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- 2021-06-16 发布
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第二讲 证明不等式的基本方法
2.2 综合法与分析法
A 级 基础巩固
一、选择题
1.若 a>0,b>0,则必有( )
A.b2
a
>2b-a B.b2
a
<2b-a
C.b2
a
≥2b-a D.b2
a
≤2b-a
解析:因为 a2+b2≥2ab,a>0,
所以 a+b2
a
≥2b,即b2
a
≥2b-a.
答案:C
2.设 x,y>0,且 xy-(x+y)=1,则( )
A.x+y≥2( 2+1) B.xy≤ 2+1
C.x+y≤2( 2+1)2 D.xy≥2( 2+1)
解析:因为 x,y>0,且 xy-(x+y)=1,
所以(x+y)+1=xy≤
x+y
2
2
.
所以(x+y)2-4(x+y)-4≥0,
解得 x+y≥2( 2+1).
答案:A
3.若 a>b>0,下列各式中恒成立的是( )
A.2a+b
a+2b
>a
b B.b2+1
a2+1
>b2
a2
C.a+1
a
>b-1
b D.aa>ab
解析:因为 a>b>0,所以 a2>b2,所以b2+1
a2+1
>b2
a2.
答案:B
4.若 a,b,c∈R,且 ab+bc+ac=1,则下列不等式成立的是
( )
A.a2+b2+c2≥2
B.(a+b+c)2≥3
C.1
a
+1
b
+1
c
≥2 3
D.abc(a+b+c)≤1
3
解析:因为 a2+b2≥2ab,a2+c2≥2ac,b2+c2≥2bc,将三式相加,
得 2(a2+b2+c2)≥2ab+2bc+2ac,即 a2+b2+c2≥1.
又因为(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac,
所以(a+b+c)2≥1+2×1=3,故选项 B 成立.
答案:B
5.已知 a,b∈R,则“a+b>2,ab>1”是“a>1,b>1”成立
的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:当 a>1,b>1 时,两式相加得 a+b>2,两式相乘得 ab>
1.
反之,当 a+b>2,ab>1 时,a>1,b>1 不一定成立.
如:a=1
2
,b=4 也满足 a+b>2,ab=2>1,但不满足 a>1,b
>1.
答案:B
二、填空题
6.如果 a a+b b>a b+b a,则实数 a,b 应满足的条件是
________.
解析:a a+b b>a b+b a⇔( a+ b)( a- b)2>0⇔a≥0,b
≥0,且 a≠b.
答案:a≥0,b≥0,且 a≠b
7.若1
a
<1
b
<0,已知下列不等式:①a+b<ab;②|a|>|b|;③a<
b;④b
a
+a
b
>2.
其中正确的不等式的序号为________.
解析:因为1
a
<1
b
<0,
所以 b<a<0,故②③错.
答案:①④
8.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,c 为斜边,则a+b
c
的取值范围是
________.
解析:因为 a2+b2=c2,
所以(a+b)2=a2+b2+2ab≤2(a2+b2)=2c2,
所以a+b
c
≤ 2,
又因为 a+b>c,所以a+b
c
>1.
所以a+b
c
的取值范围是(1, 2].
答案:(1, 2]
三、解答题
9.求证: 7<2 5- 3.
证明:21<25⇒ 21<5⇒2 21<10⇒10+2 21<20⇒( 7+ 3)2
<(2 5)2⇒ 7+ 3<2 5⇒ 7<2 5- 3.
所以原不等式成立.
10.已知:a,b 是不相等的正数,且 a3-b3=a2-b2,求证:1<
a+b<4
3.
证明:因为 a,b 是不相等的正数,且 a3-b3=a2-b2.
所以 a2+ab+b2=a+b.
所以(a+b)2=a2+2ab+b2>a2+ab+b2=a+b.
所以 a+b>1.
要证 a+b<4
3
,只需证 3(a+b)<4,
只需证 3(a+b)2<4(a+b),
即 3(a2+2ab+b2)<4(a2+ab+b2),
只需证 a2-2ab+b2>0,只需证(a-b)2>0,
而 a,b 为不相等的正数,
所以(a-b)2>0 一定成立.
故 a+b<4
3
成立.
综上所述,1<a+b<4
3.
B 级 能力提升
1.设 a>0,b>0,则以下不等式中不恒成立的是( )
A.(a+b)
1
a
+1
b ≥4
B.a3+b3≥2ab2
C.a2+b2+2≥2a+2b
D. |a-b|≥ a- b
解析:因为 a>0,b>0,
所以(a+b)
1
a
+1
b ≥2 ab·2 1
ab
≥4,
当且仅当 a=b 时等号成立,故 A 恒成立;
a3+b3≥2ab2,取 a=1
2
,b=2
3
,则 B 不成立;
a2+b2+2-(2a+2b)=(a-1)2+(b-1)2≥0,故 C 恒成立;
若 a<b,则 |a-b|≥ a- b恒成立;
若 a≥b,则( |a-b|)2-( a- b)2=2( ab-b)≥0,
所以 |a-b|≥ a- b,故 D 恒成立.
答案:B
2.若 n 为正整数,则 2 n+1与 2 n+ 1
n
的大小关系是________.
解析:要比较 2 n+1与 2 n+ 1
n
的大小,只需比较(2 n+1)2 与
2 n+ 1
n
2
的大小,即 4n+4 与 4n+4+1
n
的大小.
因为 n 为正整数,所以 4n+4+1
n
>4n+4.
所以 2 n+1<2 n+ 1
n.
答案:2 n+1<2 n+ 1
n
3.(2015·课标全国Ⅱ卷)设 a,b,c,d 均为正数,且 a+b=c+d.
证明:
(1)若 ab>cd,则 a+ b> c+ d;
(2) a+ b> c+ d是|a-b|<|c-d|的充要条件.
证明:(1)因为( a+ b)2=a+b+2 ab,
( c+ d)2=c+d+2 cd,
由题设 a+b=c+d,ab>cd,得( a+ b)2>( c+ d)2.
因此 a+ b> c+ d.
(2)①若|a-b|<|c-d|,
则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.
因为 a+b=c+d,所以 ab>cd,
由(1)得 a+ b> c+ d.
②若 a+ b> c+ d,则( a+ b)2>( c+ d)2 即 a+b+2 ab>c
+d+2 cd,
因为 a+b=c+d,所以 ab>cd.
于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2,
因此|a-b|<|c-d|,
综上所述 a+ b> c+ d是|a-b|<|c-d|的充要条件.
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