高考数学专题复习教案： 直线与圆锥曲线的位置关系备考策略 5页

直线与圆锥曲线的位置关系备考策略 主标题：直线与圆锥曲线的位置关系备考策略 副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道.‎ 关键词：直线与圆锥曲线的位置关系，知识总结备考策略 难度：5‎ 重要程度：5‎ 内容：一、直线与圆锥曲线的位置关系的判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．‎ ‎1．当a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有 ‎①Δ＞0⇔直线与圆锥曲线相交；‎ ‎②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；‎ ‎③Δ＜0⇔直线与圆锥曲线相离．‎ ‎2．当a＝0，b≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，‎ ‎①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；‎ ‎②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．‎ 二、圆锥曲线的弦长 ‎　设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A、B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x2－x1|＝|y2－y1|.‎ 思维规律解题：‎ 考向一：中点弦、弦长问题 例1.　已知F1(－1,0)、F2(1,0)，圆F2：(x－1)2＋y2＝1，一动圆在y轴右侧与y轴相切，同时与圆F2相外切，此动圆的圆心轨迹为曲线C，曲线E是以F1，F2为焦点的椭圆．‎ ‎(1)求曲线C的方程；‎ ‎(2)设曲线C与曲线E相交于第一象限点P，且|PF1|＝，求曲线E的标准方程；‎ ‎(3)在(1)、(2)的条件下，直线l与椭圆E相交于A、B两点，若AB的中点M在曲线C上，求直线l的斜率k的取值范围．‎ 解析　(1)设动圆圆心的坐标为(x，y)(x＞0)‎ 因为动圆在y轴右侧与y轴相切，同时与圆F2相外切，所以|CF2|－x＝1，‎ ‎∴＝x＋1，化简整理得y2＝4x，曲线C的方程为y2＝4x(x＞0)；‎ ‎(2)依题意，c＝1，|PF1|＝，可得xp＝，‎ ‎∴|PF2|＝，又由椭圆定义得2a＝|PF1|＋|PF2|＝＋＝4，a＝2.‎ ‎∴b2＝a2－c2＝3，所以曲线E的标准方程为＋＝1；‎ ‎(3)(方法一)设直线l与椭圆E交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B的中点M的坐标为(x0，y0)，‎ 设直线l方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)，‎ 与＋＝1联立得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，‎ 由Δ＞0得4k2－m2＋3＞0；①‎ 由韦达定理得x1＋x2＝－，‎ ‎∴x0＝－，y0＝，‎ 将M代入y2＝4x，整理得m＝－，②‎ 将②代入①得162k2(3＋4k2)＜81，令t＝4k2(t＞0)，则64t2＋192t－81＜0，∴0＜t＜.‎ ‎∴－＜k＜且k≠0.‎ ‎(方法二)设直线l与椭圆E交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B的中点M的坐标为(x0，y0)，‎ 将A，B的坐标代入椭圆方程中，得 两式相减得3(x1－x2)(x1＋x2)＋4(y1－y2)(y1＋y2)＝0，‎ ‎∴＝－，‎ ‎∵y＝4x0，∴直线AB的斜率k＝＝－y0，‎ 由(2)知xp＝，∴y＝4xp＝，∴yP＝±，‎ 由题设－＜y0＜(y0≠0)，‎ ‎∴－＜－y0＜，‎ 即－＜k＜(k≠0)．‎ 考向二 ：最值与范围问题 例2(2013·课标全国卷Ⅱ)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)右焦点的直线x＋y－＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.‎ ‎(1)求M的方程；‎ ‎(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．‎ 解析　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，‎ 则＋＝1，＋＝1，＝－1，‎ 由此可得＝－＝1.‎ 因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝，‎ 所以a2＝2b2.‎ 又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2－b2＝3.‎ 因此a2＝6，b2＝3.‎ 所以M的方程为＋＝1.‎ ‎(2)由解得或 因此|AB|＝.‎ 由题意可设直线CD的方程为y＝x＋n，设C(x3，y3)，D(x4，y4)．‎ 由得3x2＋4nx＋2n2－6＝0.‎ 于是x3,4＝.‎ 因为直线CD的斜率为1，‎ 所以|CD|＝|x4－x3|＝ .‎ 由已知，四边形ACBD的面积 S＝|CD|·|AB|＝ ，‎ 当n＝0时，S取得最大值，最大值为.‎ 所以四边形ACBD面积的最大值为.‎ 考向三 [158]　定值、定点问题 例3.设M、N为抛物线C：y＝x2上的两个动点，过M、N分别作抛物线C的切线l1、l2，与x轴分别交于A、B两点，且l1与l2相交于点P，若|AB|＝1.‎ 图8－9－1‎ ‎(1)求点P的轨迹方程；‎ ‎(2)求证：△MNP的面积为一个定值，并求出这个定值．‎ 解析　(1)设M(m，m2)，N(n，n2)，则依题意知，切线l1，l2的方程分别为y＝2mx－m2，y＝2nx－n2，则A，B.‎ 设P(x，y)，由得①‎ 因为|AB|＝1，所以|n－m|＝2，‎ 即(m＋n)2－4mn＝4，将①代入上式，得 y＝x2－1.‎ ‎∴点P的轨迹方程为y＝x2－1.‎ ‎(2)证明　设直线MN的方程为y＝kx＋b(b＞0)．‎ 联立方程 消去y，得x2－kx－b＝0.‎ 所以m＋n＝k，mn＝－b.②‎ 点P到直线MN的距离 d＝，|MN|＝|m－n|，‎ ‎∴S△MNP＝d·|MN|‎ ‎＝|k－mn＋b|·|m－n|‎ ‎＝·(m－n)2·|m－n|＝2.‎ 即△MNP的面积为定值2.‎ 备考策略：1.涉及弦的中点与直线的斜率问题，可考虑“点差法”，构造出kAB＝f(y1－y2,x1－x2)和x1＋x2，y1＋y2，整体代换，求出中点或斜率，体现“设而不求”的思想.‎ ‎2.在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：‎ (1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；‎ (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；‎ (3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；‎ (4)利用基本不等式求出参数的取值范围；‎ (5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.‎