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  • 2021-06-16 发布

人教版高中数学选修4-5练习:第二讲2-2综合法与分析法word版含解析

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第二讲 证明不等式的基本方法 2.2 综合法与分析法 A 级 基础巩固 一、选择题 1.若 a>0,b>0,则必有( ) A.b2 a >2b-a B.b2 a <2b-a C.b2 a ≥2b-a D.b2 a ≤2b-a 解析:因为 a2+b2≥2ab,a>0, 所以 a+b2 a ≥2b,即b2 a ≥2b-a. 答案:C 2.设 x,y>0,且 xy-(x+y)=1,则( ) A.x+y≥2( 2+1) B.xy≤ 2+1 C.x+y≤2( 2+1)2 D.xy≥2( 2+1) 解析:因为 x,y>0,且 xy-(x+y)=1, 所以(x+y)+1=xy≤ x+y 2 2 . 所以(x+y)2-4(x+y)-4≥0, 解得 x+y≥2( 2+1). 答案:A 3.若 a>b>0,下列各式中恒成立的是( ) A.2a+b a+2b >a b B.b2+1 a2+1 >b2 a2 C.a+1 a >b-1 b D.aa>ab 解析:因为 a>b>0,所以 a2>b2,所以b2+1 a2+1 >b2 a2. 答案:B 4.若 a,b,c∈R,且 ab+bc+ac=1,则下列不等式成立的是 ( ) A.a2+b2+c2≥2 B.(a+b+c)2≥3 C.1 a +1 b +1 c ≥2 3 D.abc(a+b+c)≤1 3 解析:因为 a2+b2≥2ab,a2+c2≥2ac,b2+c2≥2bc,将三式相加, 得 2(a2+b2+c2)≥2ab+2bc+2ac,即 a2+b2+c2≥1. 又因为(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac, 所以(a+b+c)2≥1+2×1=3,故选项 B 成立. 答案:B 5.已知 a,b∈R,则“a+b>2,ab>1”是“a>1,b>1”成立 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:当 a>1,b>1 时,两式相加得 a+b>2,两式相乘得 ab> 1. 反之,当 a+b>2,ab>1 时,a>1,b>1 不一定成立. 如:a=1 2 ,b=4 也满足 a+b>2,ab=2>1,但不满足 a>1,b >1. 答案:B 二、填空题 6.如果 a a+b b>a b+b a,则实数 a,b 应满足的条件是 ________. 解析:a a+b b>a b+b a⇔( a+ b)( a- b)2>0⇔a≥0,b ≥0,且 a≠b. 答案:a≥0,b≥0,且 a≠b 7.若1 a <1 b <0,已知下列不等式:①a+b<ab;②|a|>|b|;③a< b;④b a +a b >2. 其中正确的不等式的序号为________. 解析:因为1 a <1 b <0, 所以 b<a<0,故②③错. 答案:①④ 8.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,c 为斜边,则a+b c 的取值范围是 ________. 解析:因为 a2+b2=c2, 所以(a+b)2=a2+b2+2ab≤2(a2+b2)=2c2, 所以a+b c ≤ 2, 又因为 a+b>c,所以a+b c >1. 所以a+b c 的取值范围是(1, 2]. 答案:(1, 2] 三、解答题 9.求证: 7<2 5- 3. 证明:21<25⇒ 21<5⇒2 21<10⇒10+2 21<20⇒( 7+ 3)2 <(2 5)2⇒ 7+ 3<2 5⇒ 7<2 5- 3. 所以原不等式成立. 10.已知:a,b 是不相等的正数,且 a3-b3=a2-b2,求证:1< a+b<4 3. 证明:因为 a,b 是不相等的正数,且 a3-b3=a2-b2. 所以 a2+ab+b2=a+b. 所以(a+b)2=a2+2ab+b2>a2+ab+b2=a+b. 所以 a+b>1. 要证 a+b<4 3 ,只需证 3(a+b)<4, 只需证 3(a+b)2<4(a+b), 即 3(a2+2ab+b2)<4(a2+ab+b2), 只需证 a2-2ab+b2>0,只需证(a-b)2>0, 而 a,b 为不相等的正数, 所以(a-b)2>0 一定成立. 故 a+b<4 3 成立. 综上所述,1<a+b<4 3. B 级 能力提升 1.设 a>0,b>0,则以下不等式中不恒成立的是( ) A.(a+b) 1 a +1 b ≥4 B.a3+b3≥2ab2 C.a2+b2+2≥2a+2b D. |a-b|≥ a- b 解析:因为 a>0,b>0, 所以(a+b) 1 a +1 b ≥2 ab·2 1 ab ≥4, 当且仅当 a=b 时等号成立,故 A 恒成立; a3+b3≥2ab2,取 a=1 2 ,b=2 3 ,则 B 不成立; a2+b2+2-(2a+2b)=(a-1)2+(b-1)2≥0,故 C 恒成立; 若 a<b,则 |a-b|≥ a- b恒成立; 若 a≥b,则( |a-b|)2-( a- b)2=2( ab-b)≥0, 所以 |a-b|≥ a- b,故 D 恒成立. 答案:B 2.若 n 为正整数,则 2 n+1与 2 n+ 1 n 的大小关系是________. 解析:要比较 2 n+1与 2 n+ 1 n 的大小,只需比较(2 n+1)2 与 2 n+ 1 n 2 的大小,即 4n+4 与 4n+4+1 n 的大小. 因为 n 为正整数,所以 4n+4+1 n >4n+4. 所以 2 n+1<2 n+ 1 n. 答案:2 n+1<2 n+ 1 n 3.(2015·课标全国Ⅱ卷)设 a,b,c,d 均为正数,且 a+b=c+d. 证明: (1)若 ab>cd,则 a+ b> c+ d; (2) a+ b> c+ d是|a-b|<|c-d|的充要条件. 证明:(1)因为( a+ b)2=a+b+2 ab, ( c+ d)2=c+d+2 cd, 由题设 a+b=c+d,ab>cd,得( a+ b)2>( c+ d)2. 因此 a+ b> c+ d. (2)①若|a-b|<|c-d|, 则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd. 因为 a+b=c+d,所以 ab>cd, 由(1)得 a+ b> c+ d. ②若 a+ b> c+ d,则( a+ b)2>( c+ d)2 即 a+b+2 ab>c +d+2 cd, 因为 a+b=c+d,所以 ab>cd. 于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2, 因此|a-b|<|c-d|, 综上所述 a+ b> c+ d是|a-b|<|c-d|的充要条件.