高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2_1指数函数互动课堂学案新人教A版必修11 13页

2.1 指数函数 互动课堂 疏导引导 2.1.1 指数与指数幂的运算 1.根式 一般地,如果 x n =a,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n>1,n∈N * .当 n 是奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数.当n是偶数时,正数的n次方根有两个,这两 个数互为相反数.此时,正数 a的正的 n次方根用符号 n a 表示,负的 n次方根用符号- n a 表 示,方根可以合并成± n a (a>0).由此可得:负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记 作 n0=0. 式子 n a 叫做根式,n 叫根指数,a 叫做被开方数. 结论:当 n 是奇数时, n na =a; 当 n 是偶数时, n na =|a|=      0, 0, aa aa 疑难疏引 在初中代数的学习过程中,我们接触过平方根和立方根的概念.对于平方根的 定义我们在上面复习时已经提到了.立方根的定义是:如果 x 3 =a,那么 x 就叫 a 的立方根.如 此类推,我们便得出了 n次实数方根的定义:如果 x n =a(n∈N 且 n>1),那么 x就叫 a的 n次方 根. 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义: 规定:a n m = n ma (a>0,m、n∈N * ,n>1); a - n m = n m a 1 = n ma 1 (a>0,m、n∈N * ,n>1). 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义;指出:规定了分数指数幂的意义后, 指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广 到有理数指数幂. 疑难疏引 (1)当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式,并由 此引出了正数的正分数指数幂的意义,然后依照负整数指数幂的意义规定了负分数指数幂的 意义,从而将指数幂的概念推广到有理数. 除此之外,还可将有理数指数幂推广到实数指数幂,有理数指数幂的运算性质对实数指 数幂同样适用. (2)指数幂与根式运算的统一性. 指数幂与根式运算的统一性是指化简需要先将小数化为分数,根式化为分数指数幂,结 果要化为最简形式.在最简结果中,不能既有根式又有分数指数幂的形式,同时,也不能出现 既有指数幂又有根式的形式. (3)有理指数幂的运算性质的记忆口诀. ①a r ·a s =a r+ s 同底两数作乘法,底数不变指数加. ②(a r ) s =a r s 幂的乘方要记明,底数不变指数乘. ③(ab) r =a r b r 积的乘方大不同,变为幂后再相乘. 3.有理指数幂的运算性质 (1)a r ·a s =a r+ s (a>0,r、s∈Q); (2)(a r ) s =a rs (a>0,r、s∈Q); (3)(ab) r=a r b r (a>0,b>0,r∈Q). 4.无理指数幂 一般地,无理数指数幂 a α (a>0,α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性 质同样适用于无理数指数幂. ●案例 1 化简: (1) 3 32 )( xyxy ; (2) 3 2 3 2 22     yx yx - 3 2 3 2 22     yx yx (|x| |y|) 【探究】 对题(1),要化简的式子中有根式及幂式,可将根式化成幂式后进行幂的运算;对题 (2),要化简的式子中全是指数式的运算,注意运用乘法公式使其分子分母能够产生公因式, 从而可通过约分化简. (1) 3 32 )( xyxy =［xy 2 (x 2 1 y 2 1 ) 3 ］ 3 1 =［xy 2 x 2 3 y 2 3 ］ 3 1 =(x 2 5 y 2 7 ) 3 1 =x 6 5 y 6 7 =y 6 5 yx . (2) 3 2 3 2 22     yx yx - 3 2 3 2 22     yx yx = 3 2 3 2 3 2 3 2 33 )()(     yx yx - 3 2 3 2 3 2 3 2 33 )()(     yx yx . ∵|x|≠|y|, ∴原式=(x - 3 2 ) 2 -x - 3 2 y - 3 2 +(y - 3 2 ) 2 -(x - 3 4 +x - 3 2 y - 3 2 +y - 3 4 )=-2x - 3 2 y - 3 2 =- xy xy32 . 【溯源】 对多个根式组成的式子进行化简.我们解题的一般原则是先算根号内的,后进行根 式运算.进行根式、分数指数幂的乘、除、乘方、开方等混合运算时,一般是先将根式化成分 数指数幂,按指数运算法则计算比较简洁;对根式、分数指数幂的混合运算,最后结果一般用 最简根式表示;在指数式的运算中,要注意乘法公式的相应形式,注意灵活运用乘法公式进行 化简. ●案例 2 已知 a=- 27 8 ,b= 71 17 ,求 33 3 327 93 3 1 3 1 3 4 3 2 3 2 ba a baa baba     的值. 【探究】 由于此题式子结构复杂,先根据公式化简然后代入求值. ∵a≠0, ∴原式= 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 2 3 )27( )3(3 2 a ba baa bbaa     . 又∵a-27b≠0, ∴原式= 4 9) 2 3() 3 2() 27 8( )27( )3()( 22 33 3 2 3 2 3 2 3 1 3 1    a baa ba 【溯源】 化简、求值一类问题,往往是先将被求代数式化简,然后再代入已知字母的值,求得 代数式的值.首先应化简被求式,遇到小数应化成分数;遇到指数是负数,可以对调底数的分 子和分母,将负指数化为正指数. 2.1.2 指数函数及其性质 1.定义 一般地,函数 y=a x (a>0 且 a≠1)叫做指数函数.它的定义域为 R. 疑难疏引 (1)指数函数的解析式y=a x 中,a x 的系数是1.有些函数貌似指数函数,实际上却 不是,如 y=a x + k(a>0 且 a≠1,k∈Z);有些函数看起来不像指数函数,实际上却是,如 y=a -x(a>0,且 a≠1),因为它可以化为 y= xa 1 ,其中 a 1 >0,且 a 1 ≠1. (2)在指数函数的定义中我们限定底数的范围为 a>0 且 a≠1,这主要是使函数的定义域为实 数集,且具有单调性. ①若 a=0,当 x>0 时,a x =0,当 x≤0时,a x 没有意义; ②若 a<0,如 y=(-2) x对于 x= 2 1 、 4 3 等都是没有意义的; ③若 a=1,则函数为 y=1 x =1 是一个常数函数,它的性质没有研究的必要,且不具有单调性. 2.性质 y=a x 图象 01 时的图象 性质 (1)定义域为 R,值域为(0,+∞) (2)a 0 =1,即 x=0 时,y=1,图象都经过(0,1)点 (3)a x =a,即 x=1 时,y 等于底数 a,图象都经过(1,a)点 (4)在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数 (5)x<0 时,a x >1;x>0 时,00 时,a x >1 (6)既不是奇函数,也不是偶函数 3.单调性是指数函数的重要性质,特别是由函数图象的无限伸展,x 轴是函数图象的渐近线. 当 01 时,x→-∞,y→0; 当 a>1 时,a 的值越大,图象越靠近 y 轴,递增速度越快; 当 0( 3 2 )0.2>( 3 2 ) 3 1 . 另一方面,由于 1.3>1,y=1.3 x 在 (-∞,+∞)上是增函数,由 0.7>0,得 1.3 0.7 >1.所以 ( 3 2 ) 3 1 <1.5 -0.2<1.3 0.7.于是( 3 2 ) 3 1 <1.5 -0.2<1.3 0.7. 【溯源】在进行数的大小比较时,若底数相同,则可根据指数函数的性质得出结果.若底数不 相同,则首先考虑能否化成同底数,然后根据指数函数的性质得出结果;不能化成同底数的, 要考虑引进第三个数(如 0,1 等)分别与之比较,从而得出结果.总之比较时要尽量转化成同 底的形式,根据指数函数的单调性进行判断. ●案例 2 求下列函数的定义域与值域: (1)y=2 3 1 x ; (2)y=( 3 1 ) |x|; (3)y=4 x +2 x+1 +1; (4)y=2 1 1  x x . 【探究】 (1)因为指数函数 y=2 x 的定义域为 x∈R时,值域为 y∈(0,+∞);若 x≠0,则 y≠1; 由于 y=2 3 1 x 中的 3 1 x ≠0,所以 y≠2 0=1.所以所求函数的定义域是{x|x∈R 且 x≠3},值域 为{y|y>0 且 y≠1}. (2)因为 y=( 3 1 ) |x|中的|x|≥0,所以x∈R,01}. (4)已知函数可化为y=2 1 1 x ,由 1 1 x ≥0,得x>1;又由 1 1 x >0,得y=2 1 1 x >1.所以定义域 为{x| x>1},值域为{y| y>1}. 【溯源】 求自然定义域的问题,即要求表达式有意义时相应的 x 的取值范围(集合);求值域的问题均 为复合函数的值域问题,而求复合函数值域的一般步骤是先求出定义域,然后求出内层函数 的值域,由内层函数的值域求出相应的外层函数的值域,即是复合函数的值域. ●案例 3 某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过1年剩留的这种物质是原来的84%,画出这 种物质的剩留量随时间变化的图象,并从图象上求出经过多少年,剩量留是原来的一半(结果 保留 1个有效数字). 【探究】 通过恰当假设,将剩留量 y 表示成经过年数 x 的函数,并列表、描点、作图,进而求得所 求. 设这种物质最初的质量是 1,经过 x年,剩留量是 y. 经过 1年,剩留量 y=1×84%=0.84; 经过 2年,剩留量 y=1×84%×84%=0.71; …… 一般地,经过 x 年,剩留量 y=0.84 x . 根据这个函数关系式可以列表如下: x 0 1 2 3 4 5 6 y 1 0.84 0.71 0.59 0.50 0.42 0.35 用描点法画出指数函数 y=0.84 x 的图象.从图上看出 y=0.5 只需 x≈4. 答:约经过 4 年,剩留量是原来的一半. 【溯源】 在解决实际应用问题时,首先判断函数模型,再根据函数性质和图象解决问题,此题就是指数 函数图象的应用,也是数形结合思想的体现. ●案例 4 讨论函数 y=( 4 1 ) x-( 2 1 ) x+1(x∈［-3,2］)的单调区间,并求出它的值域. 【探究】 通过代换 u=( 2 1 ) x,则 y 就成了关于 u的二次函数. 令 u=( 2 1 ) x,则 y=u 2-u+1=(u- 2 1 ) 2+ 4 3 . ∵x∈［-3,2］,∴ 4 1 ≤u=( 2 1 ) x≤8. ∴ 4 3 ≤y≤57. ∴值域为［ 4 3 ,57］.再求单调区间. (1) 4 1 ≤u≤ 2 1 ,即 4 1 ≤( 2 1 )x≤ 2 1 ,故 x∈［1,2］时,u=( 2 1 ) x是单调减函数,y=(u- 2 1 ) 2+ 4 3 是单调减函数,∴y=［( 2 1 )x- 2 1 ］2+ 4 3 是单调增函数. (2) 2 1 ≤u≤8,即 2 1 ≤( 2 1 )x≤8,故 x∈［-3,1］时,u=( 2 1 ) x是单调减函数,y=(u- 2 1 ) 2+ 4 3 是 单调增函数,∴y=［( 2 1 )x- 2 1 ］2+ 4 3 是单调减函数. ∴函数的单调增区间是［1,2］,单调减区间是［-3,1］. 【溯源】 在解决指数和其他函数相复合构成的新函数的性质问题时,一般采取换元的做法,无论是求 值域还是单调性,都要注意内层函数的取值范围和对指数底的讨论,在解决单调性问题时,要 记清复合函数单调性的规律,即“内外层单调性相同,则函数在此区间上递增,如果内外层单 调性相反,则此函数在此区间上递减”. 活学巧用 1. 计算下列各式. (1) 4 3 2 981 ; (2)(2 5 3 ) 0+2 -2·(2 4 1 ) 2 1 -(0.01) 0.5. 【思路解析】 第(1)小题将根式变为分数指数幂,也可以把分数指数化为根式去做;第(2)小 题将负分数指数化为正分数指数,将小数指数化为分数指数. (1)【解法一】 4 3 2 981 = 4 2 2 1 3 2 )9(9  = 4 2 3 1 99  = 4 3 7 9 =(9 3 7 ) 4 1 =9 12 7 =3 6 7 . 【解法二】 4 3 2 981 = 4 3 8181 = 4 6 8181 = 24 283 = 6 73 =3 6 3 (2)【解】 (2 5 3 ) 0+2 -2·(2 4 1 )- 2 1 -(0.01) 0.5 =1+ 4 1 ×( 9 4 ) 2 1 -( 100 1 ) 2 1 =1+ 4 1 × 3 2 - 10 1 = 15 16 . 2. 计算: (1)( 27 125 ) 3 2 ; (2)0.008 3 2 ; (3)( 2401 81 ) 4 3 ; (4)(2a+1) 0 ; (5)［ 6 5 -( 5 3 ) -1］-1. 【思路解析】 在幂的运算中,首先观察幂的底数,如果幂的底数能化成幂的形式时〔如 (1)(2)(3)〕,就先把幂的底数写成幂的形式,再进行幂的乘、除、乘方、开方运算,这样比较 简便. 在幂的运算中,对于形如 m 0 的式子,要注意对底数 m 是否为零进行讨论,因为只有在 m≠ 0时,m 0才有意义;而对于形如( a b )-n的式子,我们一般是先变形为( b a )n,然后再进行运算. 【答案】(1)( 27 125 ) - 3 2 =( 3 3 3 5 ) 3 2 = 2 2 3 5   = 2 2 5 3 = 25 9 . (2)0.008 3 2 =(0.2 3) 3 2 =0.2 -2=( 5 1 ) -2=5 2=25. (3)( 2401 81 ) 4 3 =( 4 4 7 3 ) - 4 3 = 3 3 7 3   = 3 3 3 7 = 27 243 . (4)(2a+1) 0=1, a≠- 2 1 ,无意义,a=- 2 1 . (5)［ 6 5 -( 5 3 ) -1］-1 =( 6 5 - 3 5 ) -1 =(- 6 5 ) -1 =- 5 6 . 3. 把根式-25(a-b) -2 改写成分数指数幂的形式为… ( ) A.-2(a-b) - 5 2 B.-2(a-b) - 2 5 C.-2(a - 5 2 -b - 5 2 ) D.-2(a - 2 5 -b - 2 5 ) 【思路解析】 考查根式与分数指数幂的转化.原式可化为-2×(a-b) - 5 2 =-2(a-b) - 5 2 .故选 A. 【答案】 A 4. 化简下列各式: (1)(x -1 +x+ x 0 )(x - 2 1 -x 2 1 ); (2) 3 2 3 2 3 2 3 2 2222          yx yx yx yx ; (3) 33 3 )21( 42 8 3 2 3 2 3 1 3 4 a a b baba baa    . 【思路解析】 注意题中各式的结构特点,善于识别平方差、立方差等公式. 【答案】 (1)原式=(x 2 1 ) 3 -(x 2 1 ) 3 =x 2 3 -x 2 3 . (2)原式= 3 2 3 2 3 2 3 2 33 )()(     yx yx - 3 2 3 2 3 2 3 2 33 )()(     yx yx = (x - 3 2 ) 2 -x - 3 2 y - 3 2 +(y - 3 2 ) 2 -[((x - 3 2 ) 2 -x - 3 2 y - 3 2 +(y - 3 2 ) 2 )]=2(xy) - 3 2 =-2 xy xy3 . (3)原式= a ba baaa ba a bbaa baa          3322 )2()( )8( 2)2(2)( )8( 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 . 5. 下列各等式中,正确的是( ) A. 4 4a =a B. 6 2)2( = 3 2 C.a 0 =1 D. 10 5)12(  =( 2 -1) 2 1 【思路解析】 要想判断等式是否正确,首先要使等式两边都有意义,然后计算两边的值,如果相等则正确, 如果不等,则不正确,在计算时要充分应用幂的运算法则. 【解】 4 4a =|a|,由于不知道 a 的符号,因此 A 不正确; ∵ 0)2(6 2  , 3 2 <0, ∴ 6 2)2( ≠ 3 2 . 因此 B不正确; 如果 a=0,则 a 0 没有意义,因此 C 也不正确; ∵ 2 >1,∴ 10 5 )12()12(10 5  =( 2 -1) 10 5 =( 2 -1) 2 1 . ∴D 正确.因此,选 D. 【答案】 D 6. 已知 a 2 1 +a - 2 1 =2,求下列各式的值. (1) a 2 +a -2 ; (2) a 3 +a -3 ; (3) a 4 +a -4 . 【思路解析】 本题主要考查的是已知条件与所求式子之间的联系.由(a 2 1 +a - 2 1 ) 2 =a+ a -1 +2=4 可知 a+ a -1 =2. 同理可知 (a+ a -1 ) 2 =a 2 +a -2 +2, (a 2 +a -2 ) 2 =a 4 +a -4 +2. 【答案】 (1)2;(2)2;(3)2. 7. 已知 x 2 1 +x 2 1 =3,求 x+ x -1 与 3 2 2 3 3 2 22     xx xx 的值. 【思路解析】 由(x 2 1 +x 2 1 ) 2 =9, 可得 x+ x -1 =7. ∵(x 2 1 +x 2 1 ) 3 =27, ∴x 2 3 +3x·x +3x 2 1 x -1 +x - 2 3 =27. ∴x 2 3 + x - 2 3 =18. 故原式=2. 8. 关于函数(1)y=x 2 和(2)y=2 x 的下列说法正确的是( ) A. (1)和(2)都是指数函数 B. (1)和(2)都不是指数函数 C. (1)是指数函数,(2)不是 D. (2)是指数函数,(1)不是 【思路解析】 由指数函数特征知(1)不是,(2)是. 【答案】 D 9. 已知对不同的 a 值,函数 f(x)=2+a x-1 (a>0,且 a≠1)的图象恒过定点 P,则 P 点的坐标是 ( ) A. (0, 3) B. (0, 2) C. (1, 3) D. (1, 2) 【思路解析】 函数图象过定点,则函数解析式中含有待定系数(也叫参数)的“项”或“部分表达式”一定 为常数,本题要想使 a x-1 为常数,又∵a 取不同的值,因此 x-1=0.从而得解. 为使 y为定值,应使 x-1=0,则此时 y=2+a 0 =3,故 P 点坐标为(1,3). 因此,选 C. 【答案】 C 10. 设 y 1=4 0.9,y 2=8 0.44,y 3=( 2 1 ) -1.5,则( ) A. y 3 >y 1 >y 2 B. y 2 >y 1 >y 3 C. y 1 >y 2 >y 3 D. y 1 >y 3 >y 2 【思路解析】 把给出的三个函数化为同底的指数式,y 1=2 1.8 ,y 2=2 1.32 ,y 3=2 1.5 ,再根据指数函 数 y=2 x 是增函数即可判断 y 1>y 3>y 2. 【答案】 D 11. 当 x>0 时,函数 f(x)=(a 2 -1) x 的值总大于 1,则实数 a 的取值范围是( ) A. 1<|a|<2 B. |a|<1 C. |a|>1 D. |a|>2 【思路解析】 由指数函数的性质可知 f(x)在(0,+∞)上是递增函数,所以 a 2 -1>1,a 2 >2,|a|>2. 【答案】 D 12. 函数 y=3 (x2+1) 的值域为. 【思路解析】 考查指数函数的性质、函数值域的求法. 由于 x 2 +1≥1,而 y=3 x 在(-∞,+∞) 上是增函数,所以 y=3 x2+1 ≥3,即 y=3 x2+1 的值域为［3,+ ∞). 【答案】 ［3,+∞) 13. 求函数 y=f(x)=( 4 1 ) x-( 2 1 ) x+1,x∈［-3,2］的值域. 【思路解析】 将( 2 1 )x看作一个未知量 t,把原函数转化为关于 t 的二次函数求解. 【答案】 ∵f(x)=［( 2 1 )x］2-( 2 1 ) x+1,x∈［-3,2］, ∴( 2 1 )2≤( 2 1 )x≤( 2 1 )-3,即 4 1 ≤( 2 1 )x≤8. 设 t=( 2 1 ) x,则 4 1 ≤t≤8. 将函数化为 f(t)=t 2-t+1,t∈［ 4 1 ,8］. ∵f(t)=(t- 2 1 ) 2+ 4 3 , ∴f( 2 1 )≤f(t)≤f(8). ∴ 4 3 ≤f(t)≤57. ∴函数的值域为［ 4 3 ,57］. 14. 曲线 C 1、C 2、C 3、C 4分别是指数函数 y=a x 、y=b x 、y=c x 和 y=d x 的图象,则 a, b, c, d 与 1 的大小关系是( ) A. a1,d>1,00,a 2 -1<1. 解得 a∈(-2, -1)∪(1,2). 【答案】 (-2,-1)∪(1,2) 16. 下图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m 2 )与时间 t(月)的关系:y=a t ,有以下叙述, 其中正确的是… ( ) ①这个指数函数的底数为 2 ②第 5个月时,浮萍面积就会超过 30 m 2 ③浮萍从 4 m 2 蔓延到 12 m 2 需要经过 1.5 个月 ④浮萍每月增加的面积都相等 ⑤若浮萍蔓延到 2 m 2 、3 m 2 、6 m 2 所经过的时间分别为 t 1、t 2、t 3,则 t 1+t 2=t 3 A.①② B.①②③④ C.②③④⑤ D.①②⑤ 【思路解析】 本题综合考查学生的识图能力及指数函数的性质. 由图形得函数解析式应为 y=2 x (x≥0). 【答案】 D 17. 求函数 y=a -x2+2x+2 (a>0,且 a≠1)的单调区间和值域. 【思路解析】 本题是一个复合函数,而且还有未知参数,因此首先要分类讨论,但是在分类讨论之前还要对 指数部分的二次函数进行分析判断,在二次函数的单调区间中分类讨论未知参数以确定函数 的单调区间和值域. 【解】 y=a -x2+2x+2 =a -(x-1)2+3 . 令 t=g(x)=-(x-1) 2 +3,t 在区间(-∞,1］上递增,在区间［1,+∞)上递减. y=f(t)=a t =f［g(x)］. 当 a>1 时,y=f(t)=a t 递增, ∴y=f［g(x)］在区间(-∞,1］上递增,在区间［1, +∞)上递减. 当 x=1 时,y max=a 3 , 又 y=a t >0, ∴函数的值域为(0,a 3 ］. 当 0