x)在区间(a,b)和(-b,-a)上具有相同的单调性；如果函数y=f(x)是偶函数，那么f(x)在区间(a,b)和(-b,-a)上具有相反的单调性.‎ ‎(7)定义域关于原点对称的任意函数f(x)可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和，即 f(x)=.‎ ‎(8)若f(x)是(-a,a)(a＞0)上的奇函数，则f(0)＝0；‎ 若函数f(x)是偶函数，则f(x)=f(-x)=f(|x|)=f(-|x|).‎ 若函数y=f(x)既是奇函数又是偶函数，则有f(x)=0.‎ ‎(设计者：韩双影)‎ 本章复习 整体设计 教学分析 本节课是对第一章的基本知识和方法的总结与归纳，从整体上来把握本章，使学生的基本知识系统化和网络化，基本方法条理化.本章三部分内容是独立的，但是又相互联系，集合是基础，用集合定义函数，将函数拓展为映射，层层深入，环环相扣，组成了一个完整的整体.‎ 三维目标 通过总结和归纳集合与函数的知识，能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，培养分类讨论的思想和抽象思维能力.‎ 重点难点 教学重点：①集合与函数的基本知识.‎ ‎②含有字母问题的研究.‎ ‎③抽象函数的理解.‎ 教学难点：①分类讨论的标准划分.‎ ‎②抽象函数的理解.‎ 课时安排 ‎1课时 教学过程 导入新课 思路1.建设高楼大厦的过程中，每建一层，都有质量检查人员验收，合格后，再继续建上一层，否则返工重建.我们学习知识也是这样，每学完一个章节都要总结复习，引出课题.‎ 思路2.为了系统掌握第一章的知识，教师直接点出课题.‎ 推进新课 新知探究 提出问题 ‎①第一节是集合，分为几部分？‎ ‎②第二节是函数，分为几部分？‎ ‎③第三节是函数的基本性质，分为几部分？‎ ‎④画出本章的知识结构图.‎ 活动：让学生自己回顾所学知识或结合课本，重新对知识整合，对没有思路的学生，教师可以提示按课本的章节标题来分类.对于画知识结构图，学生可能比较陌生，教师可以引导学生先画一个本班班委的结构图或学校各个处室的关系结构图，待学生了解了简单的画法后，再画本章的知识结构图.‎ 讨论结果:①分为：集合的含义、集合间的基本关系和集合的运算三部分.‎ ‎②分为：定义、定义域、解析式、值域四部分；其中又把函数的概念拓展为映射.‎ ‎③分为：单调性、最值和奇偶性三部分.‎ ‎④第一章的知识结构图如图1-1所示，‎ 图1-1‎ 应用示例 思路1‎ 例1若P={x|y=x2},Q={(x,y)|y=x2,x∈R}，则必有( )‎ A.P∩Q= B.PQ C.P=Q D.PQ 分析：从选项来看，本题是判断集合P,Q的关系，其关键是对集合P,Q的意义的理解.集合P是函数y=x2的定义域，则集合P是数集，集合Q是函数y=x2的图象上的点组成的集合，则集合Q是点集，∴P∩Q=.‎ 答案：A 点评：判断用描述法表示的集合间关系时，一定要搞清两集合的含义，明确集合中的元素.形如集合{x|x∈P(x),x∈R}是数集，形如集合{(x,y)|x、y∈P(x,y),x、y∈R}是点集，数集和点集的交集是空集.‎ 变式训练 ‎1.2007山东威海一模，文1设集合M=｛x| x>1｝，P={x| x2-6x+9=0}，则下列关系中正确的是( )‎ A.M=P B.PM C.MP D.M∩P=R 分析：P={3}，∵3>1,∴3∈M.∴PM.‎ 答案：B ‎2.2007河南周口高三期末调研，理6定义集合A与B的运算A*B={x|x∈A或x∈B,且xA∩B},则(A*B)*A等于( )‎ A.A∩B B.A∪B C.A D.B 分析：设A={1,2,3,4},B={1,2,5,6,7},则A*B={3,4,5,6,7}，于是(A*B)*A={1,2,5,6,7}=B.‎ 答案：D 点评：解决新定义集合运算问题的关键是抓住新运算定义的本质，本题A*B的本质就是集合A与B的并集中除去它们公共元素组成的集合.‎ 例2求函数y=x2+1的最小值.‎ 分析：思路一:利用实数运算的性质x2≥0，结合不等式的性质得函数的最小值；‎ 思路二:直接利用二次函数的最值公式，写出此函数的最小值.‎ 解：方法一（观察法）∵函数y=x2+1的定义域是R,‎ ‎∴观察到x2≥0.∴x2+1≥1.∴函数y=x2+1的最小值是1.‎ 方法二:（公式法）函数y=x2+1是二次函数，其定义域是x∈R，则函数y=x2+1的最小值是f(0)=1.‎ 点评：求函数最值的方法：‎ 观察法：当函数的解析式中仅含有x2或|x|或时，通常利用常见的结论x2≥0,|x|≥0,≥0等，直接观察写出函数的最值；‎ 公式法：求基本初等函数（正、反比例函数，一次、二次函数）的最值时，应用基本初等函数的最值结论（看成最值公式），直接写出其最值.‎ 例3求函数y=的最大值和最小值.‎ 分析：把变量y看成常数，则函数的解析式可以整理成必有实数根的关于x的方程，利用判别式的符号得关于y的不等式，解不等式得y的取值范围，从而得函数的最值.‎ 解：（判别式法）由y=得yx2-3x+4y=0，‎ ‎∵x∈R，∴ 关于x的方程yx2-3x+4y=0必有实数根.‎ 当y=0时，则x=0.故y=0是一个函数值；‎ 当y≠0时，则关于x的方程yx2-3x+4y=0是一元二次方程,‎ 则有Δ=(-3)2-4×4y2≥0.‎ ‎∴01>0.‎ 又∵a<1，∴x1x2>a.∴x1x2-a>0.∴g(x1)-g(x2)<0.∴g(x1)2p-1，解得p<2.‎ 当B≠时，则有解得2≤p≤3.‎ 综上所得实数p的取值范围是p<2或2≤p≤3,即(-∞,3］.‎ 点评：本题是已知集合运算的结果，求参数的值，解决此类问题的关键是依据集合运算的含义，观察明确各集合中的元素，要注意集合元素的互异性在解决含参数集合问题中的作用；空集是一个特殊的集合，是任何集合的子集，求解有关集合间的关系问题时一定要首先考虑空集；‎ 要重视常见结论A∩B=BA∪B=ABA的应用，此时通常要分类讨论解决集合问题，分类讨论时要考虑全面，做到不重不漏.‎ 例2求函数y=|x+2|-|x-2|的最小值.‎ 分析：思路一:画出函数的图象，利用函数最小值的几何意义，写出函数的最小值；‎ 思路二:利用绝对值的几何意义，转化为数轴上的几何问题：数轴上到±2两点的距离和的最小值.‎ 解：方法一（图象法）:y=|x+2|-|x-2|=-4,2x,4, x≤-2,-20，求证：f(x)在(-1，1)上是减函数.‎ 分析：（1）定义法证明，利用赋值法获得f(0)的值进而取x=-y是解题关键；（2）定义法证明，其中判定的范围是关键.‎ 解： (1)函数f(x)的定义域是(-1，1)，‎ 由f(x)+f(y)=f()，令x=y=0,得f(0)+f(0)=f()，∴f(0)=0.‎ 令y=-x,得f(x)+f(-x)=f()=f(0)=0,‎ ‎∴f(-x)=-f(x). ∴f(x)为奇函数.‎ ‎(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减，令00,1-x1x2>0，∴>0.‎ 又(x2-x1)-(1-x1x2)=(x2-1)(x1+1)<0，‎ ‎∴0＜x2-x1<1-x1x2.‎ ‎∴-1<<0.由题意知f()＞0，‎ ‎∴f(x1)＞f(x2).‎ ‎∴f(x)在(0，1)上为减函数，‎ 又f(x)为奇函数，‎ ‎∴f(x)在(-1，1)上也是减函数.‎ 点评：对于抽象函数的单调性和奇偶性问题时，必用单调性和奇偶性的定义来解决，即定义法是解决抽象函数单调性和奇偶性问题的通法；判断抽象函数的奇偶性与单调性时，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性， ‎ 知能训练 ‎1.2006陕西高考，文1已知集合P={x∈N|1≤x≤10},集合Q={x∈R|x2+x-6=0},则P∩Q等于( )‎ A.{1,2,3} B.{2,3} C.{1,2} D.{2}‎ 分析：明确集合P、Q的运算，依据交集的定义求P={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，Q={-3,2},则P∩Q＝{2}.‎ 答案：D 点评：解决本题关键是集合P是大于等于1且小于等于10的自然数组成的集合，集合Q是方程x2+x-6=0的解集，将这两个集合化简后再运算.‎ ‎2.2006安徽高考，文1设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8}，集合S={1,3,5}，T={3,6}，则(S∪T)等于( )‎ A. B.{2,4,7,8} C.{1,3,5,6} D.{2,4,6,8}‎ 分析：直接观察（或画出Venn图）得S∪T={1,3,5,6}，则(S∪T)＝{2,4,7,8}.‎ 答案：B 点评：求解用列举法表示的数集运算时，首先看清集合元素的特征，理解并确定集合中的元素，最后通过观察或借助于数轴、Venn图写出运算结果.‎ ‎3.已知二次函数f（x）满足条件f（0）=1和f（x＋1）-f（x）=2x.‎ ‎（1）求f（x）；‎ ‎（2）求f（x）在区间［-1，1］上的最大值和最小值.‎ 分析：（1）由于已知f（x）是二次函数，用待定系数法求f（x）；（2）结合二次函数的图象，写出最值.‎ 解：（1）设f（x）＝ax2＋bx＋c，‎ 由f（0）＝1，可知c＝1.‎ 而f（x＋1）-f（x）＝［a（x＋1）2＋b（x＋1）＋c］-（ax2＋bx＋c）＝2ax＋a＋b.‎ 由f（x＋1）-f（x）＝2x，可得2a＝2，a＋b＝0.‎ 因而a＝1，b＝-1.‎ 故f（x）＝x2-x＋1.‎ ‎（2）∵f(x)=x2-x+1=(x-)2+，‎ ‎∴当x∈[-1，1]时，f（x）的最小值是f()=，f（x）的最大值是f（-1）＝3.‎ 拓展提升 问题：某人定制了一批地砖.每块地砖 (如图14所示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格之比依次为3∶2∶1.若将此种地砖按图15所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH.‎ ‎(1) 求证：四边形EFGH是正方形；‎ ‎(2) E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？‎ 图1-4图1-5‎ 思路分析：（1）由于四块地砖拼出了四边形EFGH，只需证明△CFE、△CFG、△CGH、△CEH为等腰直角三角形即可；（2）建立数学模型，转化为数学问题.设CE=x，每块地砖的费用为W，求出函数W=f(x)的解析式，转化为讨论求函数的最小值问题.‎ 解：(1)图1-5可以看成是由四块如图1-4所示地砖绕点C按顺时针旋转90°后得到，则有CE=CF，∠ECF=90°,‎ ‎∴△CFE为等腰直角三角形，‎ 同理可得△CFG、△CGH、△CEH为等腰直角三角形.‎ ‎∴ 四边形EFGH是正方形.‎ ‎(2)设CE=x，则BE=0.4-x，每块地砖的费用为W，设制成△CFE、△ABE和四边形AEFD三种材料的每平方米价格依次为3a、2a、a(元)，‎ W=x2·3a+×0.4×(0.4-x)×2a+［0.16-x2-×0.4×(0.4-x)］a ‎=a(x2-0.2x+0.24)‎ ‎=a［(x-0.1)2+0.23］(00，则当x=0.1时，W有最小值，即总费用为最省.‎ 即当CE=CF=0.1米时，总费用最省.‎ 课堂小结 本节课学习了：总结了第一章的基本知识并形成知识网络，归纳了常见的解题方法.‎ 作业 复习参考题任选两题.‎ 设计感想 本节在设计过程中，注重了两点：一是体现学生的主体地位，注重引导学生思考，让学生学会学习；二是为了满足高考的要求，对课本内容适当拓展，例如关于函数值域的求法，课本中没有专题学习，本节课对此进行了归纳和总结.‎