人教版高中数学必修二检测：第一章空间几何体课后提升作业六1-3-2含解析 7页

课后提升作业 六 球的体积和表面积 (30 分钟 60 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 40 分) 1.(2016·杭州高二检测)把球的表面积扩大到原来的 2 倍，那么体积扩 大到原来的 ( ) A.2 倍 B.2 倍 C. 倍 D. 倍 【解析】选 B.设原球的半径为 R，表面积扩大 2 倍，则半径扩大 倍， 体积扩大 2 倍. 2.将棱长为 2 的正方体削成一个体积最大的球，则这个球的体积为 ( ) A. π B. C. π D.4π 【解析】选 B.根据题意知，此球为正方体的内切球，所以球的直径等于 正方体的棱长，故 r=1，所以 V=πr3=π. 3.如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的 3 倍，则圆锥的侧面积 和球的表面积之比为 ( ) A.4∶3 B.3∶1 C.3∶2 D.9∶4 【解析】选 C.作圆锥的轴截面，如图，设球半径为 R，则圆锥的高 h=3R， 圆锥底面半径 r= R， 则 l= =2 R， 所以 = = =. 【延伸探究】本题条件不变，求圆锥的体积与表面积之比. 【解析】设球的半径为 R，则圆锥的高为 h=3R， 圆锥底面半径 r= R， 所以 = = =. 4.已知某球的大圆周长为 c，则这个球的表面积是 ( ) A. B. C. D.2πc2 【解析】选 C.设球的半径为 r，则 2πr=c，所以 r= ，所以球的表面 积为 S=4πr2=4π· = . 5.(2015·全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组 成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几 何体的表面积为 16+20π，则 r=( ) A.1 B.2 C.4 D.8 【解析】选 B.由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合 体，圆柱的底面半径与球的半径都为 r，圆柱的高为 2r，其表面积为× 4πr2+πr×2r+πr2+2r×2r=5πr2+4r2=16+20π，解得 r=2. 6.把半径分别为 6cm，8cm，10cm 的三个铁球熔成一个大铁球，这个大 铁球的半径为 ( ) A.3cm B.6cm C.8cm D.12cm 【解析】选 D.由πR3=π·63+π·83+π·103， 得 R3=1728，检验知 R=12. 7.(2016·上饶高二检测)空间几何体的外接球，理解为能将几何体包围， 几何体的顶点和弧面在此球上，且球的半径要最小.若如图是一个几何 体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为 ( ) A. B. C. D. 【解析】选 A.该几何体是一个圆柱和一个正方体的组合体，作出该几何 体与其外接球的轴截面如图所示： 则 R2=x2+1=(2-x)2+ ， 解得：x=，R2=x2+1= ， 故该几何体的外接球的表面积 S=4πR2= π. 8.(2014·湖南高考)一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石 材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解题提示】先由三视图画出直观图，判断这个几何体是底面是边长为 6，8，10 的直角三角形，高为 12 的水平放置的直三棱柱，底面的内切 圆的半径就是得到的最大球的半径. 【解析】选 B.由三视图画出直观图如图，判断这个几何体是底面边长为 6，8，10 的直角三角形，高为 12 的水平放置的直三棱柱，直角三角形 的内切圆的半径为 r= =2，这就是得到的最大球的半径. 二、填空题(每小题 5 分，共 10 分) 9.(2016·广州高一检测)已知高与底面直径之比为 2∶1 的圆柱内接于 球，且圆柱的体积为 500π，则球的体积为________. 【解析】设圆柱的底面半径为 r，则高为 4r，由题意知πr2·4r=500π， 则 r=5，设球的半径为 R，则 R2=r2+4r2=125，所以 R=5 ，故 V 球=π× (5 )3= 答案： 10.已知三棱锥 A-BCD 的所有棱长都为 ，则该三棱锥的外接球的表面 积为________. 【解析】如图，构造正方体 ANDM-FBEC.因为三棱锥 A-BCD 的所有棱长都 为 ，所以正方体 ANDM-FBEC 的棱长为 1.所以该正方体的外接球的半 径为 . 易知三棱锥 A-BCD 的外接球就是正方体 ANDM-FBEC 的外接球，所以三棱 锥A-BCD 的外接球的半径为 .所以三棱锥A-BCD的外接球的表面积为 S 球=4π =3π. 答案：3π 三、解答题 11.(10 分)某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端 均为半球形，若图中 r=1，l=3，试求该组合体的表面积和体积. 【解析】两半球的表面积为 S1=4πr2=4π， 圆柱的侧面积为 S2=2πrl=2π×1×3=6π， 故该组合体表面积为 4π+6π=10π， 两半球的体积为 V1=πr3=π， 圆柱的体积为 V2=πr2·l=π×12×3=3π， 故该几何体的体积为 V1+V2=π+3π= π. 【补偿训练】1.有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球 与这个正方体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，若正 方体的棱长为 a，求这三个球的表面积. 【解析】(1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面(正方 形)的中心，经过四个切点及球心作截面，如图(1)，所以有 2r1=a，r1=， 所以 S1=4π =πa2. (2)球与正方体各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面 得截面，如图(2)，所以有 2r2= a，r2= a，所以 S2=4π =2πa2. (3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如 图(3)，所以有 2r3= a，r3= a， 所以 S3=4π =3πa2. 2.有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个 半径为 r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求 这时容器中水的深度. 【解析】由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截 面. 根据切线性质知，当球在容器内时，水深为 3r，水面的半径为 r，则 容器内水的体积为 V=V 圆锥-V 球=π·( r)2·3r-πr3=πr3，而将球取出 后，设容器内水的深度为 h，则水面圆的半径为 h， 从而容器内水的体积是 V′=π· ·h=πh3，由 V=V′，得 h= r， 即容器中水的深度为 r.