高考数学专题复习教案： 离散型随机变量及其分布列备考策略 4页

离散型随机变量及其分布列备考策略 主标题：离散型随机变量及其分布列备考策略 副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。‎ 关键词：离散型随机变量，分布列，超几何分布，备考策略 难度：3‎ 重要程度：4‎ 考点一　离散型随机变量分布列的性质 ‎【例1】 设离散型随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ ‎0.3‎ m 求随机变量Y＝|X－1|的分布列．‎ 解　由分布列的性质，知 ‎0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.‎ 列表 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎|X－1|‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎∴P(Y＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，‎ P(Y＝0)＝P(X＝1)＝0.1，‎ P(Y＝2)＝0.3，P(Y＝3)＝0.3.‎ 因此Y＝|X－1|的分布列为：‎ Y ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.1‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ ‎【备考策略】 (1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．‎ ‎(2)若X是随机变量，则Y＝|X－1|仍然是随机变量，求它的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据互斥事件概率加法求Y取各值的概率，进而写出分布列．‎ 考点二　离散型随机变量的分布列 ‎【例2】一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．‎ ‎(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；‎ ‎(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列与数学期望．‎ 思路点拨　(1)编号为3的卡片来源有两类，利用古典概型求事件的概率．(2)根据任取4张卡片的不同情况确定X的所有可能取值，然后求出相应的概率，进而确定分布列、计算数学期望．‎ 解　(1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A，则P(A)＝＝.‎ 所以取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为.‎ ‎(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.‎ P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，‎ P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.‎ 所以随机变量X的分布列是 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 随机变量X的数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.‎ ‎【备考策略】 (1)求随机变量的分布列的主要步骤：①明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；②求每一个随机变量取值的概率；③列成表格．‎ ‎(2)求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确．‎ 考点三　超几何分布问题 ‎【例3】 PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．‎ 从某自然保护区2013年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：‎ PM2.5日均值(微克/立方米)‎ ‎[25,35]‎ ‎(35,45]‎ ‎(45,55]‎ ‎(55,65]‎ ‎(65,75]‎ ‎(75,85]‎ 频数 ‎3‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；‎ ‎(2)从这10天的数据中任取3天数据．记X表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求X的分布列．‎ 审题路线　(1)由频数分布表，知10天中仅有3天空气质量达到一级，利用古典概型可求第(1)问中的概率．(2)超标的天数X服从超几何分布．利用超几何分布的概率公式代入求解．‎ 解　(1)记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，则 P(A)＝＝.‎ ‎(2)依据条件，X服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且随机变量X的可能取值为0,1,2,3.‎ P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)，‎ ‎∴P(X＝0)＝＝，‎ P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝，‎ P(X＝3)＝＝，‎ 因此X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎【备考策略】(1)求解本题的关键在于：①从统计图表中准确提取信息；②明确随机变量X服从超几何分布．‎ ‎(2)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．‎